理论力学教程周衍柏第三版课件.ppt

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1、,理论力学教程（第三版）,周衍柏,编,高等教育出版社,1,0.1 力学的研究对象,力学（mechanics）的研究对象是机械运动（mechanical motion）经典力学研究在弱引力场中宏观物体的 低速运动力学:运动学、（静力学）、动力学,Nature and natures law lay hid in,night:,God said:,let Newton be!And all was light！,2,理论力学与普物力学的关系,理论力学是力学的延续与提高主要的概念和定律一样 理论力学用高等数学方法处理物理问 题分析力学,3,理论力学的任务,研究物体机械运动的一般规律,理论力学的研究对

2、象有限个自由度的力学体系,质点刚体,两个模型,4,理论力学研究的条件,宏观低速下,质量不变,绝对时间,绝对空间,5,*v c,*物体的尺度原子,分子尺度,理论力学的学习,预备知识:普通力学+高等数学以公理、定律为依据，应用数学推演的 方法导出其他定理和结论 偏重于问题的提出、求解严格基础训练、强化现代技术应用 注重问题的延拓分析培养科学精神,6,科学是一种方法，它教导人们：一些事物是怎样被了解的，什么事情是已知的，现在了解到什么程度（因为没有事情是绝对已知的），如何对待疑问和不确定性，证据服从什么法则，如何去思考事物，做出判断，如何区别真伪和表面,理查德.,费曼,现象。,参考书,梁昆淼.梁昆淼

3、.赵凯华.卢德馨.,力学.力学.力学.,(上册)第四版,高等教育出版社,2009(下册)第四版,高等教育出版社,2010,第二版,高等教育出版社,2004,大学物理学.第二版,高等教育出版社,2003,7,0.2,理论力学的内容结构,矢量力学（即牛顿力学）分析力学,矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受,力情况，由此探讨物体的机械运动规律.在矢量力学中，涉及的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等.力是分析力学中最关键的量.,分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量情,况，由此探讨物体机械运动规律.分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿

4、函数等。动能和 势能是最关键的量.,8,0.3,力学简史,牛顿力学的建立：在哥白尼(日心说)推翻了托勒密的地心说，和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上,开普勒发 现了行星三定律总结万有引力定律，牛顿总结了三定 律(自然哲学的数学原理,1687).分析力学:（1788）拉格朗日力学建立(至此认为力学天衣无 缝).近代力学：19世纪末、20世纪初出现了经典力学无法解释的矛盾.1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微 观粒子：量子力学（薛定谔）；3）纳米技术：0.1100nm尺度起关键作用(原子直径10-10m;人头发10-4m；人100m).9,0.4,力学单位制,物理理论组成：概念、概念

5、的数学表示假定、方程组（物理量的关系）单位制通过以下步骤建立：,选出几个相互独立的物理量作为基本量；选取可以直接测量的物理量.,通常基本量都是,1.,由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出关系式）.确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为 长度：米（m）、质量：千克（kg）、时间：秒（s）10,2.,3.,由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）；基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大 写字母作为基本量的量纲的符号.导出量的量纲通过导出关系式用基本量的量纲表示.单位制：按照上述方法制定的一套单位.常用单位制:MKS、CGS、自然单位制.单位制

6、制订要考虑不易变化以及测量的方便程度.,4.5.,6.,11,12,时间(time)的计量,以前定义:1秒为地球绕自身轴线转动一周(1天)的1/86400.目前时间标准：1秒的长度等于与铯133原子基态两个 超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9 192 631 770 倍.未来定义:原子氢微波激射器？因为它比铯原子钟稳 定度高100倍.,13,时钟的改进,14,长度(length)的计量,空间反映物质运动的广延量,在三维空间里位置可由三个相互独立的坐标来确定.空间中两点间的距离为长度.1889年，第一届国际计量大会:法国国际计量局铂铱合金 棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米.1960年，

7、第十一届国际计量大会：采用氪86原子橙黄光波 长的1 650 763.73倍定义为1米,实现了自然基准.1983年，第十七届国际计量大会：1米定义为光在真空中传 播(1/299 792 458)秒的时间间隔内所经路程的长度.,15,质量(mass)的计量,物体所含物质的多少.惯性质量 引力质量1889年，第一届国际计量大会：1千克质量的实物基准 是保存在法国巴黎国际计量局中的一个特制的、直径 和高均为39mm的铂钇合金圆柱体，称为国际千克原器.未来标准:是否采用自然基准?,16,物质世界的层次和数量级,17,物质世界的层次和数量级,micron,second,us,nano,second,ns

