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1、第六章 结构位移计算与虚功能量法简述,6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移 6-2 结构位移计算的一般公式 6-3 荷载作用下的位移计算6-4 荷载作用下的位移计算举例6-5 图乘法 6-6 温度作用时的位移计算 6-7 互等定理,6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移,结构位移计算概述 虚功原理的另一种应用形式-虚力原理支座移动时静定结构的位移计算,结构位移计算概述,位移的概念：结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。结构的位移通常有两种：截面的移动-线位移；截面的转动-角位移。,结构位移计算概述,结构位移计算的目
2、的：(1)验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。(2)为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。产生位移的原因：(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座的沉降和制造误差。,虚功原理的另一种应用形式-虚力原理,虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。例.如图6-3所示的静定梁，支座A向上移动一个已知距离C1，求B点的竖向位移。,解：在拟求位移的方向设置单位荷载，这个单位荷载与相应的支座
3、反力组成一个虚设的平衡力系。根据平衡条件，可求出支座A的反力-b/a,虚功原理的另一种应用形式-虚力原理,支座移动时静定结构的位移计算,在图61中，支座A有给定的竖向向上的位移CA,拟求：（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角,解：（1）求C点得竖向位移时，应在C点加一个单位竖向荷 载（图64a）（2）求杆CD得转角时，应在杆CD上加一个单位力偶荷载（图64b），因为力偶作得功等于力偶矩与转角得乘积。,支座移动时静定结构的位移计算,6-2 结构位移计算的一般公式,局部变形时静定结构的位移计算举例局部变形时的位移公式结构位移计算的一般公式位移计算的一般步骤 广义位移和虚设状态,局部变形时静定结构
4、的位移计算举例,例61 图65a所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角。求A点的竖向位移,解：图65a中的实际位移状态改用图65b来表示。在B处加铰，把实际位移状态明确的表示为刚体体系的位移状态。虚设力系如图65c所示，在A点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在铰B处还必须虚设一对弯矩。,局部变形时静定结构的位移计算举例,根据平衡条件可求出 的数值：,图65c中的平衡力系在图65b中的实际位移上作功，得虚功方程如下：,解得：,局部变形时静定结构的位移计算举例,例62 图66a中，截面B有相对剪切位移，试求A点与杆轴成 角的斜向位移分量。,解：如图66b所示，将截面B切开，加上两根平行杆轴的链杆，使能
5、产生相对剪切位移，但不能产生相对轴向位移，从而把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态,局部变形时静定结构的位移计算举例,局部变形时的位移公式,图67所示为局部变形问题的一个典型情况。悬臂梁除B点附近有微段ds有局部变形外，结构其它部分没有变形。微段的局部变形包括三部分：轴线伸长应变为平均剪切应变为轴线曲率为,图67,局部变形时的位移公式,结构位移计算的一般公式,结构位移计算的一般步骤,求结构在某一点沿某一方向的位移，其计算步骤为：(1)虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。(2)在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反
6、力。(3)利用结构位移计算的一般公式求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反。,广义位移的计算,本章所讨论的位移可以引申为广义位移：它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。如下表所示：广义位移和广义单位荷载示例,广义位移的计算,广义位移和广义单位荷载示例,6-3 荷载作用下的位移计算,计算步骤各类结构的位移公式 截面平均切应变 和系数k,计算步骤,各类结构的位移公式,各类结构的
