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1、4 第一型曲线积分和曲面积分,一、第一型曲线积分,二、第一型曲面积分：,1。曲面的面积和面积微元,2。第一型曲面积分的计算,一、第一型曲线积分,设L为一条光滑或分段光滑曲线，我们讨论 的计算。,以前已讨论过平面曲线的弧微分：,现在类似的看空间光滑曲线的弧微分：,1。当曲线方程为,若dt0，则,此时，,一、第一型曲线积分,例 1 计算曲线积分,其中L是螺旋线：,解,一、第一型曲线积分,故,一、第一型曲线积分,2。若曲线方程为,此时,故,一、第一型曲线积分,一、第一型曲线积分,若平面曲线L:,则,若平面曲线 L:,则,即曲线 L:,若平面曲线L取极坐标方程：,则可把它改成以 为参数的参数方程：,此
2、时,一、第一型曲线积分,例 2 计算，其中L为上半圆弧。,解法1 L的方程为：,一、第一型曲线积分,故,解法2,曲线L的极坐标方程为,一、第一型曲线积分,弧长微元,故,一、第一型曲线积分,一、第一型曲线积分,解法3 L的方程为：,故,例 3 计算曲线积分,其中L为圆周,解 利用隐函数求导法，得,故,一、第一型曲线积分,由原方程解得,所以,一、第一型曲线积分,为去掉绝对值，我们L分为两段：,则,一、第一型曲线积分,又解,由于L的方程中 的地位一样，,又因为，故,一、第一型曲线积分,一、第一型曲线积分,二、第一型曲面积分：,1。曲面的面积和面积微元,设空间有界光滑曲线 具有显式方程,定义曲面 的的
3、面积：,假定 是曲面 在 平面的投影,利用“分割、近似、求和、取极限”的方法求曲面的面积：,二、第一型曲面积分：,引理,设曲面 在 处的单位法向量为,则,由引理可知,记,为曲面的面积微元,二、第一型曲面积分：,几种类型方程曲面的面积,二、第一型曲面积分：,二、第一型曲面积分：,则其法向量为,故,二、第一型曲面积分：,所以,二、第一型曲面积分：,因此曲面 的面积：,二、第一型曲面积分：,2。第一型曲面积分的计算,则曲面积分,则曲面积分,二、第一型曲面积分：,则曲面积分,二、第一型曲面积分：,则,二、第一型曲面积分：,例 6.设 是由球面 和锥面 所围立体的表面，计算曲面积分,解,二、第一型曲面积分：,由此可得曲面 在 平面的投影为,在曲面,把 分成两部分:,二、第一型曲面积分：,二、第一型曲面积分：,故,对于:,二、第一型曲面积分：,二、第一型曲面积分：,在极坐标系下:,二、第一型曲面积分：,所以,例 7.设 是圆柱面,介于 和 之间的部分,计算曲面积分,二、第一型曲面积分：,解 曲面 可分为两片:,把 和 投影到 平面,得到投影区域,可表示为:,二、第一型曲面积分：,对于 和,曲面积分微元,二、第一型曲面积分：,故,二、第一型曲面积分：,又解,利用柱面坐标 可表示为,二、第一型曲面积分：,故,
