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1、机械可靠性设计,4.3 一次二阶矩方法求可靠度_工程方法,第四章 机械可靠性设计分析方法,4.1干涉面积法,4.2 分布代数,4.4 蒙特卡洛模拟方法,4.5 变异系数传递规律,从可靠度计算的普遍方程可以看出，对于应力和强度比较复杂的分布，由于积分困难，往往难以得出问题的解析解。,因此如何采用一些较好的近似方法，能比较方便地求得满足工程精度要求的零件可靠度的近似解，一直是人们探讨的一个问题。,应力和强度两个概率密度函数的交叉区，即干涉区阴影面积的大小，反映了零件或结构可靠度的高低。,该面积越小，可靠度越高，反之，可靠度越低。,干涉面积的大小是由两个概率密度函数平均值的相对位置及方差决定的。,可
2、靠度可否通过计算该面积的大小给出？,4.1干涉面积法,设应力、强度两概率密度函数曲线的交点横坐标为s0=r0，并令,在应力s、强度r相互独立的情况下，零件的失效概率(不可靠度)可表示为,另一方面，零件的可靠度可表示为,即有,可见，失效概率数值上不等于干涉区的阴影面积。,由于可靠度R(t)总是小于(1-a1a2)，所以(1-a1a2)可作为零件可靠度的上限，成为衡量可靠性的一种指标，称为零件的非失效保证度。,若已知应力和强度的概率密度函数f(s)、g(r)，便可求出干涉面积a1和a2，由此便可估计出零件的可靠度。,例4-1 设某一零件的强度r和作用在该零件上的应力s均为正态分布。强度的均值和标准
3、差分别为r=180 Mpa，r 8 Mpa，应力的均值和标准差分别为 s 150 Mpa，s 6 Mpa，试计算该零件的可靠度和非失效保证度。,解：由于应力和强度均服从正态分布，所以有,则可靠度为,现用干涉面积法估算零件的可靠度，因s0=r0处有f(s0)=g(r0)所以有,解得s0=r0=163.5 MPa，因此求得a1和a2分别为,可靠度的上限RU=0.9976比理论值高万分之十一，同样，可靠度下限,所以有,经验公式,该式结果与理论值相比误差约为0.14%，可见，干涉面积法得出的零件可靠度近似值，精度还是比较高的。,该例应力与强度均为正态分布，是为了将近似值与理论值比较，该法对其他任何形式
4、的应力和强度的分布均适用,强度、应力和它们的干涉变量及其他许多随机事件往往需要用两个、三个或更多随机变量的函数Z=f(x1,x2,xn)来描述。,与实数代数一样，随机变量也可以通过一系列公式进行代数运算。,4.2 分布代数,当已知其中每一个随机变量xi(il，2，n)的均值i和标准差i时，可以通过随机变量的代数运算来确定函数Z=f(xi)的均值z和标准差z，从而运用联结方程求得零件的可靠性系数和可靠度。,一、独立随机变量的加法,若已知随机变量X的均值X和标准差X，随机变量Y的均值Y和标准差Y，可以推导出随机变量Z=X+Y的均值Z和标准差Z,二、独立随机变量的减法,同样可以推导出随机变量Z=X-
5、Y的均值Z和标准差Z,三、独立随机变量的乘法,积数（Z=XY)的均值Z和标准差Z,四、独立随机变量的除法,有一含有n个随机变量的函数Z=f(x1,x2,xn)，如果每一个随机变量的变异系数Cx=x/x0.1，以及这些随机变量相互独立，且都不起主要控制作用，则有概率论的中心极限定理可知，这个多维函数Z=f(x1,x2,xn)能够满意地服从正态分布。,当已知其中每一个随机变量的均值i及标准差i，则可以运用以上随机变量的代数运算公式，综合成为一个含单一随机变量的函数，即确定这个单一函数的均值z和标准差z。,综合方法：先综合函数中两个变量x1和 x2，确定已合成的变量的均值和标准差，接着把上面已得到的
6、合成变量与下一个变量x3综合起来，求出合成的均值和标准差。依此类推，直到所有的变量都被综合到单一的变量中去，即求出函数的均值和标准差。,例4-2 今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(F,F)=F(80000,1200)N，拉杆直径d(d,d)=d(40,0.8)mm，拉杆长 l(l,l)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量 E(E,E)=E(21104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的伸长。,解：由胡克定理知，的伸长为,其中,设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，因此可根据正态随机变量代数运算公式，对已知参数逐一合成。,1）求拉杆的截面面积A(A,A),因此 A(A
7、,A)=A(1256,50.24)mm2,2）令G=Fl求变量G的均值G和标准差G,3）令H=AE,求变量H的均值H和标准差H,4）计算拉杆伸长的均值和标准差,即拉杆伸长(,)=(1.83,0.084)mm,因为正态分布有一重要特性，即数据偏离三倍标准差的可能性很小(概率为0.27%)，几乎可以忽略，所以在可靠性设计中一般可假设公差=3(为标准差)，即,故拉杆伸长为,若随机变量Y的函数比较复杂，计算Y的数学期望E(Y)和方差D(Y)可能很困难，往往不能简单地运用它们的定义，把函数代入积分公式而得出结果。,对于一个多维随机变量Y=f(x1,x2,xn)，用分布代数的方法，经多次综合求解函数的均值