8、,18,目前已知质量范围,已知宇宙银河系 地球人 灰尘 烟草花叶病毒 质子电子,1053kg2.21041kg6.0 1024kg6.0 101kg,10-10kg10-13kg10-27kg10-31kg,6.72.31.79.1,19,力学量的单位,20,力学量,MKS制,CGS制,工程制,长度 质量 时间 速度 加速度 力动量 冲量功,能,m(米)kg(千克)s(秒)m/s(米/秒)m/s2(米/秒2)N(牛顿)kg m/sN sN m,cm(厘米)g(克)s(秒)cm/s(厘米/秒)cm/s2(厘米/秒2)dyn(达因)dyn sdyn s erg(尔格),m(米)kgf/(ms2)s

9、(秒)m/s(米/秒)m/s2(米/秒2)kgf(千克力)kgf s kgf s kgf m,g cm/s,0.5,量纲(dimension),在不考虑数字因子时，表示一个物理量是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子，称为这个物理量的量 纲.在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和时间,它们的量纲分别为L、M和T.,任何力学量Q的量纲为Q=LMT，式中,为量纲指数.,21,量纲分析,定理,设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲为X1，X2，Xm.用P代表导出量P的量纲,则,X am,X a1 X a2,P,1,2,m,上式取对数,lnP a1lnX1 a 2lnX2 am

10、lnXm,把lnX1,lnX2,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则（a1,a2,am）相当于“矢量”lnP在基矢上的投影.,22,定理,P1,P2,Pn,设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量),而我们所选的单位制中有m个基本量(nm),则由此可以组成n-m,个无量纲的量函数关系式,.在物理量,之间存在的,P,P,P,1,2,n m,1 2,n,f(P1,P2,Pn)0可表达成相应的无量纲形式,F(1,2,nm)0,1 2,n m,或者从上式把 1 解出来：,n=m的情况下，有两种可能.若 P1,P2,Pm 的量纲彼此独立，则不 能由它们组成无量纲的量；如不独立，则还可能组成无量纲的量

11、.23,例1 虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲,但大量粒子撞击的平均效果就是均匀而持久的压力.如设粒子流中每个粒子的速度都垂直于墙壁,并大小一样,皆为v.粒子质量为m,单位体积内的粒子数为n.试导出墙壁受到的压强与上述三个物理量之间的关系.,这是一个力学问题,有三个基本量,质量、长度和时间,即m=3.本题涉及的物理量:n,m,v,P(m=4)的量纲分别为:,解:,lnn 0 lnM(3)lnL,0 lnT0 lnT,lnm 1 lnM lnv 0 lnM,0 lnL,1 lnL(1)lnT,(1),lnP 1 lnM(1)lnL,(2)lnT,由于只有3个基本量,相当于3维基矢空间,

12、所以上述4个量只有3个是线性无关的.设前3个是无关量,则有,24,lnP x1 lnn x2 lnm x3 lnv将(1)式代入,则有1 ln M(1)ln L(2)ln T,x10 ln M(3)ln L,0 ln T0 ln T,x2 1 ln M x30 ln M,0 ln L,1 ln L(1)ln T,由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,0 x1 1 x2(3)x1 0 x2 0 x1 0 x2,0 1,x3 1x3 1,(1)x3 2,x1 1,x2 1,x3 2,求解上述方程组,得到,25,于是我们得到,lnP 1 lnn 1 lnm 2 lnv从

13、而得到P knmv2k是一个无量纲的数学常数,根据具体情况不同,k可能变化,而压强与这 三个物理量的关系是不变的.,总结:,利用量纲分析,虽然不能完全定量的给出物理问题的答案,但是能够对物理问题提供一个简便的分析思 路,甚至不需要知道定律和物理机制的细节.,26,例2解:,用量纲分析法证明勾股定理直角三角形的面积A可由它的一边(例如斜边c)和一个锐角(如)所 决定.是无量纲的,所以,A c 2()如图,作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形,它们各 有一个同样的锐角,故它们的面积应分别为,A a 2(),A b2(),1由A=A1+A2得,2,c,a,c 2()a 2(),b2(

