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1、,第五讲(一元微分学之二)微分中值定理 及其应用,方法指导 1.微分中值定理的理解及它们之间的关系,第二章第二节 微分中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,(1)几个中值定理的关系,(2)证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如,证明拉格朗日定理:,要构造满足罗尔定理条件的辅助函数.,方法1.直观分析,由图可知,设辅助函数,(C 为任意常数),方法2.逆向分析,要证,即证,原函数法,辅助函数,同样,柯西中值定理要证,即证,原函数法,设,(3)中值定理的条件是充分的,但非必要.,可适当减弱.(如p85例13),因此,设,在,内可导,且,则至少存在一点,使,证:设辅助函数,显然,在,上
2、连续,在,内可导,由罗尔,定理可知,存在一点,使,即,(4)中值定理的统一表达式,设,都在,上连续,且在,内可导,证明至少存在一点,使,证:按三阶行列式展开法有,利用逆向思维设辅助函数,显然 F(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,因此,由罗尔定理知至少存在一点,使,即,说明,设,都在,上连续,且在,内可导,证明至少存在一点,使,若取,即为罗尔定理;,若取,即为拉格朗日中值定理;,若取,即为柯西中值定理;,(自己验证),2.微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或不等式,(3)证明有关中值问题的结论,3.中值定理的主要解题方法,中值定理,原函数的性质,导
3、函数的性质,解题方法:,从结论入手,利用逆向分析法,选择有关中值定,理及适当设辅助函数.,(1)证明含一个中值的等式或证根的存在,常用,罗尔定理,此时可用原函数法设辅助函数.,(2)若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.,(3)若结论中含两个或两个以上中值,必须多次,使用中值定理.,(4)若已知条件或结论中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.,(5)若结论为恒等式,先证变式导数为 0,再利用,特殊点定常数.,(6)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的,技巧.,1.对微分中值定理的理解,例1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理
4、,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,二.实例分析,例2.思考:在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,例3.当 时,试证,证:设,当 时,在,上,满足拉氏中值定理条件,因此有,解出,则,时,(p76例2),又因,及,在,单调递增,于是,说明:中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界.,第六讲(一元微分学之二)微分中值定理 及其应用,微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或
5、不等式,(3)证明有关中值问题的结论,例4.设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界.(p77例3),证:取点,再取异于,的点,对,在以,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(界于 与 之间),令,则对任意,即,在,内有界.,例5.设函数,在,上二阶可导,且,证明,(P78 例5),证:,由泰勒公式得,两式相减,得,例6.,设函数,上具有二阶导数，且满足,证：,故序列,发散.,(2007 考研）,第六讲(一元微分学之二)微分中值定理 及其应用,例1,求证，存在,使,设,可导，且,在,连续，,证：逆向分析做辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,2.证明有关中值
6、问题的结论,例2.设函数,在,上二阶可导,且,证明至少存在一点,使,得,证:类比设辅助函数,因,在,上满足罗尔定理条件,所以存在,使,因此,在,上满足,罗尔定理条件,故必存在,使,即有,例3.设函数,在,上连续,在,但当,时,内可导,且,求证对任意,自然数 n,必有,使,分析:在结论中换 为,得,因,所以,证:两边积分设辅助函数,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此必有,使,即,例4.设,且在,内可导,证明,至少存在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,例5.设,至少存在一点,使,证:问题转化为证,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,
7、1)内至少存在一点,使,即,证明,例6 设,成立。,解：原式变形为,令,由题意和基本初等函数性质可知，,满足柯西中值定理条件,有,等式成立。,例7.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例7.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,例8.设,在,上连续,在,证明存在,内可导,且,使,证:方法1（逆向分析法）,因为所证结论左边为,设辅助函数,由于,上满足拉氏中值定理条件,且,易推出所证结论成立.,在,(参考p81例10),方法2.（常数k值法）令,因
8、此可考虑设辅助函数,由于,在,上满足罗尔定理条件,故存在,使,由此可推得,故所证结论成立.,例9.设,在,上连续,在,证明存在,内可导,且,使,证:,转化为证,设辅助函数,由于它在,满足,拉氏中值定理条件,即证,因此存在,使,再对,转化为证,在,上用拉氏中值定理,则存在,使,因此,例10.,且,试证存在,证:欲证,因 f(x)在 a,b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入,化简得,故有,即要证,例11.设,在,上连续,在,试证对任意给定的正数,内可导,且,存在,证:,转化为证,因,即,由连续函数定理可知,存在,使,使,因此,对,即,例12.已知函数,内可导,且,证:(1)令,故存在,使,即,
9、(2005 考研）,内可导,且,(2)根据拉格朗日中值定理,存在,使,已知函数,例13.设函数,在,上三阶可导,且,设,使,证法一:因,因,因此,试证存在,利用二阶泰勒公式,得,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,例14.设函数,证:,据泰勒定理,存在,使,由此得,即有,(2007 考研）,情形1.,则有,内具有二,法2.,应用罗尔定理得,即有,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,情形2.,因此据零点定理,存在,即有,则有,设函数,应用罗尔,定理得,内具有二,例1.如果方程,证明方程,有一个正根,有一个小于,的正根。,证：,又,由罗尔定理可知在,故,4.判别方程根的存在唯一性,例2.设实数,满
10、足下述等式,证明方程,在(0,1)内至少有一,个实根.,证:令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,例3.设函数,在,上二阶可导,且,证明方程,内有且仅有一根.(P80 例9),证:在,在,上,由泰勒公式可知,因,所以,又因,利用,的单调性及连续函数介值,定理,可知,在,内有且仅有一根.,例1.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,3.证明恒等式或不等式,例2.证明恒等式,证:令,则,因此,又,故所证等式成立.,证:设,中值定理条件,即,故,因此应有,例3.证明不等式,设,证明对任意,有,证：
11、,例4,不妨设,第六讲(一元微分学之三)不等式的证明方法(第二章第四节),一.不等式的证明方法指导,1.利用导数证明不等式的常用方法,(1)利用导数定义;,(2)利用函数的单调性;,(3)利用函数的极值和最值;,(4)利用函数的凹凸性;,(5)利用微分中值定理;,(6)利用泰勒公式.,2.证明不等式的常用技巧,(1)注意选择适当的辅助函数和对应区间;,(2)注意适当的放大和缩小技巧;,(3)注意几个常用不等式:,(算术平均几何平均),(柯西不等式),3.关于导数的不等式定理(p103),定理,设函数,在,上具有n 阶导,数,且:,则当,时,证:令,则,利用,在,处的 n-1 阶泰勒公式得,因此,时,
