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1、,教学目的,掌握线性映射的定义熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质，掌握矩阵可对角化的条件理解酉空间的概念掌握酉空间与实内积空间的异同。,在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种,保持向量的加法和数量乘法的一一对应.我们常称,映射(比同构映射少了一一对应的条件),两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性,线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。,借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。,(4)如果1,2,m 是V1的线性相关组，则
2、D(1),D(2),D(n)是V2的一组线性相关向量；并且当且仅当D 是一一映射时，V1中的线性无关组的像是V2中的线性无关组.,注3 矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与mn矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。,解 在Rxn中取基1=1，2=x,n=xn-1,在Rxn-1中取基1=1，2=x,n-1=xn-2，则,D(1)=0=01+0 2+0 n-1D(2)=1=1+0 2+0 n-1D(3)=2x=01+2 2+0 n-1 D(n)=(n-1)xn-2=01+2 2+(n-1)n-1,D(1,2,n)=(1,2 n-1),即,于是D
3、在基1，x,xn-1与1，x,xn-2下的矩阵为,D=,另：若在Rxn-1中取基1=1，2=2x,n-1=(n-1)xn-2,则D 在基1，x,xn-1与1，2x,(n-1)xn-2下的矩阵为,D=,说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同,即对V 中的任意两个向量，和任意kP，映射（未必是双射）A：VV 满足(i)(可加性):A(+)=A()+A()(ii)(齐次性):kA()=A(k)称A()为在变换A 下的像，称为原像。V上的全体线性变换记为：L(V,V),线性变换的基本性质,如果 T：VV 是线性变换，则,零向量对应零向量,叠加原理,L(V,V)表示线性空间V 上的所有线性变换的集合，对
4、任意的T,T1,T2L(V,V),V,定义,则可以验证，都是线性变换，因此L(V,V)也是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念,特殊的变换：对任意的kP定义数乘变换K（x）=kx，恒等变换：I（x）=x，零变换：O(x)=0,例 设线性空间 的线性变换为,求在自然基底下的矩阵.,解：,()=,例 在线性空间 中，线性变换定义如下：,（1）求 在标准基 下的矩阵.,（2）求在下的矩阵.,解：（1）由已知，有,自然基底,设 在标准基 下的矩阵为A，即,即：为过渡矩阵,因而，,设在 下的矩阵为B，则,（2）求在下的矩阵.,定义 设D 是数域 P上的线性空间 上的线性变
5、换。令,R(D)=Im(D)=D(a)|aVKer(D)=N(D)=aV|D(a)=0称R(D)是线性变换D 的值域，而Ker(D)是线性变换的核。R(D)的维数称为D 的秩，Ker(D)的维数称为D 的零度。,定理2.3.2 设D 是数域 P上的线性空间V上的线性变换。令D 在V的一组基1,2,n下的矩阵表示为A，则（1）Im(D)和Ker(D)都是V的子空间；（2）Im(D)=span(D(1),D(2),D(n)（3）rank(D)=rank(A)（4）dim(Im(D)+dim(Ker(D)=n,证明（1）显然R(D)是V的非空子集，对任意D(),D()R(D)，kP 有 D()+D(
6、)=D(+)R(D)kD()=D(k)R(D)所以R(D)是V的子空间 又D(0)=0,所以Ker(D)是V的非空子集,对任意,Ker(D)，kP D(+)=D()+D()=0Ker(D)D(k)=kD()=0Ker(D)所以Ker(D)是V的子空间,如果D(r+1),D(n)是线性无关的，则有dim(Im(D)=n-r,证明（4）设 dim(Ker(D)=r，在 Ker(D)中取一组基1,2,r，根据扩充定理，将它扩充成 的基1,2,r,r+1,n，则Im(D)=span(D(1),D(r),D(r+1),D(n)=span(D(r+1),D(n),因为 线性无关，所以ki=0(i=1,2n
7、),所以D(ar+1),D(an)线性无关。,事实上，设，则,从而 则,n,r,j=1,kjaj,注意,（1）虽然 dim(Im(D)+dim(Ker(D)=n，但一般有Im(D)+Ker(D)V,（2）当且仅当(Ker(D)=0，也即当且仅当Im(D)=V时，变换D是可逆的。,例 设线性变换 T 在4维线性空间 的基 下的矩阵为,（2）求 Im(T)的一组基;,（1）求Ker(T)的一组基;,解,（1）对任意,有,因此,解得基础解系,则 的基为,（2）由于,从而,这说明,例 设线性变换A 在基 下的矩阵是求A 的全部特征值与特征向量。解：求A 的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。,所
8、以A的特征值是 3(二重)与-6。对于特征值 3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：,从而 A 的属于 3 的极大线性无关特征向量组是于是A 属于 3的全部特征向量是 这里 k1k20。对于特征值-6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：,从而 A 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是于是 A 的属于-6 的全部特征向量这里 k 为数域 F 中任意非零数。,称 矩阵 为多项式 的友矩阵，这里,例 对于多项式,求C的特征多项式,解 记,由上式逐次递推得,对di按第一行展开,有 di=di-1+ai,i1,dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+an=2(dn-3+an-2)+a
