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1、第1章 时域离散信号和时域离散系统,1.1 引言1.2 离散时间信号1.3 离散时间系统 1.4 离散时间系统的描述方法 1.5 模拟信号数字处理方法,1.1 引言,1、一维信号与多维信号,2、模拟信号（时域连续信号）、时域离散信号与数字信号,本章主要讲述时域离散信号和系统的表示与描述；学习信号与系统的时域分析法。,几个基本概念：,3、模拟系统（时域连续系统）、时域离散系统与数字系统,1.2 离散时间信号,连续信号,对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到,每隔0.125s抽样一次得到,每隔0.0625s抽样一次得到,采样间隔可以不写，形成 信号。,称为序列，对于具体信号，也代表第n个序
2、列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义。,在数值上，等于信号的采样值，即(1.2.2),如果 是通过观测得到的一组离散数据，则可以用集合符号表示，例如：,1.单位采样序列(n),1.2.1 常用的典型序列,图单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号,单位采样序列和单位冲激信号如图所示。,2.单位阶跃序列u(n),图1.2.2 单位阶跃序列,单位阶跃序列如图所示。,与 之间的关系：,(1.2.6),令n-k=m，代入上式右边得到,(1.2.7),(1.2.5),3.矩形序列RN(n),图1.2.3 矩形序列,当N=4时，R4(n)的波形如图所示。,上式中N称为矩
3、形序列的长度。,矩形序列可用单位阶跃序列表示：,4.实指数序列,其波形如图所示。,图1.2.4 实指数序列,5.正弦序列,式中 称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。,可得(1.2.10),如果正弦序列是由模拟信号 采样得到的，即,6.复指数序列,式中 为数字域频率。,设=0，分别用极坐标和实部虚部表示如下式：,由于n取整数，下面等式成立：,7.周期序列,例如：数字频率为 正弦序列,如图所示。,图1.2.5 正弦序列,图表明,是周期为8的周期序列.,可表示为:,也称正弦序列，,一般正弦序列的周期性,式中 与 均取整数，且 的取值要
4、保证 是最小的正整数.,对具体正弦序列，有以下三种情况：,该正弦序列周期为16。,取k=2,该正弦序列周期为5。,对于复指数序列 的周期性也有同样的分析结果。,不是周期序列。,(1.2.13),式中,对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即,例如：的波形如图1.2.6所示,图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列,可以用(1.2.13)式表示成：,1.2.2 序列的运算,在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。,序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图所示。,1.乘法和加法,图1.2.7 序列的加法和乘法,2.移
5、位、翻转及尺度变换,设序列x(n)用图1.2.8(a)表示，移位序列x(n-n0)(当n0=2时)用图1.2.8(b)表示；当n0 0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，称为x(n)的超前序列。,x(-n)则是x(n)的翻转序列，用图1.2.8(c)表示。x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。当m=2时，其波形如图1.2.8(d)所示。,图1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换,1.3 离散时间系统,设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。,设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示：y(n)=Tx(n)(1.3.
6、1)其框图如图所示。,图1.3.1 时域离散系统,1.3.1 线性系统,满足叠加原理的系统称为线性系统。,设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用y1(n)和y2(n)表示，,即 y1(n)=Tx1(n)y2(n)=Tx2(n),那么线性系统一定满足下面两个公式：T x1(n)+x2(n)=y1(n)+y2(n)(1.3.2)Ta x1(n)=a y1(n)(1.3.3),满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3)式称为线性系统的比例性或齐次性，式中a是常数。,将以上两个公式结合起来，可表示成：y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2
7、(n)(1.3.4)上式中，a和b均是常数。,例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。,而 y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b,证明:y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b,y(n)y1(n)+y2(n)因此，该系统不是线性系统。,所代表的系统是线性系统。,用同样方法可以证明,如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统。,1.3.2 时不变系统,用公式表示如下：y(n)=Tx
8、(n)y(n-n0)=Tx(n-n0)(1.3.5),例检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。,y(n-n0)=,ax(n-n0)+b,Tx(n-n0),=ax(n-n0)+b,解 y(n)=Tx(n)=ax(n)+b,将时间n变为n-n0,将输入x(n)变为x(n-n0),y(n-n0)=Tx(n-n0)因此该系统是时不变系统。,解 y(n)=nx(n),y(n-n0)=,(n-n0)x(n-n0),Tx(n-n0),=nx(n-n0),y(n-n0)Tx(n-n0)因此该系统不是时不变系统,将时间n变为n-n0,将输入x(n)变为x(n-n0),例1.