8、和方差，计算量很大，比较麻烦，这时可将函数展开成泰勒级数，求得近似解。,4.3一次二阶矩法泰勒级数近似求解法,当应力s和强度r均服从正态分布且相互独立时，根据联结方程可方便地求得可靠度系数，进而求得可靠度R(t)；,但当应力s和强度r服从其它分布时，需要知道应力s和强度r或干涉变量Y进行积分。,目前许多工程实际中尚缺乏足够的资料来确定应力和强度的分布，且积分的计算也十分繁杂，当应力和强度的分布未知，仅有足够的资料来确定它们的一阶矩和二阶矩（均值和方差）时，可以采用一次二阶矩法来求可靠性指标,4.3一次二阶矩法泰勒级数近似求解法,一维随机变量函数的近似求解,设y=f(x)在x=（均值）处展开成一
9、泰勒级数,若D(x)很小,例4-3 已知一杆件r的均值r=30mm，标准差r=1.5mm，求断面面积A的均值A及标准差A。,解：,面积A=r2，则f(r)=2r，f”(r)=2，可得,对于一个多维随机变量y=f(x1,x2,xn)，独立随机变量xi(il，2，n)均值和标准差为i和i。,多维随机变量函数的近似求解,若D(xi)很小,y的数学期望,y的方差,因此可靠度系数：,例4-4 一次二阶矩方法求可靠度：,有一根A3钢的圆形杆件，圆杆直径d的均值为d=30mm，标准差为d=3mm，圆杆的屈服极限r的均值 r=290N/mm2，标准差 r=25N/mm2。当杆件承受轴向拉力 P=105N（考虑
10、为常量），试求杆件的可靠性指数和可靠度。,解：以极限载荷表示的极限方程为,函数Y的均值和标准差分别为,例4-4解：,若假设为正态分布可靠度查表为：R=0.9906,可靠性指数为：,习题：一杆受拉力作用，若外力的均值F=2104 N，标准差为F=2000N，断面面积均值 A=1000mm2，标准差 A=80mm2。求应力s的均值s和标准差s。（用矩法）,蒙待卡洛模拟法是通过随机变量的统计试验或随机模拟，求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值方法，因此也称为统计试验法或随机模拟法。蒙特卡洛模拟法是用法国和意大利接境的一个著名赌城蒙特 卡洛(Monte Carlo)命名的。该方法开始应用于40年代
11、，集中研究 是在50年代。由于科学技术的发展，出现了许多复杂的问题，用传统的数学方法或物理试验进行处理有时难以解决，用蒙特卡洛方 法则可有效地解决问题。,4.4 蒙特卡洛模拟方法,一、基本原理,蒙特卡洛模拟的理论基础来自概率论中的两个基本定理。,大数定理：设x1，x2，xn，是n个独立的随机变量，若它们来 自同一母体，有相同的分布，且具有相同的有限的均值和方差，分 别用和2 表示，则对于任意0有:,伯努利定理：若随机事件A发生的概率为P(A)，在n次独立 试验中，事件A发生的频数为m，频率为W(A)mn，则对于 任意 0有:,蒙特卡洛法从同一母体中抽出简单子样来做抽样试验，由上两式知，当n足够
12、大时，频率mn 以概率1收敛于P(A)。因此从理论上讲，这种方法 的应用范围几乎没有什么限制。,当用蒙特卡洛法求解某一事件发生的概率时，可以通过抽样试验的办法得到该事件出现的频率，作为问题的解。在应用蒙特卡洛方法时，需要进行大量的统计试验，譬如说1000次，由 人工进行如此之多的试验会有很多困难，但高速电子计算机的发 展，为蒙持卡洛模拟提供了强大的工具，使该方法得以用于工程实践。即便是应用计算机，如何在不影响结果精度的前提下，减少 计算时间，仍是应用蒙特卡洛法中的重要研究课题。,(a)根据提出的问题确定各变量之间的确定性函数关系。(b)根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问
13、题的解对应于该模型中随机变量的某些特征(例如概率、均值和方差等)。(c)根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀 分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数。,二、蒙特卡洛模拟求解步骤:,(d)根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行随机抽样。这里的抽样方法有直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等。(e)按所建立的模型进行仿真计算，求出问题的一个随机解。(f)统计分折模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛方法可以确定复杂随机 变量的概率分布
14、和数字特征；可以通过随机模拟估计系统和零件 的可靠度；也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。,二、蒙特卡洛模拟求解步骤:,常见分布函数随机变量的随机抽样公式,例4-5某铝合金板的形状如图所示。受弯矩作用，其尺寸H、h、均服从正态分布，分布参数为：,试确定理论应力集中系数 的分布类型及分布参数。,受弯矩作用的铝合金板,三、蒙特卡洛模拟算例,蒙特卡洛模拟算例的程序框图,开始,输入H、h、分布的类型及参数;N,j=1,分别从H、h和的分布中产生随机数Hf,hf,f,计算 的随机数j,j=N,进行分布类型判断、估计分布参数,输出 的分布类型和分布参数,结束,j=j+1,解：理论应立集中系数的计算公式