7、位移公式,截面平均切应变 和系数k,6-4荷载作用下的位移计算举例,梁的位移计算桁架的位移计算曲杆的位移计算,梁的位移计算,例63 求图示悬臂梁A端的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形。,解：先求实际荷载（610a）作用下的内力，再求虚设单位荷载（610b）作用下的内力，取A点为坐标原点，任意截面x的内力为:,梁位移计算,梁位移计算,梁位移计算,桁架的位移计算,例64 图611a为一屋架，屋架的上弦杆和其它压杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其它拉杆采用钢杆。计算简图如611b所示。设屋架承受均布荷载q作用。试求顶点C的位移。,解（1）求Np先将均布荷载q化为节点荷载F
8、ql/4。求节点荷载作用下的Np。为了简便计算，节点荷载取为单位值（图612），图中给出的内力数值乘以F后，即为轴力Np。,桁架的位移计算,（2）求 在C点虚设单位竖向荷载，相应的轴力 如图613所示。,图612,图613,桁架的位移计算,（3）求 根据桁架位移公式，得,具体计算过程见表63。由于对称性，计算总和时，在表中只计算了半个桁架，杆EG的长度只取一半。,桁架的位移计算,上表中 是上弦杆的截面面积：1824432。表中的 是 22钢筋的截面面积，等于3.8。,根据表中的结果，即得：,设原始数据给定如下（跨度L12m）：,荷载,混凝土,钢筋,代入上式可得：,曲杆的位移计算,例65 图61
9、4a所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为，半径为R。设均布竖向荷载q沿水平线作用。试求B点的竖向位移。,曲杆的位移计算,解：求B点的竖向位移时，在B点加单位竖向荷载（164b）。分别求实际荷载和单位荷载作用下的内力。取B点作坐标原点，任一点的坐标为（x，y）。,实际荷载,虚设荷载,位移公式为:,曲杆的位移计算,用 分别表示 所引起的位移，得：,用 作变数，则,代入上式并积分得：,曲杆的位移计算,如果，则,6-5 图乘法,图乘法及其应用条件 几种常见图形的面积和形心位置 应用图乘法时的几个具体问题,图乘法及其应用条件,图乘法及应用条件,上式中y0是在MK图形心C对应处的M
10、i图标距，A是MK图的面积，因此：位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。,图乘法及应用条件,应用图乘法应注意两点：1.应用条件：杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距 y0 应取自直线图形中。2.正负号规定：面积 A 与标距 y0 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。,几种常见图形的面积和形心位置,三角形,二次抛物线,常见图形的面积和形心,二次抛物线,二次抛物线,常见图形的面积和形心,三次抛物线,n 次抛物线,应用图乘法时的几个具体问题,如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其中一个图形。(2)如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。则计算结果应为：
11、,应用图乘法时的几个具体问题,(3)如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。如图，两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此：,应用图乘法时的几个具体问题,应用图乘法时的几个具体问题,例69 试求出下图所示刚架结点B 的水平位移,EI 为常数。,解:作实际状态和单位荷载的弯矩图,应用图乘法时的几个具体问题,6-6 温度作用时的位移计算,对于静定结构温度变化时，材料发生伸缩变形，结构因而产生位移。位移的计算仍然应用虚功原理。下图所示位移刚架结构，杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上升t2，沿截面高度h是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。,6-6 温度
12、改变时的位移计算,轴线处温度的升高为：,轴向应变和曲率分别为：,应用虚功原理可得:,当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，可得:,6-6 温度作用时的位移计算,例613 试求图示刚架C点的竖向位移。梁下侧和柱右侧温度升高10摄氏度，梁上侧和柱左侧温度无改变。各杆截面为矩形，截面高度h60cm，a6m，0.00001。,解：在C点加单位竖向荷载，作相应得内力图（628b、c）。,6-6 温度作用时的位移计算,杆轴线处的温度升高值为：,上下（左右）边缘温差为：,代入式（628b），得,代入 0.00001，a=600cm，h=60cm，得：,=-0.93cm(),6-7 互等定理,功的互等定理 位移互等定理 反力互等定理,功的互等定理,位移互等定理,两种状态，由功的互等定理可得,当两个作用荷载都等于一时，此时的位移记作12和21。,这就是位移互等定理,反力互等定理,如图同一线性变形的两种状态。应用功的互等定理可得：,进一步有,上式实际上就是反力互等定理:在任一线性变形体中,由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21,等于由位移C2所应起的与位移C1相应的反力影响系数r12。,
