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1、一、 极限的四则运算法则,二、 复合函数的极限运算法则,第三节,极限运算法则,第二章,则,定理 2.5 若,(1),(2),若 B0 , 则有,(3),一、 极限的四则运算法则,证,时,有,取,则当,时,有,当,(1)由,可知,使得当,时,有,因此,(2),使得,由,及 定理2.2 知，,及,及,又由,知,使得当,取,则,对于上述 0,有,/ 2C,因此,其中,(3),由,及 定理2.2 知，,及,使得当,时, 有,由于,及,所以,由(2), 需证当B0时,因此,从而(3)式成立.,若,则有,注,运算法则 , 有相应的结论 .,及 x时函数极限的四则,例如, 对于数列极限,对于数列极限,有以下
2、结论:,数列是一种 特殊的函数, 故此结论可 由定理2.5直 接得出 .,(极限运算的线性性质),若,以上运算法则对有限个函数成立.,推论, 和是常数， 则,于是有, 幂的极限等于极限的幂,求,解,例1,极限运算的线性性质,结论：,幂的极限等于极限的幂,解,例2,商的极限等于极限的商,一般地， 设有分式函数,注 若,不能直接用商的运算法则 .,请看下例:,结论：,解,商的极限法则不能直接用,例3,由极限定义x1，x1,约去无穷小因子法,“ 抓大头”,分析,可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限.,例4,解,结论：,为非负常数 ),消去无穷大因子法: 以分母中自变量的最高次幂 除分子
3、, 分母, 以消去无穷大 因子, 然后再求极限.,例5,解,分析,型，先通分，再用极限法则.,例6,解,无穷多项和的极限,公式求和变为有限项,定理,证,(有界函数与无穷小的乘积是无穷小),则,例如，,二、 复合函数的极限运算法则,定理2.6 设,当,时,又,则有,注,1 定理2.6中的条件：,不可少. 否则，定理2.6 的结论不一定成立.,原因：,反例,虽然,所以,则,2 定理2.6的其他形式,(1),(2),则有,由定理2.6，知,在求复合函数极限时,可以作变量代换，得到,且代换是双向的，即,例7 求,解 令,于是,从而 原式 =,从左向右用式,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 极限四则
4、运算法则,(2) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去零因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法：,设中间变量，变量代换.,或先有理化后约分,1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么,(3) 又加条件：,是否一定不存在？,思考题,2.,答： 一定不存在,由极限运算法则可知：,必存在，,这与已知矛盾，,故假设错误,思考题解答,1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么,答：,不一定.,反例：,1. 在自变量的某个极限过程中，
5、若 存在， 不存在，那么,答：,一定不存在.（可用反证法证明）,(3) 又加条件：,是否一定不存在？,1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么,2.,解,原式,备用题例3-1,解,先有理化,再约去无穷小,例3-2,解,因为上式极限存在,解,例4-1,例4-2,解,根据前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,例5-1,已知,试确定常数,解, 分子的次数必比分母的次数低,故,即,例6-1,解,无穷多个因子的积的极限,变为有限项再求极限,例7-1,解,先有理化,再约去无穷小,令1+ x =u,例7-2,解,分子分母同乘以各自的有理化因式,约去无穷小,