9、3.3 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。,同样方法可以证明,所代表的系统不是时不变系统。,1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系,换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。,设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统的输出为系统的单位取样响应。,用公式表示为 h(n)=T(n)(1.3.6),若系统是时不变系统，则有 h(n-m)=T(n-m),一、输入与输出的关系,设系统的输入用x(n)表示，按照(1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为,根据线性系统的叠加性质可得,又根据时不变性质 及 h(n)=T(n)
10、可得,式中的符号“*”代表卷积运算，(1.3.7)式表示线性时不变系统的输出等于输入序列与该系统的单位取样响应的卷积。,将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。,按照(1.3.7)式：按照以下三个步骤可得到卷积结果y(n)。,将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行翻转，形成h(-m)；,将h(-m)移位n，得到h(n-m)。当n0时，序列右移；n0时，序列左移；,二、卷积和的计算,例设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。,解:按照(1.3.7)式，,其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：,0m3 n-
11、3mn,R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，,方法：求和上限取两个不等式上限中的小者；求和下限取两个不等式下限中的大者。,另外，由前两个不等式还可得出n的取值范围，也即输出y(n)的非零区间：0n6,当 n-30,即 n3 时，下限取0；此时上限取n。,当 n-30,即 n3 时，下限取n-3；此时上限取3。,由此得出求和的上下限。,因此，,图,卷积过程以及y(n)波形如图所示，,y(n)用公式表示为,例,已知,求它们的卷积。,解：,当,当,或,求和上限为 n,求和下限,而,这是输出的非零区间。,线性卷积服从交换律、结合律和分配律。,三、卷积的性质,图1
12、.3.3 卷积的结合律和分配律,结论1:两系统级联,其等效系统的单位采样响应等于两系统分别的单位采样响应的卷积.,结论2:并联系统的等效单位采样响应等于两系统分别的单位采样响应的之和.,再考查下式，,可以得到:,例1.3.5 在图中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设 x(n)=u(n)h1(n)=(n)-(n-4)，h2(n)=anu(n)，|a|1 求系统的输出y(n)。,图1.3.4 例框图,m(n)=x(n)*h1(n),=u(n)*(n)-(n-4),=u(n)*(n)-u(n)*(n-4),=u(n)-u(n-4),=R4(n),先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。,解:,
13、y(n)=m(n)*h2(n),=R4(n)*anu(n),=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3),n=0 y(n)=1 n=1 y(n)=a+1 n=2 y(n)=a2+a+1 n=3 y(n)=a3+a2+a+1 n=4 y(n)=a4+a3+a2+a n=5 y(n)=a5+a4+a3+a2.,y(n)=anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3),各离散时间点的值分别为,1.3.4 系统的因果性和稳定性,如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。,如果系统n
14、时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。,线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n0(1.3.13),满足(1.3.13)式的序列称为因果序列。,(1.3.14),所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。,线性时不变系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为,解：由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。,例1.3.6 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,只有当|a
