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1、第三章 泊松过程,2,2023/10/22,内容泊松过程的定义和例子泊松过程的基本性质非齐次泊松过程复合泊松过程,3,2023/10/22,基本概念,计数过程独立增量过程平稳增量计数过程泊松过程,3.1泊松过程的定义和例子,4,2023/10/22,一、计数过程,则,且满足：,5,2023/10/22,独立增量过程,2、特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。,6,2023/10/22,定义：平稳增量过程 在时间间隔(t,t+s)内出现事件A的次数N(t+s)-N(t)仅与s有关而与t无关，则称N(t)为平稳增量过程.,平稳增量过程,
2、7,2023/10/22,注,如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。,二、Poisson过程,满足,若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。,8,2023/10/22,则称,注意,从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且,并称,速率或强度,（单位时间内发生的事件的平均个数）,9,2023/10/22,说明,要确定计数过程是Poisson过程，必须证明它满足三个条件。（条件3很难验证）,为此给出一个与Poisson过程等价的定义,满足,10,2023/10/22,则称,两种定义的等价证明,11,2023/10/22,定
3、义2定义1,12,2023/10/22,13,2023/10/22,(2)对n1，建立递推公式,14,2023/10/22,15,2023/10/22,16,2023/10/22,(3),17,2023/10/22,(4)用数学归纳法证明n=0,n=1时，结论已成立假设n-1时(n1)，结论成立，由递推公式,18,2023/10/22,19,2023/10/22,背景:考虑在时间间隔(0,t中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类过程有如下特点:(1)零初值性：N（0）=0；(2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立；(3)平稳增量性:在同样长的时间区段
4、内理赔次数的概率规律是一样的;(4)普通性:在非常短的时间区段t内的理赔次数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与 t成正比.,Poission过程的例子,20,2023/10/22,例1,已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。,解,设 表示在时间t时到达的顾客数,21,2023/10/22,数字特征设X(t),t 0是参数为的泊松过程，对任意t,s0,+)，若s t，则有,第二节 Poisson过程的基本性质,22,2023/10/22,23,2023/10/22,泊松过程的特征函数为,24,2023/10/22,泊松过程的时
5、间间隔与等待时间的分布 设X(t),t0是参数为的泊松过程，X(t)表示到t时刻为止事件A发生的次数，Wn表示第n次事件A发生的时间(n 1)，也称为第n次事件A的等待时间,或到达时间,Tn表示第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。,25,2023/10/22,等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量时间间隔Tn的分布 设X(t),t0是参数为的泊松过程，Tn,n1是相应第n次事件A发生的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/的指数分布,Tn,T3,T2,T1,t,W3,W2,W1,0,Wn-1,Wn,26,2023/10/22,证(1)n=1 事件T1 t发生当且仅当
6、在0,t内没有事件发生 T1服从均值为1/的指数分布,T1,t,W1,0,27,2023/10/22,(2)n=2 PT2t|T1=s=P在(s,s+t内没有事件发生|T1=s=PX(s+t)-X(s)=0|X(s)-X(0)=1=PX(s+t)-X(s)=0 T2服从均值为1/的指数分布,t,T2,T1=s,W2,W1,0,s+t,s,28,2023/10/22,(3)n 1,Tn,Tn-1=sn-1,T2=s2,T1=s1,t,Wn-2,W2,W1,0,Wn-1,Wn,29,2023/10/22,时间间隔Tn的分布为概率密度为,30,2023/10/22,等待时间Wn的分布 设X(t),t
7、 0是参数为的泊松过程，Wn,n 1是相应等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，概率密度为,31,2023/10/22,证，Ti为时间间隔,Tn,T2,T1,t,W2,W1,0,Wn-1,Wn,32,2023/10/22,33,2023/10/22,参数为n与的分布又称爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的分布。,34,2023/10/22,到达时间Wn的条件分布 假设在0,t内事件A已经发生1次，确定这一事件到达时间W1的分布对st，有,t,W1,0,s,W2,35,2023/10/22,36,2023/10/22,对st，有,37,2023/10/22,从而W1的条
8、件分布函数为条件分布密度函数为,38,2023/10/22,设X(t),t0是泊松过程，已知在0,t内事件A发生n次，则这n次事件的到达时间W1 W2 Wn的条件概率密度为,39,2023/10/22,例：书3.4 解 k n 0 s t,40,2023/10/22,（二项分布）,41,2023/10/22,定义 称计数过程 X(t),t 0 为具有跳跃强度函数(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3),非齐次泊松过程的均值和方差函数为:,第三节 非齐次泊松过程,42,2023/10/22,非齐次泊松过程的分布,定理 设 X(t),t 0
9、 为具有均值函数的非齐次泊松过程，则有,或,43,2023/10/22,例4,设 X(t),t 0 是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求 EX(t)和 DX(t)。,44,2023/10/22,例5 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。,45,2023/10/22,定义 设 N(t),t 0 是强度为 的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与 N(t),t 0 独立，令则称 X(t),t 0 为复合泊松过程。,第四节 复合泊松过程,46,2023/10/22,复合泊松过程的性质,定理 设 是复合泊松过程，则(1)X(t),t 0 是独立增量过程;(2)若，则,47,2023/10/22,例6 考虑电子管中的电子发射问题。设 t 时间内到达阳极的电子数目N(t)服从泊松分布，每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 X1,X2,Xk,。已知Xk与N统计独立，Xk之间互不相关且具有相同的均值和方差，则 t 时间内阳极接收到的能量为求 S(t)的均值和方差。,
