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1、2.4 极限运算的基本法则,一.极限四则运算法则,二.复合函数的极限运算法则,根据极限的定义,只能验证某个常数 A 是否为(x)的极限,而不能求出函数(x)的极限.为了解决极限的计算问题,我们首先建立极限运算的基本法则,再利用这些法则和前面已经给出的一些相关结论,来解决极限的计算问题.,一.极限四则运算法则,定理2.4.1 在自变量x 的同一变化过程中,如果,下面仅以极限过程为 xx0 的(1)的证明为例,其他类似证明.,证明,因为,即 可以表示为常数与无穷小之和,即得证.,定理的结论(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及,乘积的极限情况.,都存在，则有：,例1 求,解,解,由例1、例2
2、可知：,解,因为,则极限 不能直接应用商的极限运算性质,分子和分母都含有因式 x-3,约去这个因式得,解,将分子有理化,得,例4,解 因为,极限 不能直接使用商的极限运算法则,从,分子和分母约去 x的最高次幂 有,一般地，当x 时，有理函数的极限有如下结论:,解 分子和分母约去n4，有,解 因为,极限和的运算法则不能直接应用,将,通分得,解,解,例10,解 因为 所以 是无穷小，则,是无穷大，即,二.复合函数的极限运算法则,定理,其理论证明(略).但须指出以下两点：,注：(1)若将定理中的极限过程改为 x,或者将,的极限 u0改为,则定理的结论仍然成立.,(2)定理表明：若函数f(u)和g(u)满足该定理的条,例11 求极限,解,
