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1、2023/10/31,同济版高等数学课件,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第十一章,2023/10/31,同济版高等数学课件,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),2023/10/31,同济版高等数学课件,其方向用法向量指向,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,
2、表示:,其面元,在 xOy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,2023/10/31,同济版高等数学课件,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,分析:若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,2023/10/31,同济版高等数学课件,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,2023/10/31,同济版高等数学课件,设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R 叫做被积函数;,叫做
3、积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2.定义：,2023/10/31,同济版高等数学课件,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面 上对 z,x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面 上对 x,y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面 上对 y,z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,2023/10/31,同济版高等数学课件,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用 表示 的反向曲面,则,2023/10/31,同济版高等数学课件,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函
4、数,则,证:,取上侧,2023/10/31,同济版高等数学课件,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧,则,2023/10/31,同济版高等数学课件,例1.计算,其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,2023/10/31,同济版高等数学课件,解:把 分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例2.计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,2023/10/31,同济版高等数学课件,2023/10/31,同济版高等数学课件,例3.设S 是球面,的外侧,计算,解:
5、利用轮换对称性,有,2023/10/31,同济版高等数学课件,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,2023/10/31,同济版高等数学课件,令,向量形式,2023/10/31,同济版高等数学课件,例4.位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,2023/10/31,同济版高等数学课件,例5.设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角,计算,解:,2023/10/31,同济版高等数学课件,例6.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,2023/10/31,同济版高等数学课件,原式=,原式=,
6、2023/10/31,同济版高等数学课件,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,2023/10/31,同济版高等数学课件,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲面积分的定义一个与 的方向无关,一个与,2023/10/31,同济版高等数学课件,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,2023/10/31,同济版高等数学课
7、件,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式.,2023/10/31,同济版高等数学课件,思考与练习,1.P227 题2,提示:设,则,取上侧时,取下侧时,2.P244 题 1,3.P227 题3(3),2023/10/31,同济版高等数学课件,是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,P227 题3(3).设,作业 P227 3(1),(2),(4);4(1),(2),第六节,2023/10/31,同济版高等数学课件,备用题 求,取外侧.,解:,注意号,其中,2023/10/31,同济版高等数学课件,利用轮换对称性,
