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1、二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,例1.求,解:,利用定理 2 可知,说明:y=0 是,的渐近线.,二、极限的四则运算法则,则有,定理 3.若,推论:若,且,则,说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.,定理 4.若,则有,提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.,说明:定理 4 可推广到有限
2、个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),例2.设 n 次多项式,试证,证:,(详见书P44),定理 5.若,且 B0,则有,注意：使用四则运算法则注意使用条件,x=3 时分母为 0!,例3.设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说明:若,不能直接用商的运算法则.,例4.,若,例5.求,解:x=1 时,分母=0,分子0,但因,例6.求,解:,分子分母同除以,则,“抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数),定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,说明:若定理中,则类似可得,三、复合函数的极限运算法则,例7.求,解:令,仿照例4,原式=,例8.求
3、,解:方法 1,则,令,原式,方法 2,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(要求分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,3.求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,4.试确定常数 a 使,解:,令,则,故,因此,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,
