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1、2023/9/14,1,虚功原理与结构位移计算,第 九 章,2023/9/14,2,9-1 应用虚功原理求刚体体系的位移,一、结构位移计算概述,产生位移的原因：（1）荷载,（2）温度变化、材料胀缩,（3）支座沉降、制造误差,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,广义位移,位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便,2023/9/14,3,二、虚功原理,1、实功与虚功,实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。,P1,P2,荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对
2、线弹性体系P与成正比。,元功：,再加P2，,P2在自身引起的位移22上作的功为：,在12过程中，P1的值不变，,12与P1无关,Kj,位移发生的位置,产生位移的原因,2023/9/14,4,2、计算结构位移的目的a、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。b、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。c、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。,(b),(a),2023/9/14,5,3、位移计算中的基本假定位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随之消失。并应满足如下基
3、本假定：、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；、所有约束为理想约束，即约束力不作功。,2023/9/14,6,4、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=S1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量,P,m,2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。,3）若广义力是等值、反向的一对力P,这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。,4）若
4、广义力是一对等值、反向的力偶 m,这里是与广义力相应的广义位移。,表示AB两截面的相对转角。,2023/9/14,7,三、虚功原理应用,1、求静定结构的未知约束力例题9.1评讲单位位移法步骤：）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；2）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。3）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。,2023/9/14,8,2、虚力原理,虚功方程,设虚力状态,小结：,（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；,（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平
5、衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；,（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。,单位荷载其虚功正好等于拟求位移。,虚设力系求刚体体系位移,2023/9/14,9,3、支座位移时静定结构的位移计算,（1）C点的竖向位移,（2）杆CD的转角,所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。,求解步骤,（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；,（3）解方程得,定出方向。,（2）建立虚功方程,2023/9/14,10,虚功方程：,B,A,A,例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在ii方向的位移。,例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在ii
6、方向的位移。,2023/9/14,11,例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在方向的位移。,由平衡条件：,虚功方程：,当截面B同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：,2023/9/14,12,9-2 结构位移计算的一般公式,变形体的位移计算,推导位移计算公式的两种途径,由变形体虚功原理来推导；,由刚体虚功原理来推导局部到整体。,一、局部变形时的位移计算公式,基本思路：,（1）三种变形：,在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。,2023/9/14,13,（2）微段两端相对位移：,续基本思路：设,微段的变形以截面B左右两端的
7、相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。,（3）应用刚体虚功原理求位移d即前例的结论。,或,2023/9/14,14,二、结构位移计算的一般公式,一根杆件各个微段变形引起的位移总和：,如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：,若结构的支座还有位移，则总的位移为：,2023/9/14,15,适用范围与特点：,2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。,关于公式普遍性的讨论：,（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。,（2）变形原因：荷载与非荷载。,（3）结构类型：各种杆件结构。,（4）材料种类：各种变形固体材料。,1）适于小变形，可用叠加原理。,2023
8、/9/14,16,位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。,外虚功：,内虚功：,变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即：,2023/9/14,17,三、位移计算的一般步骤:,实际变形状态,虚力状态,(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；,(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。,2023/9/14,18,9-3 荷载作用下的位移计算,研究对象：静定结构、线性弹性材料。,重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。,一、计算步骤,（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式
9、。,（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知,k-为截面形状系数,(3)荷载作用下的位移计算公式,2023/9/14,19,二、各类结构的位移计算公式,（1）梁与刚架,（2）桁架,（3）拱,2023/9/14,20,(a)实际状态,(b)虚设状态,AC段,CB段,1）列出两种状态的内力方程：,2023/9/14,21,2)将上面各式代入位移公式分段积分计算,CB段,2023/9/14,22,CB段,设为矩形截面 k=1.2,2023/9/14,23,3）讨论,比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。,设材料的泊松比,由材料力学公式。,2023/9/14,24,-4.74,-4.42,-0.
10、95,4.5,1.5,3.0,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例2 计算屋架顶点的竖向位移。,2023/9/14,25,AD,DC,DE,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,2023/9/14,26,例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3）位移公式为,ds=Rd,钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.,2）实际荷载,2023/9/14,27,例4：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载
11、,积分常可用图形相乘来代替,2）MP 须分段写,2023/9/14,28,9-5 图乘法 位移计算举例,Mi=xtg,注：,y0=x0tg,表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积A与竖标y0在杆的同侧，Ay0 取正号，否则取负号。,2023/9/14,29,几种常见图形的面积和形心的位置：,A=hl/2,二次抛物线A=2hl/3,二次抛物线A=hl/3,二次抛物线A=2hl/3,三次抛物线A=hl/4,n次抛物线A=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,2023
12、/9/14,30,ql2/2,例：求梁B点转角位移。,例：求梁B点竖向线位移。,2023/9/14,31,例：求图示梁中点的挠度。,3a/4,例：求图示梁C点的挠度。,？,？,2023/9/14,32,非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形,各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。,=111,2023/9/14,33,=15,=33,2023/9/14,34,b)非标准抛物线乘直线形,E=3.3 1010 N/m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010=3.6465
13、104 N m2,例：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。,解：q=2500010.025625 N/m,2023/9/14,35,折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2,P=1,0.8,2,2023/9/14,36,P=1,l,y3,2023/9/14,37,求AB两点的相对水平位移。,6,3,),2023/9/14,38,求B,求B点竖向位移。,2023/9/14,39,m,求A点水平位移。,2023/9/14,40,求B点的竖向位移。,？,ql2/8,l/2,？,2023/9/14,41
14、,求DV,5P,8P,1,3P,2023/9/14,42,2023/9/14,43,例：试求等截面简支梁C截面的转角。,1,=,2023/9/14,44,2-1,、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。,（,）,AB杆的转角,AB连线的转角,AB杆和AC杆的相对转角,2023/9/14,45,9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算,1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。,t0,3）微段的变形,=at/h=0,该公式仅适用于静定结构,e=at0,2023/9/14,46,例9-11 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为
15、矩形。,1,a,2023/9/14,47,9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计算,静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入,得到：,仅用于静定结构,2023/9/14,48,应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,一、功的互等定理,功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即：W12=W21,9-7 互等定理,2023/9/14,49,二、位移互等定理,位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应
16、的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12。,称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。,注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。,2023/9/14,50,三、反力互等定理,称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。,反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。或
17、者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12。,注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。,2023/9/14,51,例：已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座A的转动引起C点的挠度。解：W12=W21T21=0W12=PC3Pl/16 0 C=3l/16,例：图示同一结构的两种状态，求=？,=A+B,2023/9/14,52,已知图a梁支座C上升0.02m引起的D=0.03m/16，试绘图b的M图.,(b),Wab=0=,Wba=PD+RC C,RC=3P/32,3Pa/32,2023/9/14,53,小结,虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件,二、=,刚架、梁,桁架,支座移动,各项含义虚设广义单位荷载的方法,三、图乘法求位移,图乘法求位移的适用条件y0的取法,2023/9/14,54,标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法,四、互等定理适用条件内容,W12=W21,r12=r21,
