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1、第一章函数极限连续,第三节极限运算,一、无穷小量及其运算,二、极限的运算法则,三、两个重要极限,一、无穷小量及其运算,若函数 a=a(x)在 x 的某种趋向下以零为极限，,则称函数 a=a(x)为 x 的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小.,例如，函数 a(x)=x-x0，,当 xx 0 时，a(x)0，,所以 a(x)=x-x 0 是当 x x0 时的无穷小量.,它是当 x 时的无穷小量.,是当 x+时的无穷小量.,定理 1若函数 y=f(x)在 x x0(或 x)时的极限为 A，则 f(x)=A a(x)(简记 y=A a)，,定理 2有限个无穷小(当 x x0 或 x 时)的代数和仍然是
2、无穷小量.,反之若,则 A 为 f(x)的极限，,定理 3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.,证设函数 f(x)有界.,|f(x)|M.,又 a(x)是无穷小量，即|a(x)|e(e 为任意小的正数)，则,|a(x)f(x)|=|a(x)|f(x)|e M.,由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意小的正数,故 a(x)f(x)0.,即存在一个正常数 M,使,推论 1有限个无穷小量,推论 2常数与无穷小量之积为无穷小量.,定理 4,反之，,若,则,设,若,则,(自变量同一趋向下)之积为无穷小量.,例 1,为有界函数，,证,二、极限的运算法则,定理 5 若函数 y=f(x)与 y=
3、g(x)在 x x0(或 x)时都存在极限，,则它们的和、差、积、商(当分母的极限不为零时)在 x x0(或 x)时也存在极限，且,(1)由定理 1 有,f(x)=A a(x)和 g(x)=B+b(x)，,其中 a(x)和 b(x)均为无穷小量.,于是,f(x)g(x)=(A B)a(x)b(x)，,其中 A B 为常数,a(x)b(x)仍为无穷小量，,故由无穷小量的定理(1)可推得,lim f(x)g(x)=A B=lim f(x)lim g(x).,证,(2)因为,f(x)g(x)=A a(x)B b(x),=AB Ab(x)Ba(x)a(x)b(x).,而由定理 3 的推论 1 和推论
4、2 可知 Ab(x),Ba(x)，a(x)b(x)均为无穷小量，所以由定理 1 可知,商的极限运算法则的证明从略.,lim f(x)g(x)=AB=lim f(x)lim g(x).,推论 1常数可以提到极限号前，,lim c f(x)=c lim f(x).,推论 2 若 lim f(x)=A，且 m 为正整数，,lim f(x)m=lim f(x)m=Am.,特殊地，有,则,即,解运用定理 5 及其推论可得:,例 2,一般地，有,因此,即多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处的函数值.,解由例 1 知道当 x 1 时所给函数的分子和分母的极限都存在，,且分母极限,例 3,所以,
5、解由于,例 4,即,因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知，,当 x 1 时,为无穷大量，,解,例 5,有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零，,这时不能直接应用商的极限运算法则.,例 6若 an 0，bm 0，m、n 为正整数，试证,有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大.这类极限称为型的极限，,对于它们也不能直接应用商的运算法则.,证当 x 时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大.,若将原式变形为,解由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为“-”型极限，不能直接应用定理 5.,一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.,例 7,三、两个重
6、要极限,1.第一个重要极限,g(x)f(x)h(x)，,且 lim g(x)=lim h(x)=A，,lim f(x)=A.,定理 6若对于 x N(,)或|x|M(M 0)时，,有,则,O,x,R,A,B,C,证 AOB 面积 扇形AOB 面积 AOC 面积,即,例,因为,所以再次运用定理 6 即可得,这个结果可以作为公式使用,解,例 10计算,解,例 11,这个结果可以作为公式使用,解令 5x=u，当 x 0 时 u 0，,因此有,例 12,也可以按如下格式进行：,例 13,解,定理 7设函数 u(x)，v(x)在 x0 的某个邻域内(或|x|M，M 0 时)，,满足 u(x)v(x)或
7、u(x)v(x)(x0 可以除外)，,若 x x0(或 x)时它们的极限都存在，,lim u(x)lim v(x),特殊地，,若在 x0 的某个领域内(或|x|M,M 0 时)，f(x)0(或 0)，,lim f(x)0(或 0).,则,则,2.第二个重要极限,定理 8单调有界数列必有极限.,证因为由,例,由此可知，un+1 的前 n 项不小于 un 的相应项，,而且 un+1 比 un 的展开式,所以 un+1 un.因此un 是单调递增数列.,此外，由 un 的展开式可得,所以 un 是有界数列.,综上所述，un 是单调有界数列，因此极限存在.,我们还可以证明，,都有极限，且,人们记这个极
8、限为数 e，于是有,数 e 是一个无理数，,它的近似值可由,展开式中取前若干项计算，,以 e 为底的指数函数 y=ex 的反函数 y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为 y=ln x.,它的前八位数是 e=2.718 281 8,解因为,所以，有,例 14,例 15,解方法一令 u=-x，因为 x 0 时 u 0，,所以,方法二掌握熟练后可不设新变量,例 16,解,则当 x 0 时，u e，,所以原式=1，即,例 17,解令 u=ex-1，则 x=ln(1+u)，,当 x 0 时 u 0.,所以,例 18,解因为,所以令 u=x-3，当 x 时 u，,因此,例 19,解,
