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1、,第 讲,3,函数的值域,第二章 函数,一、基本函数的值域1.一次函数y=kx+b(k0)的值域为.2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值域：当a0时，值域为;当a0时，值域为.,R,3.反比例函数y=kx(x0，k0)的值域为.4.指数函数y=ax(a0，a1)的值域为.5.对数函数y=logax(a0，a1，x0)的值域为.6.正、余弦函数的值域为，正、余切函数的值域为.,y|y0，yR,R+,R,-1，1,R,二、求函数值域的基本方法1.配方法常用于可化为二次函数的问题.2.逆求法常用于已知定义域求值域(如分式型且分子、分母为一次函数的函数).,3.判别式法可转化为关于一个变量的一
2、元二次方程，利用方程有实数解的必要条件，建立关于y的不等式后求出范围.运用判别式方法时注意对y的端点取值是否达到进行验算.4.不等式法几个变量的和或积的形式.5.导数法利用导数工具，结合函数的单调性，讨论其值域.,1.设函数f(x)=1-x2(x1)x2+x-2(x1),则 的值为()f(x)=1-x2(x1)x2+x-2(x1)故选A.,f(2)=4,2.函数 的值域为()A.(-，1)B.C.D.故选C.,C,3.函数y=f(x)的值域是-,10，则函数y=f(x-10)+的值域是()A.-,10 B.0,+10C.-10,0 D.-10,因为y=f(x)所以函数y=f(x-10)+的值域
3、是0,+10，故选B.,B,题型一：用配方法与换元法求函数的值域 1.求下列函数的值域：(1)(2)(3),(1)(配方法)设=-x2-6x-5(0)，则原函数可化为又因为=-x2-6x-5=-(x+3)2+44，所以04，故0,2，所以 的值域为0,2.,(2)(代数换元法)设则x=1-t2，所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t0)，所以y5，所以原函数的值域为(-,5.,(3)(三角换元法)因为1-x20，所以-1x1，故可设x=cos,0,，则y=cos+sin=sin(+).因为0,，所以 所以所以所以原函数的值域为,点评：配方法求函数的值域时，一是注意找到相应的
4、二次式，二是注意自变量的取值范围；运用换元法求函数的值域时，注意新变元的取值范围.,设函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为A，值域为B，则AB=.由3-2x-x20，得-3x1，所以A=(-3，1).因为03-2x-x2=4-(x+1)24，所以f(x)2，所以B=(-，2，故AB=(-3，1).,题型二：用逆求法与判别式法求函数的值域 2.求下列函数的值域:(1)(2),(1)解法1：(逆求法)由 解出x，得因为2y+10，所以函数的值域为y|y-12，且yR.解法2：(分离常数法)因为 又 所以y-12.即函数的值域为,(2)(判别式法)由得yx2-3x+4y=0，当y=0时
5、，x=0，当y0时，由0得因为函数的定义域为R，所以函数 的值域为,点评：逆求法又称为反函数法，如形如f(x)=ax+bcx+d的函数，可以用逆求法来求解.对于定义域为R的函数式，若能变形为关于自变量x的二次方程形式，利用此方程有解，得到关于y的判别式的关系式，由此得出值域；若定义域不为R，此时还需根据根的范围来确定值域.,函数 的值域为.由，得因为x0，所以解得所以函数的值域为,题型三：利用函数的单调性求函数的值域3.(原创)已知函数(1)若函数的定义域是-2，-1，求函数的值域；(2)若函数的定义域是，求函数的值域.,由得(1)当x-2，-1时，得所以f(x)在区间-2，-1是减函数，所以
6、当x=-2时，f(x)max=f(-2)=3，当x=-1时，f(x)min=f(-1)=-1，所以函数的值域是-1，3.,(2)由 可得x=1.所以当 时，f(x)0，所以f(x)在区间 上是减函数，同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数.由 知，当定义域为 函数的值域为3，5.,点评：利用函数的单调性求函数的值域，其策略是：首先判断函数的单调性或函数的单调区间，然后根据单调性求函数的最值，再得出函数的值域.,函数 的值域是.函数 的定义域为因为函数 在 上为单调递增函数，所以当 时，故原函数的值域为,若存在x2，5，使等式 成立，求a的取值范围.由题设，当x2，5时，成立.令 即x=t2+1，t1，2，则所以当t1，2时，a-3，-1.,1.要求熟记各种基本函数的值域.2.求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的作用.,3.已知函数的定义域或值域，求参数的范围，是一种逆向思维.解决这类问题要求对定义域、值域的概念及函数单调性有较深刻的理解，可以变换角度后构造新的函数，把求参数的范围转化为求新的函数的值域问题.,