15、|1时,因此系统稳定的条件是|a|1；,|a|1时，系统不稳定。,如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。,系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。,h(n)=u(n)因果系统,例1.3.7 设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。,解：,(1.3.15),因为当n-k0时，u(n-k)=0；n-k0时，u(n-k)=1，因此，求和限为kn，所以,下面分析该系统的稳定性：,该系统为非稳定系统。,1.4 离散时间系统的描述方法,描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系
16、统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。,一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：,(1.4.1),线性常系数差分方程,或者,(1.4.2),差分方程的阶数:,用y(n-i)项中i的取值最大与最小之差确定.,1.4.2 线性常系数差分方程的求解,已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：,(1)经典解法。(2)递推解法。(3)变换域方法。,解(1)设初始条件 y(-1)=0,将x(n)=(n)代入 y(n)=ay(n-1)+x(n)得 y(n)=ay(n-1)+(n),例1.4.1 设系统用差分方程y(n
17、)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)，求输出序列y(n)。,n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1,n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=a,n=2时，y(2)=ay(1)+(2)=a2,n=n时，y(n)=an,当n0时,由y(n)=ay(n-1)+(n)推出 y(n-1)=a-1y(n)-a-1(n),n=-1 y(-2)=0,n=-2 y(-3)=0,n0 y(n)=0,当n0时,y(n)=anu(n),综合考虑n0和n0两种情况，得,n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+a,n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)a,n=n时，y(n)=
18、(1+a)an,(2)设初始条件y(-1)=1,n0,n0 y(n-1)=a-1y(n)-a-1(n),n=-1 y(-2)=a-1,n=-2 y(-3)=a-2,n0 y(n)=a n,y(n)=(1+a)an u(n)+a nu(-n-1),y(n)=ay(n-1)+(n),综合考虑n0和n0两种情况，得,例1.4.3 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1。试分析该系统是否是线性非时变系统。,注:如果系统具有线性非时变性质，必须满足：若 y(n)=Tx(n)且 y1(n)=Tx1(n)y2(n)=Tx2(n)则 y(n)=Tax1(n)+bx2
19、(n)=ay1(n)+by2(n)系统为线性系统 和 y(n-n0)=Tx(n-n0)系统为非时变系统,问题：可以直接用上面的定义判断吗？,设输入信号分别为：x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)x3(n)=(n)+(n-1)。,解:,(1)将x1(n)=(n)代入y(n)=ay(n-1)+x(n)得 y1(n)=ay1(n-1)+(n),用递推法并考虑y1(-1)=1可得 y1(n)=(1+a)an u(n)+a nu(-n-1),y1(n-1)=(1+a)an-1 u(n-1)+a n-1u(-n),用n-1代替n得：,将 x2(n)=(n-1)代入y(n)=ay(n-1)+x(n)得
20、，y2(n)=ay2(n-1)+(n-1),用递推法并考虑 y2(-1)=1可得 y2(n)=(1+a2)a n-1 u(n-1)+a(n)+anu(-n-1),因此该系统不是时不变系统,Tx1(n)=T(n)=y1(n),Tx1(n-1)=T(n-1)=y2(n)y1(n-1),考察系统的时不变性,(3)将 x3(n)=(n)+(n-1)代入 y(n)=ay(n-1)+x(n)得 y3(n)=a y3(n-1)+(n)+(n-1),用递推法并考虑 y3(-1)=1 可得 y3(n)=(1+a)(n)+(1+a+a2)a n-1 u(n-1)+anu(-n-1),=(1+a)an u(n)+a
21、 nu(-n-1)+(1+a2)a n-1 u(n-1)+a(n)+anu(-n-1)=(1+2a)(n)+(an-1+an+2 an+1)u(n-1)+2 an u(-n-1),y1(n)+y2(n)=Tx1(n)+Tx2(n),=T(n)+T(n-1),考察系统的线性性质,T(n)+T(n-1)=y1(n)+y2(n),y3(n)=Tx1(n)+x2(n)=T(n)+(n-1),即该系统不是线性系统,1.5 模拟信号数字处理方法,图1.5.1 模拟信号数字处理框图,模拟信号数字处理过程:,一.采样定理,1.5.1 采样定理及A/D变换器,1、矩形脉冲抽样,图中S为电子开关，每隔T闭合一次，