14、),c 2,a 2,b2,消去(),即得,b,这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.,27,0.6,微积分预备知识,常见函数的导数,1,n,dy,dx,x n,y,nx n1,y,dxdy,dx,dsinx,y sin,x,y,cos x,dxdy,dxdcosx,y cos,x,y,sin,x,dx,dxdlnxdx,dydx,1x,y ln x,y,x,dy,de,e x,y,e x,y,dx,dx,28,导数运算定理,2,d,du,dv,u(x),v(x),dxd,dx,dx,du,dv,u(x)v(x)v(x),u(x),dx,dx,dx,du,dv,u(x),v(x),d,u(

15、x),dx,dx,v(x)2,dx,v(x),d,du dv,uv(x),dx,dv dx,29,3 常见函数的幂级数展开式,函数,展开式,收敛范围,x)1/2x)3/2x)5/2 x)1/2 x)3/2x)5/2x)1x)2,x 2x 2x 2,x3x3x3,x 4x 4x 4,(1(1(1(1(1(1(1(1,1 1 1,x,11,113,1135,1 1 1 1 1 1 1 1,1,xx xxx,2431,246311,24683113,23,xx,25,2453,246531,24685311,24,246135,2468,2,x 2x 2x 2x 2,x3x3x3,x 4x 4x 4

16、,1 1 1,x,13,1357,1,24,246,2468,2,3,xx,35,357,3579,2,24,246,2468,57,579,57911,5,x,24,246,2468,2,x3,x 4,1 x,xx,1 2 x 3x 2 4 x3 5x 4,30,x31,x51,sin xcos x,x,1,x 417,1,x,3!,5!,x 2,x6,1 x3,1,x,2!,4!,6!,x5x 2,x7,x9,tan,x,x,1,2,62,x,3,15,315,2835,e xln(1,x3,x 4,1,1,x x,1,1,1,1,x,1!,2!,3!,4!,x 2,x3,x 4,1,1,

17、1 x 1,x),2,3,4,x,x 2,x3,x 4,ln(1,1,1,1,1 x 1,x),2,3,4,31,4 基本不定积分公式,函数,不定积分,f(x),f(x)dx,n 1,x,xn(n 1),C,n 1,cos x Csin x C,sin x,cos1,x,ln|x|C,xe x,e x,C,32,5 积分运算定理,(i)如果f(x),(a是常量),则 a u(x)dx,=a,u(x),f,(x)dx,(ii)如果f(x)=u(x),v(x),则,f(x)dx u(x)dx v(x)dx,u(v)v(x),则 u(v)v(x)dx,如果f(x)=,(iii),u(v)dv,f(x

18、)dx,33,0.7,矢量基本知识,标量(scalar):物理学中像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小的 物理量.矢量(vector):像位移、速度、加速度、动量、力等,除 数量大小外还有一定的方向,并遵从一定的合成法则与,随坐标变换的法则的物理量.,z,A Ax i Ay j,Az k,Ax A cos,cos2 cos2,Ay A cos,A cos,Az,A,cos2,k,1,Ax,y,y34,2,2,2,2,A Ax Ay Az,j,x,i,Az,A,1 矢量的加减法,A1,A2,An B1,B2,Bn，则,考虑n维矢量,A B,A1,A2,An B

19、1,B2,Bn A1 B1,A2 B2,An Bn,B,A,(交换律),A B B A,A B C A B C矢量的标积,(结合律),2,A和B是两个任意矢量,它们的标积定义为,Ax Bx Ay By,Az Bz,A B,AB cos B A,A B,A B,(交换律)(分配律),A B C A B,A C,35,矢量的矢积,3,A 和 B 是两个任意矢量,它们的矢积定义为,A B,(Ay Bz Az By)i,(Az Bx,Ax Bz)j(Ax By,Ay Bx)k,iAxBx,jAyBy,kAzBz,C,AB sin,C A B,B,A B B A,(反交换律),A,A B C A B A

