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1、,第十三章 动能定理,1.常力在直线运动中的功:,单位:J（焦耳）1 J=1 Nm,力的功是力沿路程累积效应的度量。,力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。,元功,2.变力在曲线运动中的功:,令：,力 在 路程上的功：,（自然形式）,（矢量式）,（直角坐标式）,1)、重力的功,质点系:,由,重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。,3.常见力的功,质点：,重力在三轴上的投影：,2、弹性力的功,k弹簧刚度系数(N/m),弹性力：,弹性力的功：,因,式中,即,弹性力的功只与弹簧在初始和末了位置的变形有关，与作用点路径无关。,3.定轴转动刚体上作用力的功,若 常量,从角 转动到角 过程中力
2、 的功为：,同样适用于刚体上作用一力偶所作的功。,当质心由，转角由 时，力系的功：,平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。,说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；,2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；,3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。,4.平面运动刚体上力系的功,例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧的另一端由点B拉至点A和由点A拉至点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。分别计算弹簧力所作的功。,C,O,A,B,D,解：,对于弹簧作功：,（m）,（m）,（m
3、）,（m）,2、质点系的动能,1、质点的动能,单位：J（焦耳）,瞬时值,与速度方向无关的正标量。,（1）平移刚体的动能,即,（2）定轴转动刚体的动能,即,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。,速度瞬心：P,（3）平面运动刚体的动能,上面结论也适用于刚体的任意运动。,习题 P314 13-4,两端乘，,1、质点的动能定理,质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。,质点动能定理 的微分形式,在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。,质点动能定理 的积分形式,2、质点系的动能定理,质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。,求和,质
4、点系动能定 理微分形式,质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。,质点系动能定 理积分形式,3、理想约束,定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。,1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束,力与位移垂直,2）固定铰支座、固定端约束,位移为零,3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束,约束反力成对出现，作功之和为零,4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点,无位移,对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。,质点系内力作功之和不一定等于零。,质点系内力作功问题：,1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不
5、为零。,2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与 物体的相对位移相反，摩擦力作负功。,刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。,例1 已知：轮O的R1、m1,质量分布在轮缘上;均质轮C的R2、m2纯滚动,初始静止;,M为常力偶。,求：轮心C走过路程S时的速度和加速度,解：,其中：,式(a)是函数关系式，两端对t求导，,已知：轮O的R1、m1,;均质轮C的R2、m2纯滚动,初始静止;,M为常力偶。,求：轮心C走过路程S时的速度和加速度,例2 冲击试验机m=18kg,l=840mm,杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至,求：冲断试件需用的能量,冲断试件需要的能量为,解：,设冲断试件所损失的
6、能量为WK,例3 行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角 的函数表示)和角加速度。,解：取整个系统为研究对象,根据动能定理，,将式对t 求导数，,由，得,1、功率：,功率等于切向力与力作用点速度的乘积。,单位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S,作用在转动刚体上的力的功率:,单位时间力所作的功。,2、功率方程,质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。,或,两端除以dt,功率方程,3、机械效率,机械效率,多级传动系统,表明机器对输入功率的有效利用程度
7、。是评定机器质量优劣的重要指标之一。,对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连乘积。,(),例1 已知：车床电动机功率,求：允许切削力F的最大值？若，问 允许的F的最大值。,解:,当,当,例2 已知 物块质量m；弹簧原长 l0.刚度系数k，质量不计；滑轮半径R，转动惯量J求：系统的运动微分方程。,解：,令 为弹簧静伸长，即mg=k,以自然位置为参考点,以平衡位置为参考点,1.势力场,势力场：,力场：,若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。,重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。,场力的功只与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。,质
8、点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力)。如重力、弹力等。,（1）重力场中的势能,（2）弹性力场的势能,2.势 能,在势力场中,质点从位置M 运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能。,M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。,取弹簧的自然位置为零势能点，,则有,（3）万有引力场中的势能,（零势能点）,取零势能点在无穷远,质点系的“零势能位置”是各质点都处于其零势能点的一组位置。,若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。,质点系在某位置的势能 质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和。,注：,例：已
9、知均质杆l,m，弹簧刚度 k,AB水平时平衡，弹簧拉长变形,弹簧取自然位置O为零势能点,重力以杆水平位置为零势能点:,取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点:,（重力-弹力系统常采用）,系统平衡,质点系在势力场中运动,有势力功可通过势能计算。,（零势能点）,有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。,3.机械能守恒定律,即：质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。此系统称保守系统。,机械能：系统的动能与势能的代数和。,如质点系还受到非保守力的作用，则类系统称非保守系统。,非保守力的功,卡住前：,卡住时：,解：,例 已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索 k=
10、3.35 N/m，求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力。,（平衡）,重物只受重力和弹力，系统机械能守恒。,（零势能点）,即,由 有,已知：重物m,v匀速下降，钢索 k，求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力。,例1 已知 轮I：M，r,m1;轮III:r，m3;轮II：R=2r,m2;压力角为20o，物块：mA；摩擦力不计。求：O1 O2处的约束力。,其中,解:,其中,M,研究 I 轮,压力角为,研究物块A,研究II轮,aA,例2 已知 m，R,k,CA=2R为无重弹簧原长，M为常力偶。求：圆心C 无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力.,解：,整个系统：,O,O,已知，m，R,k,CA=2R为弹簧原长，M 为常力偶。求：圆心 C 无初速度由最低点到达最高点时，O 处约束力.,F,研究轮C：,act,acn,质心运动定理：,解：(1),动能定理：,mg,atc,anc,x,y,（2）脱离瞬间时,脱离瞬时：,（3）脱离瞬间杆着地过程：,杆着地时：,水平不受力,故水平方向动量守恒,vc,x,y,vB,vcB,vB,在y轴上投影:,式中,vB,vcB,vB,由铅直水平全过程：,动能定理：,第十三章结束,第13章 动能定理,
