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1、2023/11/2,第六章 定积分的应用,1,定积分在几何上的应用,一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长四、小结,第二节,(Application of the Definite Integral to Geometry),2023/11/2,第六章 定积分的应用,2,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,图6-2-1（1）,图6-2-1（2）,2023/11/2,第六章 定积分的应用,3,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,2023/11/2,第六章 定积分的应用,4,解,解方程组,选 为积分变量,2023/11/2,第六章 定积分的应用,5,
2、于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,2023/11/2,第六章 定积分的应用,6,解,解方程组,选 为积分变量,2023/11/2,第六章 定积分的应用,7,2023/11/2,第六章 定积分的应用,8,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,2023/11/2,第六章 定积分的应用,9,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2023/11/2,第六章 定积分的应用,10,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标情形,图6-2-6,2023/11/2,第六章 定积分的应用,11,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,图6-2-7,2023/11/
3、2,第六章 定积分的应用,12,解,利用对称性知,图6-2-8,2023/11/2,第六章 定积分的应用,13,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1.旋转体的体积,图6-2-9,2023/11/2,第六章 定积分的应用,14,旋转体的体积为,图6-2-10,2023/11/2,第六章 定积分的应用,15,解,直线 方程为,图6-2-11,2023/11/2,第六章 定积分的应用,16,图6-2-11,2023/11/2,第六章 定积分的应用,17,解,图6-2-12,2023/11/2,第六章 定积分的应用,18,图6-2
4、-13,2023/11/2,第六章 定积分的应用,19,解,2023/11/2,第六章 定积分的应用,20,2023/11/2,第六章 定积分的应用,21,补充,利用这个公式，可知上例中,2023/11/2,第六章 定积分的应用,22,2.平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,图6-2-15,2023/11/2,第六章 定积分的应用,23,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,图6-2-16,2023/11/2,第六章 定积分的应用,24,解,取坐标系如图,底圆方程为,
5、截面面积,立体体积,图6-2-17,2023/11/2,第六章 定积分的应用,25,三、平面曲线的弧长,图6-2-18,2023/11/2,第六章 定积分的应用,26,弧长元素,弧长,1.直角坐标情形,图6-2-19,2023/11/2,第六章 定积分的应用,27,解,所求弧长为,2023/11/2,第六章 定积分的应用,28,解,2023/11/2,第六章 定积分的应用,29,曲线弧为,弧长,2.参数方程情形,2023/11/2,第六章 定积分的应用,30,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,2023/11/2,第六章 定积分的应用,31,曲线弧为,弧长,3.极坐标情形,
6、2023/11/2,第六章 定积分的应用,32,解,例,15,求极坐标系下曲线,的长.,2023/11/2,第六章 定积分的应用,33,四、小结,1.平面图形的面积（直角坐标、参数方程、极坐标）；,2.旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,2023/11/2,第六章 定积分的应用,34,3.平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,2023/11/2,第六章 定积分的应用,35,1.求由 及 所围图形的面积.,2.求由 及 所围图形的面积.,3.求星形线 所围图形的面积.,练习题,2023/11/2,第六章 定积分的应用,36,2023/11/2,第六章 定积分的应用,37,作业 P284-286 2(1)(2);3;4;9;12;21;22.,练习题答案,