20、 C,36,矢量的三重积物理学中经常遇到矢量的三重积,常见的两种,4,A B C,(i)三重标积,Ax,Ay,Az,A B C,B C A C A B,A B C,B,B,B,x,y,z,Cx,C y,Cz,A B C,(ii)三重矢积,A B C A C B,A BC,显然这个矢积还是在矢量B和C平面内.,37,第一章,质点力学,1.1 运动的描述方式,1.2,速度、加速度的分量形式,1.3,平动参考系,1.4,质点运动定律,1.5,质点运动微分方程,1.6 非惯性系动力学（一）,1.7 功与能,1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律,1.9 有心力,第一章部分作业解答,第一章质点力学,

21、1,质点运动学质点动力学,2,运动学的主要内容,研究物体运动的几何性质,运动学所涉及的研究内容包括：1.建立物体的运动方程2.分析运动的速度、加速度、角速度、角加 速度等3.研究运动的分解与合成规律,3,质点运动学导读,参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度自然坐标系，切向、法向加速度,相对运动,绝对(加)速度、相对(加)速,度、牵连(加)速度,4,1.1,运动的描述,本节导读,质点、参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度,5,1,质点,具有一定质量的几何点,自由质点：可以在空间自由运动的质点.,确定一,个自由质点在空间的位置需要三个独立变量.,2,

22、参考系,坐标系,参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体,坐标系：用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统,6,3,位置矢量与运动方程,z,位置矢量（位矢）从坐标原点O出发，指向质 点所在位置P的一有向线段位矢用坐标值表示为,P(x,y,z),r,O,y,x,r xi yj,zk,位矢的大小为,x 2,y 2,z 2y,r,x,z,cos,cos,cos,位矢的方向,r,r,r,7,运动方程,r,x(t)i,y(t),j,z(t)k,参数形式,xy z,x(t)y(t)z(t),轨道方程,F(x,y,z)0,8,4,位移,z,A,B,r,设质点作曲线运动,rA,rB,t 时刻位于A点，位矢rAt

23、+t时刻位于B点，位矢,O,rB,y,x质点相对于某参考系运动时，位置连续变化.,在给,定时间内，联结质点初位置A和末位置B的直线，并从A指向B加上箭头，叫做质点在给定时间内的位移.,9,r rB rA AB,5,速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量,定义：单位时间内质点所发生的位移,z,A,(1)平均速度,B,r,rA,rB,(2),瞬时速度,O,y,r lim,dr,m s1,v,t,dt,t 0,x,速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向.,10,rv m s t,v,vx i,vy,j vz k,s,B,2,2,2,v,v,v x,v y,v z,A,r,lim,(3),速率,t

24、,dt,一般情况：,因此,r,s,v,则,r,dr,ds,v,v,当t0时：,11,v,v s dst 0,v1,z,6,加速度加速度是反映速度变化的物理量,v2,O,平均加速度,y,瞬时加速度,x,k,i,j,dvy,dvx,dvdt,dvz,a,v1,dt,dtd 2 y,dt,v,k,i,j,d 2 x,d 2 z,v2,dt 2,dt 2,dt 2,2,2,2,ax a y,a,az12,ax i a y j,az k,vm s2 t,a,运动学的主要内容,研究物体运动的几何性质,运动学所涉及的研究内容包括：1、建立物体的运动方程2、分析运动的速度、加速度、角速度、角 加速度等3、研究

25、运动的分解与合成规律,质点运动学导读,参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度自然坐标系，切向、法向加速度,相对运动,绝对(加)速度、相对(加)速,度、牵连(加)速度.,1.2,速度、加速度的分量表示式,本节导读,直角坐标系中位移、速度、加速度表示极坐标系中位移、速度、加速度表示 切向加速度与法向加速度,1 直角坐标系,位置矢量,r xi,yj,zk,速度表示,d,zk,xi,yj,r,v,dt,加速度表示,d,v,xi,yj,zk,a,dt,运动学的两类问题（1）已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度,d,d,2,dr,dv,d r,d,r t,v,a,r,2

