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1、第 六 章 位 移 法Displacement method,主 要 内 容,61 位移法的基本概念,62 单杆分析固端弯矩和刚度方程,63 位移法正则方程及其矩阵形式,64 位移法计算结构在荷载作用下的内力,67 对称结构的计算,65 位移法计算超静定结构在非荷载作用 下的内力,66 降低动不定次数新单元的引入,68 位移法与力法的比较,6-1 位移法基本概念,位移法displacement method,以超静定结构中的结点位移（线位移或角位移）作为基本未知量，根据结点的平衡条件建立位移正则方程，解出基本未知量后即可由结点位移与内力的关系式求出相应的杆内力，并用平衡方程解出全部支反力和内力
2、。,一、力法和位移法的区别,1.所选用的基本未知量不同，因而主攻目标不同，解决 问题的思路也不同,力 法：,原结构,静定基,原结构,位移法：,原结构,杆件,原结构,2.出发点不同,力法：,位移法：,静定结构,杆件,3.力法只适用解超静定结构,位移法主要用于解超静定结构，但也可解静定结构,4.位移法可采用标准化程序,基本假设：忽略杆件轴向变形的影响。,二、位移法的基本思路,1基本未知量,为将AB和BC杆分开计算,B点刚结,固定端,原结构,动定基本体系，即动定基。,即：可把动定基拆开成两根两端固定的超静定梁分别计算，然后根据一定的条件（即使附加刚臂形同虚设）组合起来代替原结构.,结点B的力矩平衡条
3、件,拆,结构拆成杆件，得杆件的刚度方程,（变形协调条件）,搭,杆件组成结构，进行整体分析，得出基本方程,（静力平衡条件）,位移法求解超静定结构需解决以下问题：,1.位移法的基本未知量包括哪些位移？动定基如何选取？,2.两端固定的超静定梁在荷载和支座位移作用下的力法计算 单杆分析？,3.如何建立位移法正则方程？,1、基本未知量(primary unknown in displacement method),(结点的角位移和线位移),二、位移法的基本概念,结点指结构中两根或两根以上的直杆件的联结点、结构的支承点以及任何伸出杆件的自由端。,结构上各个结点独立位移的总数称为结构的动不定度或动不定次数（
4、结点位移自由度）,既无线位移又无角位移的结点称为动定结点。如固定端结点,结点位移,1）、在刚结点处加上刚臂。2）、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。,将可能产生的结点线位移和角位移都加入人为约束，使之成为动不定度为零的结构，即“动定基本结构”，简称“动定基”。,动定基是原结构化成的、由若干超静定梁构成的组合体。,两端固定的超静定梁动定基的基本单元类型,2、基本体系(primary system in displacement method),附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。,3、动不定次数的确定,将动不定结构变为动定结构使其变为几何不变所需添加的约束数即为动不定次数。,平面刚
5、架,独立线位移将所有刚结点（固定支座和自由端）铰 化，使之成为几何不变体系所需添加的 链杆数。,连续梁动不定度的确定可参照平面刚架。,如何确定基本未知量举例：,动不定度使原结构变成相应动定基所需施加的附加约束数,桁架:线位移自由度2j-b,6-2 单杆分析固端弯矩和刚度方程,一、杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。,2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。,3、固端弯矩(fixed-end moment)、固端剪力(fixed-end shear force)-单跨超静定梁仅
6、由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示,二、两端固定梁在跨间荷载作用下的固端弯矩(fixed-end moment),三、两端固定梁由于支座位移引起的杆端反力梁元刚度方程,刚度(stiffness)-两端固定梁由于杆端单位位移所引起的杆端反力,如图示:支座位移A,B,A,B,力法方程：,计算系数和自由项,l,解得：,其矩阵形式为：,即,梁元的刚度方程,描述了梁元的杆端力和杆端位移之间的关系,式中：,梁元刚度矩阵,对称矩阵,kij由于“j”处的单位位移所引起的“i”处的杆端反力,“形常数”,杆端位移及相应反力序号规定：,四、一端固定
7、、另一端铰支梁元的刚度方程,五、一端固定、另一端定向支承梁的刚度方程,2、荷载引起的固端力 p401,6-3 位移法正则方程及其矩阵形式,基本未知量符号的规定：,一、位移法的基本原理,所以：K111+m1P=0,K11-结点B的刚度,K11代表了由于结点发生单位转角位移而引起的结点反力距值。它等于汇交于该结点的各杆端反力距之和。故称“结点刚度”。,Kij-由于“j”的单位位移所引起的“i”的反力.,位移法正则方程,结点B的力矩平衡方程,解得：,然后利用单元刚度方程即可求得原结构各杆端弯矩，从而作出原结构的M图。进而作Q图和N图。,也可利用叠加原理计算原结构未知反力和内力：,分别为动定基在荷载状
