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1、,乘法公式完全平方公式,整式的乘除与因式分解,回顾旧知平方差公式(a+b)(a b)=a2-b2,那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否也能用一个公式来表示呢？,完 全 平 方 公 式,一块边长为a米的正方形实验田，,图16,因需要将其边长增加 b 米。,形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图16).,用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.,(a+b)；,2,a2+,ab+,ab+,b2.,(a+b)2=,a2+,ab,+,b2.,2,探究,计算下列各式，你能发现什么？(p+1)2=(p+1)(p+1)=(m+2)2=(p-1)2=(p-1)(p-1)=(m-2)2=,p2
2、+2p+1,(m+2)(m+2)=m2+4m+4,p2-2p+1,(m-2)(m-2)=m2-4m+4,m2-4m+4=m2-2m2+22,猜想(a+b)2=(a-b)2=,a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,完全平方公式,(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?,(a+b)2=a2+2ab+b2;,(a+b),(a+b),=a2+ab+,ab+b2,=a2+2ab+,b2;,(2),a2 2ab+b2.,小颖写出了如下的算式:,(ab)2=,a+(b)2,她是怎么想的?,利用两数和的完全平方公式,推证公式,=2+2+2,a,a,(b),(b),=,a2,2ab,b2.,+,你能继续做
3、下去吗?,的证明,(a+b),a,b,完全平方和公式：,完全平方公式 的图形理解,(a-b),a,b,完全平方差公式：,完全平方公式 的图形理解,初 识 完全平方 公式,(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a2 2ab+b2.,a2,ab,b2,结构特征:,左边是,的平方;,二项式,右边是,(两数和),(差),(a+b)2=,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2.,=,(ab)2,ab,ab,b(ab),(ab)2,a2+2ab+b2,两数的平方和,加上,(减去),这两数乘积的两倍.,(ab)2=a22ab+b2,语言表述:,两数和 的平方,等于这两数的平方和,加上 这两数乘
4、积的两倍.,(差),(减去),公式特点：,4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。,(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2,1、积为二次三项式；,2、积中两项为两数的平方和；,3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。,首平方，尾平方，积的2倍在中央,例题解析,例题,例1 利用完全平方公式计算：(1)(2x3)2；(2)(4x+5y)2;(3)(mna)2,使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是 a,哪个是 b.,第一数,2x,4x2,2x,的平方,()2,减去,2x,第一数,与第二数,2x,3,乘
5、积,的2倍,2,加上,+,第二数,3,的平方.,2,=,12x,+,9;,3,1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？,.(a+b)2=a2+b2(2).(a-b)2=a2-b2,纠 错 练 习,指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(2a1)22a22a+1;(2)(2a+1)24a2+1；(3)(a1)2a22a1.,解:(1),第一数被平方时,未添括号;,第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2;,应改为:(2a1)2(2a)222a1+1;,(2)少了第一数与第二数乘积的2倍(丢了一项);,应改为:(2a+1)2(2a)2+22a1+1;,(3)第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的
6、2倍 错了符号;,第二数的平方 这一项错了符号;,应改为:(a1)2(a)22(a)1+12;,拓 展 练 习,下列等式是否成立?说明理由(1)(4a+1)2=(14a)2；(2)(4a1)2=(4a+1)2；(3)(4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2；(4)(4a1)(14a)(4a1)(4a+1).,(1)由加法交换律 4a+ll4a。,成立,理由:,(2)4a1(4a+1)，,成立,(4a1)2(4a+1)2(4a+1)2.,(3)(14a)(1+4a),不成立,即(14a)(4a1),(4a1)，,(4a1)(14a)(4a1)(4a1),(4a1)(4a1)(4a1)
7、2。,不成立,(4)右边应为:,(4a1)(4a+1)。,随堂练习,(1)(x 2y)2；(2)(2xy+x)2;,2、运用完全平方公式计算：,(-2x+5)2(n+1)2 n2.,例2:运用完全平方公式计算:,(1)1022(2)992,解:(1)1022=(100+2)2=1002+21002+22=10000+400+4=10404,(2)992=(100-1)2=1002-21001+12=10000-200+1=9801,思考,(1)(a+b)2与(-a-b)2相等吗?,(2)(a-b)2与(b-a)2相等吗?,(3)(a-b)2与a2-b2相等吗?,本节课你的收获是什么？,小结,本节课你学到了什么?,注意完全平方公式和平方差公式不同：,形式不同,结果不同：,完全平方公式的结果 是三项，即(a b)2a2 2ab+b2;,平方差公式的结果 是两项，即(a+b)(ab)a2b2.,有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.,在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号,是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键,