26、,dt,dt,dt,（2）已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程,v,t,dv,adt,v,dv,t,adt,0,0,r,t,dr,vdt,r,dr,t,vdt,0,0,r 2ti 19,2t j,2,例1 已知质点的运动方程,求(1)轨道方程；(2)t=2s时质点的位置、速度以及加速度；(3)什么时候位矢恰好与速度矢垂直？,y 19 2t 2,解：（1）,x 2t,1,x 2,y 19,消去时间参数,2,2 2i 19,2 2 2 j,（2）,4i 11 jm/s,r,t 2,d,r,v,2i 8 j,v,2i 4tj,t 2,dt,8,82,arcta

27、n,7558,2 2,8.25,v,m/s,2,2,d,4 j,dv,2i,4tj,r,a,v,dt,dt,a 4 m s-2,方向沿y轴的负方向,r v 2ti 19 2t 2 j 2i 4tj,（3）,2),2,4t 4t(19 2t,4t(2t18),8t(t,3)(t 3)0,t1 0(s),t2 3(s),两矢量垂直,例2,路灯距地面高度为h，身高为l,的人以速度v0在,路上匀速行走.求(1)人影头部的移动速度；(2)影长,增长的速率.解：(1),x2 x1,x2,l(h l)x2,h,hx1,两边求导：(h l),dx2,dx1,h,dt,dtdx1,dx2,hv0,其中：,v,v

28、,v,0,dt,dt,h l,lOx1x2x,h,b x2,x1,(2),令,为影长,l,dbdt,l,dx2,b,x2,v,h,h,dt,dx,hv,2,0,以,代入,h l,dt,lv0,v,得,h l,设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox及Oy滑,例3,动，而B以匀速度c运动.求尺规上M点的轨道方程，速,MBb，角OBA为.,度及加速度.其中MAa，,解：,由图知，M点的坐标为,yB,x b sin,a cos,y,消去，得轨道方程,b,x 2,y 2,M,1,a,b2,a 2,y,x,A,O,速度分量为,b cos,a sin,x,y,x,y1(a b)cos,x1 0,因B点坐标

29、为,b)sin,y1,vB,(a 1,c,c,sin,a b,bc,ac,x,cot,y,故M点速度分量,a b,a b,故M点加速度分量,2,4 2,bc,bc,b c 1,2,3,x,csc b,csc-,-,a b2,a b2,x 3,a,y,0,例4 当猴子从最高点自由下落时，射手瞄准射击，问能否击中目标？,分析：猴子和子弹都有重力加速度.可以用二维空间描述位置.,解:,取枪口作参照点,猴子初始位置r0,子弹初速度为v0.则 时刻t猴子和子弹的位置为,r0,2,2,rc,r0,1,gt,rb v0t,1,gt,h0,v0,2,2,d,o,rc rb,r0 v0t,击中的条件,r0,rc

30、 rb,r0 v0t,h0,v0,这说明只要开始瞄准就可以击中猴子。但是有没有限制条件?,d,o,分析击中需要的时间和击中时的竖直位置,d 2,h2,h2,d 2,),g(,0,0,t,h h1,0,0,c,v2,v,2h,0,0 0,g h0 d,2,2,v 2,显然只有,时才可能击中,0,2 h0,极坐标系,2,极坐标系：空间P的位置（r，）当P沿着曲线运动，速度沿轨道 的切线.,v,j,i,P,c,r,r ri,沿矢径方向,O,极轴,dr,d,ri ri ri,v,dt,dt,i,dii,djj,当d 趋向0时,i,i,di 组成的等腰,jd,dQ,三角形两个底角接近直角,所以,j,i,

31、P,r2,i,di,dj,j,c,r1,d,di,dj,O,d,d,极轴,id,j,di,从而,i,Q,di,di,j,j,d,i,P,d,d,dt,dtd,dj,dj,O,i,d,dt,dt,r,ri,v,j,r,ri,j,为径向速度,为横向速度,d,v,d,ri,d,rj,a,加速度,dt,dt,dt,i,rij,dr,d,ri,d,i,r,r j,dt,dtdr,dt,d j,j,d,d,rj,j,r,r,dt,dt,dt,dt,2,r,r,j r i,a r r,r2 i,2r1d,r j,r,r i,j,2,2,r dt,小结：,r,ri,v,j,rj,ri,为径向速度,为横向速度,