8、态下的弯矩、剪力值,位移法的基本特点：以未知结点位移作为基本未知量,基本做法：先拆后搭,拆,结构拆成若干单根杆件（梁单元）,搭,原结构,动定基,二、多次动不定结构的位移法正则方程及其矩阵形式,(a)原结构,(b)动静基,由叠加原理，其位移法方程为：,其实质：附加约束方向上的静力平衡方程。,注意：若结点上有外荷载，则在建立位移法方程时应予以考 虑，根据符号规定，可将其放在相应方程的右端项中。,Kij：根据梁元刚度矩阵元素叠加可得,mip：查载常数可得。,利用内力叠加公式求结构支反力（力矩）、内力及绘内力图,MP、QP、动定基在荷载下的杆端弯矩、杆端剪力、支反力,推广：n次动不定结构的位移法正则方
9、程为：,Kij 结点刚度,mip 动定基在荷载下的固端弯矩（剪力），称为自由项。,mi 作用于结点（结构）上与i方向相应的外荷载（力矩或 力），称为右端项。其方向按假设i的正向为基准,其矩阵形式为：,即：,结构刚度矩阵，其中Kij为各结点的刚度.,位移法典型方程(canonical equations in displacement method),结构的刚度矩阵(stiffness matrix),固端反力列向量.,结点外荷载列向量.,解得：,利用叠加原理求M、Q、R,三、几点说明（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。（2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。（3）位移法的实质
10、：以结点未知位移表示的静力平衡条件。,四、解题步骤,分析结构的结点自由度，即确定位移法基本未知量1、2 n,（2）将可能产生位移的结点施以相应的约束，得到由若干 两端固定的超静定梁组合而成的动定基；,（3）列位移法正则方程；,（a）载常数表mip，处理作用于各杆的跨中荷载;,（b）形常数表kij 从而求结点刚度Kij,（c）建立方程的右端项mi 处理与未知结点位移相应的 结点外荷载;,（4）解位移法方程；,64 位移法计算结构在荷载作用下的内力,例1、求图示连续梁的内力并作出M图。,解：,1).此梁为二次动不定结构，,取结点B、C的转角位移为基本未知量1、2，得动定基如图（b)示：,2）列位移
11、法正则方程,K111+K122 m1P=m1,K211+K222 m2P=m2,3)求载常数miP,4)求结点刚度Kij,5)求右端项mi-考虑与i相应的结点外荷载，以顺时针为正,6)代入正则方程，解之得：,7)求内力:,绘弯矩图如图(e)所示,2,同理：绘剪力图如图(f)所示:,例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。,1,解：,1).此刚架为二次动不定结构，,取结点A、B的转角位移为基本未知量1、2，得动定基如图（b)示：,2）列位移法正则方程,K111+K122 m1P=0,K211+K222 m2P=0,3)求载常数miP,4)求结点刚度Kij,5)代入正则方程，解之得：,6)求内力:,根据
12、,7)作弯矩图,如图（c）所示,由结点B处的弯矩值校核,思考：此结构若用力法计算,六次超静定结构,?,位移法计算基本步骤,1）确定超静定次数，解除多余约束代以多余约束力，得静定基,2）建立力法方程,4）求解力法方程，得基本未知量,5）根据叠加原理作内力图，并校核,3）作 图和 图，计算 柔度系数 和自由项,力法计算基本步骤,1）确定基本未知量，添加约束，得动定基,2）建立位移法方程,3）计算刚度系数和自由项,4）求解位移法方程，得基本未知量,5）根据叠加原理作内力图，并校核,比较：,例题3 试计算图示刚架，绘M图、Q图、N图。,解：,1).此刚架为三次动不定结构，,取结点B、C的转角位移和BC
13、杆的水平线位移为基本未知量1、2、3，得动定基如图（b)示：,2）列位移法正则方程,K111+K122+K133 m1P=0,K211+K222+K233 m2P=0,3)求载常数miP和结点刚度Kij,K311+K322+K333 m3P=0,4)代入正则方程，解之得：,5)求内力,根据,6)作M图（略）,课堂练习:求图示梁的弯矩图。,?,解：,1、基本未知量,2、求各杆端弯矩,求固端弯矩、,线刚度计算,3、建位移法方程,4、求基本未知量,5、求杆端弯矩,6-5 位移法计算超静定结构在非荷载作用下的内力,问题归结为：求mic 和mit,与力法类似,支座位移、温度改变等非荷载因素下：,例：图示
14、刚架的A支座下沉a，试用 位移法计算并绘其内力图。,超静定结构在支座位移(移动或转动)影响下一般会引起内力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用时一样,不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。,一、支座位移时超静定结构的位移法计算,解：,1)此刚架为二次动不定结构，,取结点B、C的转角位移为基本未知量1、2，得动定基如图（b)示：,2）列位移法正则方程,K111+K122 m1C=0,K211+K222 m2C=0,3)求miC和结点刚度Kij,4)代入方程得,5)求杆端弯矩,根据,6)剪力图和轴力,课
