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1、1,4.2 绘制根轨迹的规则,一、绘制根轨迹的依据 在上节已指出，根轨法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。由例4-1可看出，根轨迹是系统的开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程为,2,当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程可写成 式中，为已知的开环零点，为已知的开环极点，为可从零变到无穷大的开环根轨迹增益。上式称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可以画出当 由零变到无穷大时系统的根轨迹。在绘制根轨迹时，可变参数不限定是根轨迹增益，可为系统的其它参
2、数（如时间常数、反馈系数等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣的系统参数取代根轨迹增益 的位置都可以绘制根轨迹。,3,根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式表示 由此可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为幅值条件：相角条件：,4,设系统的开环传递函数为 满足幅值条件的表达式为 或 满足相角条件的表达式为,5,综上分析，可以得到如下结论：绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即 值的变化会改变系统的闭环极点在s平
3、面上的位置。在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。,6,二、绘制根轨迹的基本规则,通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条：根轨迹的起点与终点；根轨迹的分支数；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点。,7,规则一 根轨迹的起点和终点 幅值条件可写成 当，必须有 此时，系统的闭环极点与开环极点相同
4、(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益。当 时，必须有，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益。,8,下面分三种情况讨沦。1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。,9,结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则
5、有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。,10,规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。由例4-1看出，系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量s有一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复
6、根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,11,例4-3 设系统的开环传递函数为 其中、为实极点和实零点，为共轭复数零、极点，它们在s平面上的分布如图4-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即,规则三 实轴上的根轨迹 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。,12,图4-4 实轴上的根轨迹,选择so作为试验点。开环极点到s0点的向量的相角为开环零点到s0点的向量的相角为,在确定实轴上的根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影
7、响。,实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为180o。若s0为根轨迹上的点，必满足,结论：只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。,13,渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为,规则四 渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。,14,在例4-1中，开环传递函数为 开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-
8、m=2,两条渐近线在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为 和，两条渐近线正好与 时的根轨迹重合。图例,15,例4-2 已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。,解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与 实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是 渐近线如图4-3所示。,16,图4-3 根轨迹的渐近线,17,规则五 根轨迹的分离点 分析例4-1，当系统开环增益 由零到无穷大变化时，两条根轨迹先在实轴上相向运动(0 1),相遇在点，当 1后，离开实轴进入s平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴正交。我们称该点为根轨迹的分离点。实际上,点是例4-1系统特征方程的
9、等实根。一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图4-5上的分离点 和。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图4-6中的分离点A和B。显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复数根存在。,18,图4-5 实轴上根轨迹的分离点,图4-6 复平面上的分离点,19,由上面分析可知，根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根（实轴上的分
10、离点）或等共轭复根（复平面上的分离点）。系统的特征方程可写成（4-22）对式（4-22）求导可得（4-23）式（4-23）称为分离点方程。对于一个n阶系统，解式（4-23）可得到n-1个根 分离点方程的另一种形式为（4-24）式中，为开环零点的数值，为开环极点的数值。,20,21,当开环系统无有限零点时，则在方程（4-24）中，应取。此时，分离点方程即为（4-25）只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点（如图4-6所示）.因此，用观察法可大体上判断，然后将其代
11、入特征方程中验算，即可确定。对于例4-1，由式（4-23）可得分离点方程 即 解得，位于实轴根轨迹上（由0到-2的线段上），故它是实轴上的分离点。,22,例4-4 已知系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点。,解 本系统无有限开环零点，由式（4-25）可得 即 解出，由规则五知，实轴上的根轨迹为-1到-2线段和-3到-线段。不在上述两线段上，应舍去。是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。运用前面的六条规则，可绘制如图4-7所示的根轨迹图。,23,图4-7 根轨迹的分离点,24,规则六 起始角与终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点
12、或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题,先给出定义如下：起始角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中的 和。终止角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（b）中的 和。,25,图4-8(a)根轨迹的起始角和终止角,26,图4-8(b)根轨迹的起始角和终止角,27,例4-5 已知系统的开环传递函数为 且p1和p2为一对共轭复数极点，p3和 z1分别为实极点和实零点，它们在s平面上的分布如图4-9所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p1和p2 的起始角 和。,通过例4-5来分析起始角与终止角的大小。,28
13、,图4-9 起始角 的求取,对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得 由于A点无限靠近 点，,推广为一般情况可得求起始角的关系式为,同理，可得到求终止角的关系式为,29,规则七 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，用 代入特征方程可得 即,由此可得虚部方程和实部方程为 解虚部方程可得角频率，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用 代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值。的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。,30,例4-6 试
14、求出例4-4中根轨迹与虚轴的交点 及相应的开环根轨迹增益的临界值。,解 由例4-4知系统的开环传递函数为其特征方程是令 并代入特征方程得,其虚部和实部方程分别为,31,解虚部方程得 由于 不是根轨迹上的点，应舍去.故 为根轨迹与虚轴的两个交点。将其代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的临界值。系统的根轨迹如图4-10所示。当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值 和根轨迹与虚轴的交点。,32,图4-10 根轨迹与虚轴的交点,33,以上条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。根轨迹的起点（开环极点)用符号“”标
15、示；根轨迹的终点(开环零点)用符号“o”标示。根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。,要标出一些特殊点的 值，如起点（)，终点（)；根轨迹在实轴上的分离点d()；与虚轴的交点（）。还有一些要求标出的闭环极点 及其对应的开环根轨迹增益，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。,34,例4-7 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。,解 该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在s平面上。,三、绘制根轨迹图示例,由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。,根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即
16、由于没有开环零点（m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。,35,当k=0时 当k=1时 当k=2时,由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。,36,由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上 到 的线段和由 至实轴上负无穷远线段。由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为。,无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。,37,解虚部方程得,其中 是开环极点 对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值。绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。,由规则八
17、，可求出根轨迹与虚轴的交点 及对应的 开环根轨迹增益的临界值。用 代入特征方程得,38,图4-11 例4-7系统根轨迹图,39,解 是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点 和一对开环共轭复数极,根轨迹的起点为 和，其终点为 和无穷远点。由规则五知，实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹。,例4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是,40,即 解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为。,由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。,4
18、1,证明 已知系统的开环零点和极点分别为，令s=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得 将s、和 代入得 即,应用三角公式,为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为，圆心位于点 的圆弧。,42,将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有,方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点、半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。,43,图4-12 例4-8系统的根轨迹图,44,由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷
19、大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。,将上例与图例比较,45,例4-9 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,解 由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为 由规则一和规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根轨迹连续且对称于实轴。,由规则三知，4条根轨迹的起点分别是系统的4个开环极点,即，。由于系统无有限开环零点（m=0），4条根轨迹的终点 均在S平面的无穷远处（无穷零点）。,46,渐近线与实轴正方向的
20、交角为 当k=0时，当k=1时，当k=2时，当k=3时，,由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点为,47,由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是 即 解方程得到,由规则七可求出复数极点 和 的起始角,48,该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的交点 和对应的开环根轨迹增益的临界值 比较困难。下面采用劳斯判据求出 和 的值。根据系统的特征方程列出劳斯表如下：1 6 4 4 0 5 0 0,令劳斯表中 行的首项系数为零，求得，由 行系数写出辅助方程为 令，并将 代入辅助方程可求出。系统的根轨迹如图4-13所示。,49,0,图4-13 例4-9系统的根轨迹图,