32、d,v,d,ri,d,r,j,a,dt,dt,dt,r2,r,a,r,1d,r 2,2r r,a,r dt,3,自然坐标中的速度和加速度,在质点的运动轨迹上，任 取一点O作为坐标的原点。从原点O到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义为P,点的坐标,。,s,P,s,O,s sQ s P,自然坐标之差,路程：,坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向。,en,et,P,s,s,Q,O,en,et,et,规定：切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为,en,法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为,ds,dr,因为,v,drdtds,dsdt,速度：v,et,s,P,Q,速率：v,v,dt,vt,加

33、速度：,v vt,vn,v,v,v,v,vn,lim,lim,t,n,a,a,t,t,v,t 0,t 0,v 2,dv,dv e,a,e,a,t,t,n,n,dt,全加速度：,全加速度的大小：,at,an,全加速度的方向：,arctan anat,22,a an at,例5,一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时间,s bt ct 2,2式中b，c为大于零的常,t的变化规律为,数，且b2,Rc.求(1)质点的切向加速度和法向加速,度；(2)经过多长时间，切向加速度等于法向加速度.,ds,解：（1）,v,b,ct,dt,dv,2,2,(b ct),v,c,a,a,t,n,dt,R,R,（2）,

34、b,R,an,at,t,c,c,运动学的主要内容,研究物体运动的几何性质,运动学所涉及的研究内容包括：1、建立物体的运动方程2、分析运动的速度、加速度、角速度、角 加速度等3、研究运动的分解与合成规律,质点运动学导读,质点、参照系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度自然坐标系，切向、法向加速度,相对运动,绝对(加)速度、相对(加)速,度、牵连(加)速度.,1.3,平动参考系本节导读,相对运动绝对(加)速度 相对(加)速度牵连(加)速度,y,v,yS,P,r,S,x,O,r0,r,x,O,r,r0,r,v,v,v,v,车做匀速运动时车上,车做匀速直线运动时，,(a),(b),的

35、人观察到石子做直线运动,地面上的人观察到石子做抛物线运动,y,S,r,S,r,vx,r0,x,r,r,r0,dr,drdt,dr0,两边求导,dt,dt,y,dr,绝对速度：v,S,物体相对于,系的速度,dt,dr0,牵连速度：v,S 系相对于,S,系的速度,0,dt,dr,v,相对速度：,物体相对于 S 系的速度,dt,小结：,y,v,yS,dr,drdt,dr0,P,r,S,x,dt,dt,O,r0,r,x,O,dv,dvdt,dudt,0,dt,vxb,vab,vax,a a a,v u v,例1,某人骑自行车以速率v向东行驶.今有风以同样的,速率由北偏西30方向吹来.问：人感到风是从哪

36、个方向吹来？,解：,v,v,v0,v0,北偏西30,v,v,例2 求抛体轨道顶点的曲率半径,v0 cos,g,解:在抛物线的顶端处,速度只有水平分,v0,量v0cos,加速度 g沿法向的.所以an g,是,v,cos 2,v cos 2,x 2,0,0,m,曲率半径为,g,an,8 ym,式中xm和ym分别是射程和射高.,例3,已知：小船M看成质点，被水冲走，用绳拉回A,点，设水流速度c1，拉回速度c2.求：小船的轨迹.,分析：注意c1、c2都是绝对速度.解：采用极坐标,c1,M,c,r,1,c2,dr,径向,c,A,2,dt,d,c cos(900),r,横向,1,dt,dr,c2,cscd

37、,解微分方程：两式相除,r,c1,积分,c,2,ln r,ln tan,c,c1,2,c2,k，,令,c1,2,设初始条件：,0，r,r0，0,t,k,k,cot 0,r r0,tan,得轨道方程：,u,v,例4,当人站在岸上以速度v匀速拉动何种小船时，求,小船的运动速度和加速度.,x 2,l 2,h2,解：,l 2,h2,x,XX,1,i,x,d,x i,1,d,l,h2)2,(l 2,x,u,2l,dt,2,dt,vi,l,u,l 2,h2,i,2 2,du,vh,a,x3,dt,Llhh,u,v,质点运动学小结,质点、参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度,yj,直