15、堂练习：图示刚架的A支座产生了水平位移a、竖向位移 b=4a及转角，试绘其弯矩图。,刚架的最后弯矩图为,6-6 降低动不定次数新单元的引入,一、概述,两端固定梁,二、一端固定、另一端铰支的梁元刚度方程形常数的计算,力法方程,解：一次超静定结构,解 得,利用平衡可求得,其矩阵形式为,型梁元的刚度方程,描述了型梁元的杆端力和杆端位移之间的关系,式中：,型梁元 刚度矩阵,对称矩阵,kij由于“j”处的单位位移所引起的“i”处的杆端反力,“形常数”,即,杆端位移及相应反力序号规定：,此外，,q,C,l,l,B,B,B,A,(a)原结构：,1,R11+m1P=0,1、基本体系-动静基,2、平衡条件,因为
16、：R11=K111(见图）,所以：K111+m1P=0 1=m1P K11,例1：,例2：用位移法计算图示刚架,并作M图,已知EI为常数.,解：,1)此刚架为四次动不定结构，,取基本未知量为1、2、3、，得动定基如图（b)示：,2）列位移法正则方程,K111+K122+K133+K1 m1P=0,K211+K222+K233+K244 m2P=0,3)求自由项miP和结点刚度Kij,K311+K322+K333+K344 m3P=0,K411+K422+K433+K444 m4P=10,4)代入正则方程，解之得：,5)求内力(略),思考:是否还有其他解法,?,解二:采用、型梁元组成的混合动定基
17、,K111+K122+m1P=0,K211+K222 m2P=10,代入正则方程，解之得：,K111+m1P=M,解三:简化的混合动定基,课堂练习:试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。,动定基,30kn,10kn/m,动定基,1,2,对称结构的内力与变形特点 对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对 称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形。,半结构的选取原则 利用结构对称性取半结构(或四分之一结构)进行计算时,其半结构分开处的约束支座是根据其变形条件来确定的。,6-7 对称结构的计算,一、半结构法 用半个结构的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。,回 顾,1.奇数跨对
18、称结构,在对称轴上的截面C无转角和水平位移，但有竖向位移。,（1）对称荷载作用下（图a）,计算中所取半边结构如图（b）所示，C处取为滑动支承端。,在对称轴上的截面C无竖向位移，但有转角和水平位移。,（2）反对称荷载作用下（图a）,计算中所取半结构如图（b）所示，C处取为链杆支座。,2.偶数跨对称结构,在对称轴上的截面C无转角和水平位移，柱CD无弯矩和剪力。因为忽略杆CD的轴向变形，,（1）对称荷载作用下（图a）,故半边结构如图（b）所示，C端为固定支座。,可将中 间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半，于是问题就变为 奇数 跨 的问题（图b）,（2）反对称荷载作用下（图a）,在对称轴上，柱
19、CD无轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。,其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半边结构如图c示。,因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消，半边结构也可按图d选取。中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和。由于两根分柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。,算例1,解：,1、基本未知量,2、求各杆端弯矩,3、建位移法方程,4、求基本未知量,5、求杆端弯矩,6、绘弯矩图,例2：,80kn,15kn/m,用位移法计算图a所示结构，绘制弯矩图。E=常数。,根据正对称性质，图a中AB杆不会弯曲而只受轴力。在这里不计轴向变形影响，故将AB杆看作轴向刚度无限的链杆，则A，B两点的竖向位移相同，简化分析半结构如图b所示。,1、试绘制结构弯矩图。已知：,A,B,C,D,12m,6m,原结构,课堂练习,2、利用对称性绘制结构弯矩图。,P,P,a/2,a,a/2,3、利用位移法求图示结构未知结点位移,EI为常数。,4m,4m,2m,P,P,Z1,Z2,6-8 位移法与力法的比较,作业：P173,61 6265 6688 61089 611,本章结束,
