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1、一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、杂例,7.6 空间直线及其方程,分析：,点M在直线L上点M同时在这两个平面上,点M的坐标同时满足这两个平面的方程.,一、空间直线的一般方程,空间直线可以看作是两个平面的交线.,设直线L是平面1和2的交线,平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,这就是空间直线的一般方程.,来表示.,那么直线L可以用方程组,二、空间直线的对称式方程与参数方程,如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量.,方向向量,直线上任一向量都平行于该直
2、线的方向向量.,当直线L上一点M0(x0,y0,x0)和它的一方向向量s=(m,n,p)为已知时,直线L的位置就完全确定了.,确定直线的条件,直线的对称式方程,求通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线的方程.,(x-x0,y-y0,z-z0)/s,从而有,这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程.,直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数.向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.,则从M0到M的向量平行于方向向量:,设M(x,y,z)为直线上的任一点,通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线方程:,直线的参数方程,此方程组就是
3、直线的参数方程.,n1(1 1 1)n2(2 1 1),平面xyz1和2xyz4的法线向量为,解,所求直线的方向向量为,例1用对称式方程及参数方程表示直线.,解得x3 z2 于是点(3 0 2)为所求直线上的点,所求直线的对称式方程为,n1(1 1 1)n2(2 1 1),平面xyz1和2xyz4的法线向量为,解,所求直线的方向向量为,例1用对称式方程及参数方程表示直线.,解得x3 z2 于是点(3 0 2)为所求直线上的点,所求直线的参数方程为,x32t yt z23t,三、两直线的夹角,两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.,设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1,
4、n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2的夹角j满足,方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:,解,例2 求直线 与直线 的夹角的余弦,两直线之间的夹角的余弦为,两直线垂直与平行的条件,设有两直线,L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;,则,方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:,提示：,四、直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为90.,设直线的方向向量为s=(m,n,p),平面的法线向量为n=(A,B,
5、C),则直线与平面的夹角j 满足,方向向量为(m,n,p)的直线与法线向量为(A,B,C)的平面的夹角j 满足,直线与平面垂直和平行的条件,设直线L的方向向量为s=(m,n,p),平面P 的法线向量为n=(A,B,C),则,L/P Am+Bn+Cp=0.,例3 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.,平面的法线向量(2,-3,1)可以作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为,解,设直线L的方向向量为s=(m,n,p),平面P 的法线向量为n=(A,B,C),则,L/P Am+Bn+Cp=0.,五、杂例,解：,直线 的方向向量为,直线 的方向向量为,五、杂
6、例,解：,所求平面的法线向量可取为,所求平面的方程为,(x1)(y2)(z1)0 即xyz0,x=2+t,y=3+t,z=4+2t,代入平面方程中,得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.解上列方程,得t=-1.将t=-1代入直线的参数方程,得所求交点的坐标为 x=1,y=2,z=2.,解,所给直线的参数方程为,例5,解,例6,的直线的方程.,求过点,(2,1,2,),且与直线,垂直相交,所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0),过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为,(x2)(y1)2(z2)0,即xy2z7,此平面与已知直线的交点为(1 2 2),提
7、示：求出两直线的交点是关键 而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点,解,例6,的直线的方程.,求过点,(2,1,2,),且与直线,垂直相交,所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0),过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为,(x2)(y1)2(z2)0,即xy2z7,此平面与已知直线的交点为(1 2 2),所求直线的方程为,分析：,因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例,所以对于任何一个l值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面.,分析：,对于不同的l值,所对应的平面也不同,而且这些平面都通过直线L,即这个方程表示通过直线L的一族平面
8、.,分析：,另一方面,任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.,其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.,设直线L的一般方程为,上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体,称为平面束.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任
9、意常数.,其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.,设直线L的一般方程为,提示：,我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面,此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线.,提示：,这是平面束的法线向量(1+l,1-l,-1+l)与已知平面的法线向量(1,1,1)的数量积.,(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,即(1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.,为了求得与已知平面x+y+z=0垂直的平面,令,(1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0,解,设通过已知直线的平面束的方程为,的方程.,例7,即 y-z-1=0.,2y-2z-2=0,于是得到与已知平面垂直的平面的方程为,解得l=-1.,所以投影直线的方程为,(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,即(1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.,为了求得与已知平面x+y+z=0垂直的平面,令,(1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0,解,设通过已知直线的平面束的方程为,的方程.,例7,空间直线的一般方程.,空间直线的对称式方程与参数方程.,两直线的夹角.,直线与平面的夹角.,（注意两直线的位置关系）,（注意直线与平面的位置关系）,小结,
