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1、材 料 力 学,第5章 弯曲应力,5.1 概述 了解5.2 梁纯弯曲时的正应力 掌握5.3 梁横力弯曲时的正应力 掌握5.4 弯曲切应力 掌握5.5 弯曲强度的计算 重点掌握5.6 提高梁承载能力的措施 掌握,第 5 章 弯曲应力,本章要点,(1)纯弯曲梁横截面上的正应力(2)横力弯曲梁的正应力,正应力强度条件(3)弯曲切应力和切应力强度校核(4)提高梁弯曲强度的措施,重要概念,纯弯曲，横力弯曲，中性层，中性轴，弯曲切应力,弯曲正应力，抗弯刚度，抗弯截面模量，变截面梁，等强度梁,本章难点,(1)弯曲应力的计算(2)弯曲强度计算,钢筋混凝土梁拉裂破坏,1、弯曲构件横截面上的内力和应力,木梁剪切破
2、坏,5.1 概 述,工程实例,2、纯弯曲和横力弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力，且弯矩为一常数纯弯曲,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲,平面弯曲时横截面上只有s 而无t:纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面上既有s又有t:横力弯曲梁(横截面上既有FS又有M的情况),3、研究方法,平面弯曲：,5.2 梁横截面上的正应力,弯曲正应力的分布为超静定问题，必须考虑几何变形、物理关系和静力关系三方面的关系。,纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)横截面上的正应力,研究方法,平面弯曲,横力弯曲梁(横截面上既有FS又有M的情况)横截面上的正应力,9,一、纯弯曲梁横截面上
3、的正应力,(一）梁纯弯曲实验,（1）横向线：变形后仍为直线，但有转动；（2）纵向线：均弯曲成圆弧线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,1.变形现象,与轴向拉、压时变形相似。,（3）在伸长区，梁宽度减小，在缩短区，梁宽度增加。,中性轴：中性层与横截面的交线。,中性轴垂直于加载方向，垂直于梁横截面的纵向对称轴。,由变形的连续性可知：,从伸长到缩短的过程中，必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度。此层称中性层。,中性轴,中性层,(2)横截面上只有正应力。,2.假设和推论,(1)平面假设：横截面变形后仍为平面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直，只是绕中性轴发生转动。,(2)假设纵向纤维之
4、间无挤压，各条纤维仅发生简单的拉伸或压缩。材料服从虎克定律=E。,推论：,(1）距中性轴等高处，变形相等。,引入假设：,二、应变分布规律变形几何关系,坐标系的选取：y 轴：截面的纵向对称轴。z 轴：中性轴。x 轴：沿梁轴线,:中性层的曲率半径 d:微段两相邻截面的相对转角 y:分析点距中性轴的距离。,三、应力分布物理方程,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应 力状态。,胡克定理,应力分布特点：（1）直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 y 成正比.（2）在中性轴上，=0；（3）在中性轴两侧，分别为拉应力和压应力；,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径
5、r,四、静力关系（确定中性轴的位置和）,受力分析：dA上的内力为dA，于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量：FN,Mz，My。由于横截面上只有绕中性轴的弯矩M，所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：,（1）由：,SZ-为截面积对 Z 轴(中性轴）的静矩。,SZ=0,yc=0,说明中性轴z必过截面形心。,yc：截面形心到Z轴的距离,(2)由：,Iyz惯性积，因为Y轴是对称轴，具有对称面，故自动满足。,（对称面）,(3)由：,则：,EIz 梁的抗弯刚度。,梁的曲率公式,Iz是横截面对中性轴 Z 的惯性矩。,于是,纯弯曲正应力计算公式,纯弯曲正应力计算公式
6、：,表明：s 与 M 和 y 成正比，与Iz矩成反比，沿截面高度成线性分布。,式中：M梁横截面上的弯矩；,y梁横截面上任意一点到中性轴的距离；,Iz梁横截面对中性轴的惯性矩.,中性轴上：y=0，s=0；,上、下边缘：|y|max，|s|max。,（1）方向（正负号）:可由梁的变形直接判定,讨 论：,（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,引用记号,抗弯截面系数或抗弯截面模量,Wz的单位：或m,讨 论：,（3）中性轴是对称轴：截面上最大拉应力tmax、最大压应力cmax在数值上相等.,（4）中性轴不是对称轴：,讨 论：,常见截面的 IZ 和 WZ,实心圆截面,矩形截面,