9、n-1+an=n+a1n-1+a2n-2+an-1+an,接下来考虑线性变换在不同基下的矩阵特征值的关系：,证:（1）|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1|(I-A)|P|=|I-A|,另：66页例的结论：m阶方阵AB与n阶方阵BA有相同的非零特征值，从而有tr(AB)=tr(BA)；特别地，若A，B为同阶方阵，则AB与BA有相同的特征值.,推论：若P-1AP=diag（1,2,n），则1,2,n是A的n个特征值，C的第i个列向量是A的属于i的特征向量,例 在多项式空间 Pt3 中，设 f(t)=a1+a2t+a3t2定义线性变换Tf(t)=(a2+a3)+(a1+
10、a3)t+(a1+a2)t2,试求 Pt3 的一组基，使 在该基下的矩阵为对角矩阵。,解：,这里标准基 在线性变换 下的矩阵表示为,矩阵A的特征值为,属于2的特征向量为p1=(1，1，1)T属于-1的两个线性无关的特征向量为 p2=(-1，1，0)T p3=(1，0，-1)T,所以,使得 P-1AP=,因此所求基为,显然可以验证线性变换 满足,注 鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和Givens变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的
11、夹角等几何属性不变。,补充：两种基本的图形变换,例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间 中的所有向量均绕原点顺时针旋转角，这时像 与原像 之间的关系为,例2（反射变换或Householder变换）将 中任一向量x 关于横轴做反射得向量y。这时像(x2,y2)与原像(x1,y1)之间的关系为,从几何上看，图形经过旋转变换或反射变换后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：,一般形式的Givens矩阵为：,第j 列,第i 列,对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换。,定理
12、对任意，存在有限个Givens矩阵的乘积，使得 其中 为标准单位向量。即通过有限次Givens变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。,Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维向量，通过有限次Givens变换，可将其后任意r 个分量变为零，特别地，r=n-1时，得,如图，显然有正交分解,因此向量 关于“与 轴正交的直线”对称的镜像向量的表达式为,再看HouseHolder变换,类似地，可定义将向量 变换为关于“与单位向量 正交的 维子空间”对称的向量 的镜像变换。,定义3设 为单位向量，称矩阵为Householder 矩阵（初等反射矩阵），对应的变换 称为Householder 变换（初
13、等反射变换）,定理 对任意，存在Householder 矩阵，使得 其中 为标准单位向量。即可以通过Householder变换将向量反射到某个坐标轴上。,Householder变换能将任何非零向量变成与给定单位向量同方向的向量；,两类矩阵的关系：,Givens矩阵（变换）等于两个初等反射矩阵（变换）的乘积。即反射变换比旋转变换更基本。,，当且仅当 时，等号成立。,定义1 是复数域 上的线性空间。如果对 中任意两个向量 都存在所谓 与 的内积，满足下面四个条件。称定义了内积的线性空间 为复内积空间，简称酉空间。,补充 酉空间(Unitary Space),例 1 定义了标准内积的 是一酉空间。这
14、里，对任意两个向量 及，标准内积为,例 2 在线性空间 中，对任意定义复双线性型（Bilinear Form）这里 是Hermite矩阵，即 则 是 的一个内积。,二、酉空间的一些重要结论,（1）（2）（3）,（4）（5），当且仅当 线性相关时等号成立；,（6）两个非零向量 的内积 时，称 与 正交；（7）任意一组线性无关的向量都可以用Schmidt正交化方法正交化，并扩充成一组标准正交基；（8）标准正交基 下的任意两向量的内积（9）任意一个酉空间 都可以分解为其子空间 和 的直和；(正交分解),定义4 称酉空间 中的线性变换 称为酉变换，如果 保持向量的内积不变，即对任意，有,根据定义，显然
15、酉变换也保持酉空间中向量的长度、距离等几何属性不变。不过注意对向量间的夹角的不同定义，未必成立。,定理5设 是酉空间 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：（1）是酉变换；（2）保持向量的范数不变，即；（3）若 是 的一组标准正交基，则 也是 的标准正交基；（4）在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示 为酉矩阵，即,例 3 证明：,（1）酉矩阵的特征值之模为 1。,（2）酉矩阵的相异特征值对应的特征向量互相正交。,例26 线性空间 和零子空间 都是 上的线性变换 的（平凡）不变子空间。,例27 线性空间 上的线性变换 的像 和核 都是 的不变子空间。,例 28 线性空间 上的线性变换 的对应于某个特征值 的所有特征向量加上零向量 组成的集合,也是 的子空间，称为 的特征子空间(eigenspace)。进一步，也是 的不变子空间。,例 32 求 中矩阵 所对应的线性变换 的所有非平凡不变子空间，其中,