15、为,蒙特卡洛模拟算例,由于H、h、均服从正态分布，所以根据正态分布的抽样公式以及 的计算公式编制计算机程序，上机运行。输入参数为：,模拟次数N=1000。,输出结果为：服从正态分布，,均值为：,标准差：,即：,蒙特卡洛模拟算例,用蒙特卡洛仿真计算应力和强度为任意分布时的可靠度,任意分布的应力强度模型都可以用蒙特卡洛模拟法求可靠度的近似值，结果的精度随模拟的次数的增多而增高。模拟程序的流程图如右图所示。,开始,输入应力和强度分布类型和参数，模拟次数N,置j=1,对应力和强度各产生一个随机数xsj和xSj,比较xsj和xSj并记下xsjxSj的次数N1,j=N?,输出R=N1/N,结束,j=j+1
16、,close all;clear all;clc;nsample=10000;mu_YL=400;sig_YL=25;y_YL=normrnd(mu_YL,sig_YL,nsample 1);mu_QD=500;sig_QD=50;y_QD=normrnd(mu_QD,sig_QD,nsample 1);n_OK=0;for j=1:nsample x_YL=y_YL(j);if y_YL(j)y_QD(j);n_OK=n_OK+1;endendy_YLmuhat,y_YLsigmahat,muci,sigmaci=normfit(y_YL);y_QDmuhat,y_QDsigmahat,mu
17、ci2,sigmaci2=normfit(y_QD);R1=n_OK/nsample,例31 已知某机器零件的应力s和强度S均为正态分布。其分布参数分别为s 362 Mpa，s 39 Mpa，r=500 Mpa，r 25 Mpa。试计算零件的可靠度。,解：,例4-6用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：,零件的可靠度：解析解 R0.9984蒙特卡洛方法:N=10000时，R0.9986,Normal Vs Normal,已知应力为对数正态分布，应力s 1n(6.205，0.0998)Mpa，强度为正态分布，rN(600，60)Mpa。按图18-10编制计算机程序，模拟次数10000。上机计算运行结果为及
18、0.894。,解：,例4-7用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：,LogNormal Vs.Normal,已知应力为指数分布，应力s 151.0 Mpa，强度为正态分布，rN(600，60)Mpa。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数10000。上机计算结果为0.9399,解：,例4-8用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：,Exp Vs Normal,已知应力为对数正态分布，应力s ln(6.2046，0.2699)，强度为对数正态分布，r ln(6.2046，0.2299)。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数10000。上机计算结果为0.9225,解：,例4-9用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：,LogNormal Vs.
19、LogNormal,已知应力为Weibull分布，应力s w(0.001，1.25)，强度为正态分布，rN(500，150)。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数10000。上机计算结果为0.8718。,解：,例4-10用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：,Weibull Vs Normal,对于这样一些复杂的多元函数的统计特征，特别是标准差，即使采用前面所介绍的多维随机变量函数均值及标准差的近似解法，也相当繁琐，容易出错。,利用变差系数，则可使这些函数由其多个随机变量的乘除关系，转化为变差系数间的相加的简单关系，使计算多维随机变量函数均值及标准差的过程显著简化。,4.5 变差系数传递规律,定义：概率分布变
20、量x的变异系数为：,在机械设计中，许多计算公式常常包含多个随机变量，而这些随机变量又常为乘除关系，有些还是非线性的。,1、变量为乘积关系的函数的变差系数,(1)二元函数 z=xy,当x、y为相互独立的随机变量时，其标准差为,从而得z的变差系数为,(2)多变量函数z=x1x2xn,其标准差为,故有,注意：不论变量之间是相乘或相除，其函数变差系数C的计算式是相同的。因此对于以任何形式组成的变量函数，其变差系数的计算要比其标准差的计算简单得多。,(3)以乘除关系的任何形式组成的多变量函数,其变差系数均为,或,或,即,2.幂函数的变差系数,（1）幂函数,(4),则有,(2),则有a=1/n,(3),则有a=-1,例4-2 今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(F,F)=F(80000,1200)N，拉杆直径d(d,d)=d(40,0.8)mm，拉杆长 l(l,l)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量 E(E,E)=E(21104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的伸长。,解：由胡克定理知，的伸长为,其中,设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，,