7、空心圆截面,一、横力弯曲各截面上任一点的正应力,5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l/h 5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲时，各截面的弯矩随截面位置X发生变化，对任一截面上任一点的正应力可按下式计算：,二、横力弯曲全梁上的最大正应力,或：,等直梁：,变截面梁：,三、弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力公式：,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,平面弯曲,线弹性变形阶段,要点 正应力沿截面高度线性分布，在中性轴上为零。中性轴将截面分为受拉区和受压区。中性轴通过截面形心。,例5.1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试
8、求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。,解：（1）画M图求截面弯矩,弯矩方程：,求支反力：,（2）求应力,（3）求1-1截面的曲率半径,E=200GPa,切应力分布与截面形状有关.,（1）两点假设 切应力与剪力平行，方向一致；距中性轴等距离处，切应力相等(沿z均匀分布）。,5.4 弯曲切应力,1、矩形截面梁横截面上的切应力,从梁中切出分离体：,x方向平衡：,其中：,（2）横截面上距中性轴y处的切应力,（2）横截面上距中性轴y处的切应力,式中：FS 所求横截面上的剪力；Iz 横截面对中性轴的
9、惯性矩；b、h横截面的宽度和高度。Sz*距中性轴y处横线以下（或以上）的面积对中性轴的静矩（取正值）；,t方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h为抛物线分布，在中性轴上最大。最大切应力为平均切应力的1.5倍。在横截面上下边缘t=0。,矩形截面梁 横截面上切应力的分布规律：,y=0（中性轴上）时：,2、工字形截面梁横截面上的切应力,腹板：切应力方向与剪力一致，计算公式可用矩形截面的计算公式，亦为：,其中：FS截面剪力；Sz*y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz整个截面对z轴之惯性矩；b1 腹板宽度。,翼板,腹板,翼板,翼板:切应力沿水平方向，分布复杂，且值很小，一般不考
10、虑。,切应力分布规律：（1）翼缘部分tmax 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。（2）切应力主要由腹板承受（95%97%），且tmax tmin,Af 腹板的面积。,（3）中性轴上切应力最大。,翼板,腹板,翼板,工字型梁的翼板主要承受弯矩，腹板主要承受剪力。,式中：A为圆的面积，D为外径，d为内径或实心圆的直径。圆截面的切应力分布比较复杂，但最大值也在中性轴上。,3、圆形截面梁横截面上的切应力,实心圆形截面：,空心圆形截面：,最大切应力发生在中性轴上,最大切应力发生在中性轴上,式中：平均切应力，,梁横截面上的最大切应力可表示为：,实心圆形截面，,空心圆形截面，,最大切应力值max 都在
11、中性轴上。,矩形截面，,工字形截面，,的取值：,一、弯曲正应力强度条件,5.5 弯曲强度的计算,对梁强度的计算主要是限制最大弯曲正应力不得超过许用应力。,（1）等直梁：,或：,实践表明，正应力往往是引起梁产生破坏的主要因素。,（2）变截面梁：,（3）脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,二、梁的切应力强度条件,式中：为材料的许用切应力。由于其绝大多数为细长梁，并且在一般情况下，细长梁的强度取决于其正应力强度，而无须考虑其切应力强度。,梁的切应力强度条件：,需进行剪切强度校核的地方：（1）梁的跨度较小（l/h 5），或荷载离支座较近（弯矩较小而剪力很大的情况）；（2）铆接或焊接的工字形或箱
12、形等截面梁（腹板、焊缝、胶合面或铆钉等）；（3）各向异性材料（木梁顺纹方向）抗剪强度小，要校核切应力。,三、梁的弯曲强度计算步骤,1、分析梁的受力，确定约束力。2、确定危险面和危险点。根据剪力图和弯矩图、截面尺寸变化情况和材料的力学性质等确定危险截面。对于等截面梁，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上。最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。3、应用强度条件进行强度计算,、校核强度：,(1)校核强度：,(2)设计截面尺寸,(3）设计许可载荷：,四、强度条件应用,根据强度准则可解决三种强度问题：,所设计的梁，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在一般情况下，弯曲正应力对梁的强
