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1、第二章 一元函数导数与微分 2.1 导数的概念 2.2 导数的计算 2.3 高阶导数 2.4 几种类型函数的求导方法 2.5 函数的微分与线性逼近,2.1 导 数 的 概 念,一.导数的定义,问题的提出,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,1.切线问题,割
2、线的极限位置切线位置,的极限位置,2.瞬时速度,定义 1,导数的几何意义,切线方程为:,法线方程为:,定义 2,（单侧导数，左右导数）,右,右,左,左,定理 1,（双侧导数与单侧导数的关系）,定理 2,（可导与连续的关系）,证,证毕,例如：,右可导,左可导,定理,定义 3,注意:,二.函数不可导的情况,(定理),例:,定义 1,注意:,定义 2,例1,解,例2,解,三.简 单 函 数 的 导 数,例1,2.2 导 数 的 计 算,定理 1（四则运算法则）,注意:,证,(2),证毕,例1,同理可得,同理可得,定理 2（反函数求导法则）,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,证,证毕,例2,解
3、,同理可得,定理 3（复合函数求导法则）,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析函数的复合关系.,证,证毕,推广,例3,解,例4,解,例5,解,同理可得,注意:,初等函数的,导数仍为初,等函数.,例6,解,2.3 高 阶 导 数,一.高阶导数的概念,定义,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,从高阶导数的定义可以知道，,二.高阶导数的计算,例1,解,例2,解,注意:,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,例9,证,证毕,三.高阶导数的运算法则,问题,莱布尼兹公式,（证明略）,例10
4、,解,例11,解,2.4 几种类型函数的求导方法,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,一.隐函数的求导法,定义:,例1,解,解得,例2,解,例3,解,二.对数求导法,观察函数,方法:,先取对数,然后再求导,-对数求导法,适用范围:,问题:,如何求上述函数的导数?,解,先取对数，,例4,例5,解,两边先取对数，,例6,解,两边取对数，,三.参数方程所表示函数的求导法,由复合函数与反函数的求导法则，有,例7,解,所求切线方程为,例8,解,四.相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,求法：,例9,解,仰角增加率,例10,解,水面上升之速率,2.5 函数的微分与线性逼近,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一.微 分 的 概 念,定义,定理（可微与可导的关系）,证,证毕,结论:,微分的几何意义,）,(如图),以直代曲的思想是微积分的核心思想,二.微分的计算,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2.函数和、差、积、商的微分法则,3.复合函数的微分,结论：,一阶微分形式的不变性,例1,解1,解2,例2,解,例3,解,三.函数的一阶线性逼近,例4,解,
