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1、第三章 多元线性回归模型,多元线性回归模型假定 OLS:参数估计检验预测,3.1 多元线性回归模型假定,一、概念,多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：,i=1,2,n,其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数（regression coefficient）。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中解释变量的数目为（k+1）,也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的非随机表达式为:,方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变
2、化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。,总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为,其中,样本回归函数：用来估计总体回归函数,其随机表示式:,ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:,或,其中：,二、多元线性回归模型的基本假定,假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性,假设3，解释变量与随机项不相关,假设4，随机项满足正态分布,上述假设的矩阵符号表示 式：,假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩
3、=k+1，即X满秩。假设2，,假设3，E(X)=0，即,假设4，向量 有一多维正态分布，即,同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n时，,或,其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵,假设6，回归模型的设定是正确的。,3.2 ols:参数的估计,估计方法：OLS、ML或者MM,一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质三、样本容量问题,一、普通最小二乘估计,对于随机抽取的n组观测值,如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：,i=1,2n,根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解,其
4、中,于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：,正规方程组的矩阵形式,即,由于XX满秩，故有,将上述过程用矩阵表示如下：,即求解方程组：,得到：,于是：,例：在例的家庭收入-消费支出例中，,可求得,于是,正规方程组 的另一种写法,对于正规方程组,于是,或,(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法,(*),(*),样本回归函数的离差形式,i=1,2n,其矩阵形式为,其中：,在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为,随机误差项的方差的无偏估计,可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为,2、参数估计量的性质,在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：
5、线性性、无偏性、有效性。,同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。,1、线性性,其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量,2、无偏性,这里利用了假设:E(X)=0,3、有效性（最小方差性）,其中利用了,和,3、样本容量问题,所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。,最小样本容量,样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即 n k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1,2、满足基本要求的样本容量,从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8
6、时,t分布较为稳定,一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。,模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明,多元线性回归模型的参数估计实例,例 在例中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。,解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1),估计区间：19792000年,Eviews软件估计结果,资料、最大或然估计,对于多元线性回归模型,易知,Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率,即为变量Y的或然函数,对数或然函数为,对对数或然函数求极大值，也就是对,求极小值。,因此，参数的最大或然估计为,结果与参数的普通
7、最小二乘估计相同,资料、矩估计（Moment Method,MM）,OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组,并对它进行求解而完成的。,该正规方程组 可以从另外一种思路来导:,求期望:,称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。,由此得到正规方程组,解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。,矩方法是工具变量方法(Instrumental Variables,IV)和广义矩估计方法(Generalized Moment Method,GMM)的基础,在矩方法中关键是利用了 E(X)=0,如果某个解释变量与随机项相关，只要能
8、找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含k+1方程的矩条件。这就是GMM。,3.4 多元线性回归模型的拟合优度检验,一、拟合优度检验,1、可决系数与调整的可决系数,则,总离差平方和的分解,由于,=0,所以有：,注意：一个有趣的现象,可决系数,该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。,问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大（Why?)这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。,调整的可决系数（adjus
9、ted coefficient of determination）,在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:,其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。,*2、赤池信息准则和施瓦茨准则,为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）,施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）,这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或AC值时才在原模
10、型中增加该解释变量。,Eviews的估计结果显示：中国居民消费一元例中：AIC=6.68 AC=6.83 中国居民消费二元例中：AIC=7.09 AC=7.19从这点看，可以说前期人均居民消费CONSP(-1)应包括在模型中。,3.5、方程的显著性检验(F检验)，解释变量t检验,方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。,1、方程显著性的F检验,即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2,n中的参数j是否显著不为0。,可提出如下原假设与备择假设：,H0：0=1=2=k=0 H1：j不全为0,F检验的思想来自于总离差平方
11、和的分解式：TSS=ESS+RSS,如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。,根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量,服从自由度为(k,n-k-1)的F分布,给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。,对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3,给定显著性水平=0.05，
12、查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32 二元例：F(2,19)=3.52,显然有 F F(k,n-k-1)即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。,2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论,由,可推出：,与,或,在中国居民人均收入-消费一元模型中，,在中国居民人均收入-消费二元模型中，,三、变量的显著性检验（t检验）,方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的,因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的 t 检验完成的。,1、t统计量,由于,以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元
13、素，于是参数估计量的方差为：,其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:,因此，可构造如下t统计量,2、t检验,设计原假设与备择假设：,H1：i0,给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中。,H0：i=0（i=1,2k）,注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致,一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0 进行检验;另一方面，两个统计量之间有如下关系：,在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由应用软件计算出参
14、数的t值：,给定显著性水平=0.05，查得相应临界值：t0.025(19)=2.093。,可见，计算的所有t值都大于该临界值，所以拒绝原假设。即:包括常数项在内的3个解释变量都在95%的水平下显著，都通过了变量显著性检验。,3、参数的置信区间,参数的置信区间用来考察：在一次抽样中所估计的参数值离参数的真实值有多“近”。在变量的显著性检验中已经知道：,容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是,其中，t/2为显著性水平为、自由度为n-k-1的临界值。,在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中,给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093,计算得参数的置信区间：0：(44.2
15、84,197.116)1：(0.0937,0.3489)2：(0.0951,0.8080),从回归计算中已得到：,如何才能缩小置信区间？,增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散，(XX)-1的分母的|XX|的值越大，致使区间缩小。,3.7 多元线性回归模型的预测,一、E(Y0)的置信区间 二、Y0的置信区间,对于模型,给定样本以外的解释变量的观测值X0=(1,
16、X10,X20,Xk0)，可以得到被解释变量的预测值：,它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。,一、E(Y0)的置信区间,易知,容易证明,于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：,其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。,二、Y0的置信区间,如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：,容易证明,e0服从正态分布，即,构造t统计量,可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间：,中国居民人均收入-消费支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元，,于是人均居民消费的预测值为 2001=120.7+0.22134033.1+0.45151690.8=1776.8（元）,实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：-0.31%,预测的置信区间：,于是E(2001）的95%的置信区间为:,或（1741.8，1811.7）,或（1711.1,1842.4）,同样，易得2001的95%的置信区间为,