13、度起着决定性作用。所以在实际计算时，通常是以梁的正应力强度条件做各种计算，以切应力强度条件进行校核即可。,解：（1）计算支反力,例5.2 圆截面梁受力如图，外伸部分是空心的，其内外直径分别为：d=40mm，D=60mm，材料的=120 MPa，试校核此梁的强度。,（3）计算危险截面最大正应力,（2）画弯矩图，判断危险截面,C、B两截面均有可能是危险截面,（4）校核强度,梁强度安全。,C 截面：,B 截面：,例5.3 T字形截面悬臂梁受力如图所示，已知Iz=1.02108mm4。若材料为铸铁，其t=40 MPa,c=100 MPa，试校核此梁的强度。,Iz=1.02108mm4,解：（1）画弯矩
14、图，判断危险截面,例5.3 t=40 MPa,c=100 MPa,（2）根据危险截面上正应力分布情况，确定可能的危险点,Iz=1.02108mm4,16kNm,12kNm,危险点:拉应力 压应力,A截面b点,A截面a点或B截面d点。,可见，梁的强度安全。,例5.3 t=40 MPa,c=100 MPa,（3）计算危险截面最大正应力，进行强度校核,Iz=1.02108mm4,思 考,若材料为钢材，将截面设计为T字形是否合理？,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为，g=0.34MPa，木材的=10 MPa，=1MPa，求梁的许可载荷F。,例 5.4,(1)画梁的剪力图和弯矩图
15、,(2)按木材的正应力强度条件计算许可载荷,解：,(3)按木材的切应力强度条件计算许可载荷,(4)按胶合面强度条件计算许可载荷,(5)梁的许可载荷为,按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件.,5.6 提高梁强度的主要措施,增大WZ,减小M,合理安排支座,合理布置载荷,合理设计截面,合理放置截面,1.合理地布置梁的荷载,一、降低梁的最大弯矩值,2.合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动 a=0.2l 时，最大弯矩减小.,二、增大Wz,1.合理选择截面形状,经济合理的截面形状：在面积A一定的情况下，选择抗弯模量大的截面,即使 WZ/A 的比值尽可能大的截面。,圆截面：,正方形截面：
16、,矩形截面：,工字形截面与框形截面类似.,框形截面：,工字形截面：,1)通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在横截面的面积A相等的情况下，比值Wz/A从大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圆形；,2)通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的Wz/A总是大于实心截面的Wz/A。,上面只是单从强度观点出发分析了截面的选择规律，事实上，在实际工程中，选择截面时，除了考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使用合理等因素后才正确选择梁的截面形状。这就是大家所看到的在实际工程中仍然大量使用实心矩形截面梁，而不常使用空心
17、截面梁的原因。,（2）梁的合理放置,对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截面系数不相同。,三、根据材料特性选择截面形状,为了使截面上最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用值：,塑性材料：抗拉强度与抗压强度相同，即,最好使用对称于中性轴的截面。如工字型、矩形等,三、根据材料特性选择截面形状,脆性材料：,最好使用T字形类的截面，并使拉应力（最大）发生在距中性轴较近的一缘。中性轴的位置应符合以下条件：,四、采用变截面梁和等强度梁,为了充分利用材料，理想的梁应：,若使,则：,等强度梁,梁每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁
18、所用材料的弯曲许用应力，这种变截面梁称为等强度梁。,弯矩M小,小截面,采用,弯矩M大,大截面,采用,变截面梁,厂房建筑中常用的鱼腹梁.,从强度的观点来看，等强度梁最经济，能充分发挥材料的潜能，是一种非常理想的梁，但是从实际应用情况分析，这种梁的制作比较复杂，给施工带来很多困难，因此综合考虑强度和施工两种因素，它并不是最经济合理的梁。在工程中，通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁，而不采用等强度梁。,1、如图所示工字形截面上，剪力为 FS，欲求m-m线上的切应力，则公式 中，和 b分别为_。,A为截面的阴影部分对Z轴的静矩，b=BB为截面的阴影部分对 Z轴的静矩，b=C为截面的阴影部分对Z 轴的静矩，b=BD为截面的阴影部分对 Z轴的静矩，b=,课堂练习,A.中性轴为z1，最大拉应力在上边缘处；B.中性轴为z1，最大拉应力在下边缘处；C.中性轴为z0，最大拉应力在上边缘处；D.中性轴为z0，最大拉应力在下边缘处。,2、形截面悬臂梁如图所示，其中 C 为截面形心，该梁横截面的。,3、图示矩形截面梁，=160MPa，=50MPa，校核梁的强度。,本章结束！,谢谢大家,