22、闭合时间T。,连续信号,抽样信号,相乘,2、理想抽样,图中,由函数的性质可得,连续信号,抽样信号,抽样脉冲,相乘,设,(1.5.3),其中,在频域研究此问题。,采样间隔应取多大，才能保证在采样过程中，不丢失信息？,式(1.5.3)的推导,是周期函数,可以展成傅里叶级数,即,式中,傅里叶级数的系数,先对 作傅里叶变换,有:,因此,代入上式，得：,对 作傅里叶变换，有,证明：,由傅里叶变换的唯一性，可得：,即：,采样信号的频谱：,式中，称为采样角频率，单位是弧度/秒，,图1.5.3 采样信号的频谱,如果,基带谱和其它周期延拓形成的谱不重叠（如图（c）.,设xa(t)是带限信号，最高截止频率为，其频
23、谱。如图1.5.3(a)所示。,否则，基带谱和其它周期延拓形成的谱重叠（如图（d）.,3、恢复原连续信号,设计如下系统,图中 为傅里叶逆变换，的表达式如下：,低通滤波器，通带截止频率为,fs/2称为折叠频率,要求：,低通滤波器的带宽：,图1.5.4 采样恢复,xa(t)的最高截止频率,(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式(1.5.5)表示。,4、采样定理的表述,(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c，那么让采样信号 通过一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以
24、唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则(即，s2c)会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。,在数值上,图1.5.5 A/DC原理框图,二、A/D转换器:,A/DC(Analog/DigitalConverter)完成将模拟信号转换成数字信号.,例如：模拟信号，f=50Hz;选取采样频率fs=200Hz，将t=nT代入xa(t)中，得到采样数据：,当n=0，1，2，3，时，得到序列x(n)如下：x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879,量化编码,1.5.2 将数字信号转换成模拟信号,为抽样信号,g(t)是低通滤波器,ya(t)为
25、恢复的模拟信号.,图中,一、理想信号恢复,因为s=2fs=2/T，因此g(t)也可以用下式表示：,(1.5.7),波形如下图所示。,1、低通滤波器的时域表达式。,图1.5.6 内插函数g(t)波形,g(t)称为内插函数,第一、函数最大值为1，出现在 t=0处。,第二、函数的第一零点位于 t=T处。,第三、波形的主瓣宽度为2T，旁瓣宽度为T。,特点：,2、低通滤波器的输出,即 由 采样获得,输入信号为,如果由 采样获得 时满足采样定理，则,即,叠加过程如下图所示。,图1.5.7 理想恢复,图1.5.8 D/AC方框图,二、数模转换,解码是将数字信号转换成时域离散信号.,平滑滤波是滤出多余的高频成
26、分.,零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。,零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如图所示。,图1.5.9 零阶保持器的输出波形,(1.5.10),其幅度特性和相位特性如图所示。,对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：,图1.5.10 零阶保持器的频率特性,例:模拟信号数字处理系统框图如下,假设T满足采样定理,把xa(t)到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器,如果h(n)的截止频率为c=/8 rad,1/T=10kHz,求整个等效系统的截止频率fc.,解:,由,将数字滤波器的截止频率折算为模拟截止频率,得:,
27、最后一级理想低通滤波器的截止频率为/T(弧度/秒),大于/8T,所以整个等效系统的截止频率c=/8T.,P27 习题12.,(1)设连续信号的周期为T0.对正弦信号的周期T0有如下关系式:,故,解:,(2),采样信号的表达式：,(3),设周期为N,对离散序列cos0n,其周期满足下式:0N=2k,故,取 k=2,N=5,x(n)的波形如下图所示。,计算得 x(0)=0 x(1)=0.59 x(2)=-0.95 x(3)=0.95 x(4)=-0.59,图中虚线为,如果T=0.005s,则,取k=1,N=10,例：一个理想采样系统，采样频率s=8，采样后经理想低通G(j)还原，,今有两输入信号xa1(t)=cos2t,xa2(t)=cos5t,问输出信号ya1(t),ya2(t)的波形是什么？画出波形，并说明ya1(t),ya2(t)相对于xa1(t)，xa2(t)有无失真，是什么失真？,解：,两输入信号的频谱分别为：,采样后信号的频谱与原模拟信号的关系为,式中,经低通滤波器后输出分别为：,对应的时域信号为：,输出信号 出现失真，因为采样频率低于该信号频率的两倍，故出现频谱混叠。,第一章习题3.5.(1)(2)6.(2)(4)8.(2)(3)11.,