38、角坐标系,1,r,xi,zk,d,zk,xi,yj,r,v,dt,d,zk,xi,yj,v,a,dt,极坐标系,2,r,ri,v,j,径向速度,横向速度,d,v,d,ri,d,r,j,a,dt,dt,dt,1r,d,r,r2，a,2r,r,2,r,a,dr,r,dt,ds,3 自然坐标系,v,e,t,dt,dt,dv,v 2,dv e,v,a,a n,en,t,t,dt,相对运动,4,y,v,yS,dr,drdt,dr0,P,r,S,x,dt,dt,O,r0,r,x,O,a,a,a0,v u v,运动学的两类问题,(1)已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度,d,d,d 2,dr,

39、dv,r,d,r t,v,a,r,2,dt,dt,dt,(2)已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程,v,t,dv,adt,v,dv,t,adt,0,0,r,t,dr,vdt,r,dr,t,vdt,0,0,动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系,动力学所涉及的研究内容包括：,1.,动力学第一类问题已知系统的运动，,求作用在系统上的力.,2.,动力学第二类问题已知作用在系统上,的力,求系统的运动.,牛顿,Issac Newton（16431727）杰出的英 国物理学家,经典物理学 的奠基人.他的不朽巨著自然哲学的数学原理 总结了前人和自己关于力

40、 学以及微积分学方面的研究成果.他在光学、热学和天文学等学科都有重大 发现.,1.4,质点运动定律,本节导读,牛顿三定律、惯性、力惯性系、非惯性系、惯性力 力学相对性原理、伽利略变换,1,牛顿运动定律,牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用时，都将保 持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律,惯性：物体保持其运动状态不变的性质,力：物体间相互作用,它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系惯性参考系,惯性系与非惯性系,T,ax,F,mg,牛顿定律成立的参考系,惯性系,非惯性系,相对于惯性系作加速运动的参考系,y,d p,牛顿第二定律,F,d t,p mv,F,

41、Fi,动量：,i,注意:质点,惯性系,瞬时性,矢量性,牛顿第三定律,Fba,Fab,注意:作用力和反作用力施加在两个不同的物体上，它们属同一性质的力，并互以对方的存在为自己存在的前提.它们同时产 生，同时消灭，相互依存，形成对立的局面.,例 鸵鸟是当今世界上最大的鸟，有人说它不会飞是翅膀的退化.但是如果它长一副和身体成比例的翅膀,它 能飞起来吗?,解：飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重.空气,CSv 2,上举力(与空气阻力一样的公式)为:,f,式中C为比例常数,S为翅膀的面积,飞翔的条件,mg,mg,f,即,v,CS,我们作简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为l,质,量m,l3,S l2,

42、于是起飞的临界速度,v,l,c,燕子最小滑翔速度大约20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍,这是飞机 的起飞速度,鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km/h.,思考问题：,拔河比赛胜负的关键是什么？,摩擦力的大小，大者赢,马德堡半球是用两队各8匹马向相反方向拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端 需要几匹马，才能拉开半球？还是8匹大人国是否能够存在,利用几何相似性分析之.不可能,重力就会压坏他.,2,力学相对性原理和伽利略变换,(i),力学相对性原理,力学定律的数学形式在一切惯性系中不变.,对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权的、等价的.,在一个惯性系中所做的

43、任何力学实验，都不能判断该惯性系相对于其他惯性系的运动.,舟行不觉,关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话伽利略,1632,牛顿的绝对时空观,(ii),绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远相同和不动的.绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝 着，而且由于其本性而均匀地与任何外界事 物无关地流逝着.牛顿,长度的量度和时间的量度都与参考系无关！？,伽利略变换,(iii),y,y,P,S,S,vt,在两个惯性系中考察同一物理事件,Oz,x,x,O,z,s,s,两个惯性系：,一物理事件：,质点到达 P,点,(,x,y,z,t),两个惯性系的描述分别为：,(x,y,z,t),y,y,两个描述

44、的关系称为变换,P,S,S,vt,t,t,0,坐标原点重合,O z xy z,x,x,Oxyz,z,vt,xyz,x vty z,正变换,逆变换,t,t,t,t,伽利略变换中默认了绝对时空,dx,d,d,(x,vt),速度变换：,(x,vt),dt,dt,dt,uxuyuz,uxu yuz,v,u,u,v,x轴方向有相对匀速运动,空间有相对匀速运动,a,a,加速度变换：,经典力学规律具有伽利略变换不变性：,S系,：,Fma,S系,F,ma,：,小,结,牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用，都将保持,静止状态或匀速直线运动状态.,惯性定律,F,d p,牛顿第二定律,d t,Fi,p,m

45、v,F,动量：,i,注意:质点,惯性系,瞬时性,矢量性,牛顿第三定律,注意:二力同性质，共存亡,分于两物，处于同一直线.,Fab Fba,力学相对性原理力学定律的数学形式在一切惯性系中不变。,y,y,伽利略变换,P,S,S,x x,vt,vt,xyz,x y z,vt,yzt,y z,Oz,x,x,O,z,t,t,t,正变换,逆变换,a,a,u,u v,第一章质点力学,动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系,动力学所涉及的研究内容包括：,1.,动力学第一类问题已知系统的运动，,求作用在系统上的力.,2.,动力学第二类问题已知作用在系统上,的力,求系统的运动.,1.5,质点运动微分

46、方程,本节导读,运动微分方程的建立运动微分方程的求解,建立运动微分方程,F r(t),1.,自由质点,2,dr,dr,m,F(r,t),dt 2,dt,解微分方程：（1）受力分析 万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等.,（2）化为标量方程,mx,F(x,y,z,x,y,z,t),直角坐标系,xFy(x,y,z,x,y,z,t)Fz(x,y,z,x,y,z,t),my,mz,m(r r)Fr(r,r,t),平面极坐标,m(r 2r),F(r,r,t),m dv,Ft,dt v 2,自然坐标,Fn,m,0,Fb,（3）初始条件,t 0，r,r0，v,v0,（4）求解运动方程,

47、x,x(t)y(t),r(t),r,y,z,z(t),2.,非自由质点,解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替,d 2,d,R,r,r,运动微分方程,F(r,m,t),dt 2,dt,解方程与自由质点一样,注意（1）R 一般未知，加约束方程（2）用自然坐标系很方便,R,光滑约束，约束力在轨道的法平面内,1),d v,en,m,F t,(1),F,d t,2,v,m 0,F n,R,(2),n,et,eb,F bR b,(3),(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.非光滑约束,2),dv,m,Ft,Rt,(1),2,2,Rt RN Rn,Rb2,dtv 2,2,2,R,R,R,R,m,

48、Fn,Rn,(2),t,n,b,0 Fb Rb,(3),4个方程4个未知数,可解,例1,力仅是时间的函数.,Ex E0 cos(t,),自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：,eE0 cos(t,eEx,Fx,),电子受力：,d 2 x,Fx,m,由,2,dt,2,dx,eEcos(t),m,0,dt 2dv,eEcos(t),m,0,dt,v,t,积分,eE,dv,0,0,cos(t)dt,m,v,0,得,eE0,eE0,sin,sin(t),v,v,0,m,m,dx,eE0,eE0,sin,sin(t),v,0,m,dt,m,x,t,eE0,eE0,sin,sin(t)dt,dx,v,0,m,

49、m,x,t,0,0,eE0,eE0,eE0,cos(v,sin)t,cos(t,),x,x,0,0,m 2,m 2,m,例2,力是速度的函数.,在具有阻力的介质中运动的抛射体,mg，R,分析：受力运动微分方程,mr mg R,用自然坐标系分解（运动方向为正）,ds,dv,R(v)mg sin,m,d,dt,2,m v,mg cos,dv dv ds v dvdtdsdtds,dv,R(v)mg sin,mv,ds v 2,mg cos,m,ds,d,R(v)mg sin,1 dv,两式相比,v d,mg cos,f(),v,可解出,因此,2,2,(),dx,dxds,v,f,cos,x x()

50、,d,ds d,g,g,2,2,tan,(),dy,dyds,v,f,sin,tan y,y(,d,ds d,g,g,v,v sec,f()sec,dt,dt ds,t t(),d,ds d,g,g,消去参量,可得运动方程,例3,力是坐标的函数.,kx xi,k y yj,F(x,y,z),k z zk,原子在晶体点阵中的运动,mr,F(x,k x xk y yk z z,y,z),运动微分方程：,mx,my,直角坐标分解：,mz,k x,2,Ax x,0，,0，,t,x,x,初始条件：,令,x,m,x,Ax cos(xt x)Ay cos(y t y)Az cos(z t z),可解得,y,