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1、1,附录：,函数的基本知识,(1),定义,(2),函数的递推公式,时，有,为正整数,特别的，当,(3),当,时,2,第五章 贝塞尔函数,在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问,题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题，,从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就,是人们常说的特殊函数。,本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进,行分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程,的解法及解的有关性质；最后再来介绍贝塞尔函数,在解决数学物理中有关定解问题的一些应用。,3,5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数,一、贝塞尔方程的导出,在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或,薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们
2、就会遇到,贝塞尔方程。,下面，我们以圆盘的瞬时温度分,布为例来导出贝塞尔方程。,设有半径为,的圆形薄盘，,上下两面绝热，,圆盘边界上的温度始终保持0度，,且初始温度,分布为已知，,求圆盘内的瞬时温度分布规律。,我们用,来表示时刻,处的温度函数。,圆盘上点,4,这个问题归结为求解下列定解问题：,(2),(1),(3),应用分离变量法求这个问题的解。,为此，令,代入方程(1)得,用,乘之，得,5,于是有,(2),(1),(3),(4),(5),方程(4)的解为,亥姆霍兹方程,由边界条件(2)有,(6),6,(2),(1),(3),为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解，,(5),(6),我们采用
3、平面上的极坐标系，则得定解问题,(7),(8),7,(7),(8),再令,代入方程(7)得,两端乘以,移项得,于是有,(9),(10),8,(9),(10),由于温度函数,是单值的，,所以,也必,是单值函数，即,求解常微分方程的边值问题,可得,9,(9),(10),将,代入方程(10)得,(11),该方程叫做,阶贝塞尔方程。,由边界条件(8),可知,另外，由于圆盘上的温度是有限的，,特别在圆心,处也应如此，由此可得,10,因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题,的固有值与固有函数。,若令,并记,(11),将上式代入方程(11)可得,则,(12),方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程，
4、,它的解称为贝塞尔函数。,(有时称之为柱函数)。,11,二、贝塞尔函数,(12),由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式,的广义幂级数解：,(13),其中,为常数，,下面来确定,为此，将(13)以及,带入方程(12),12,(12),(13),可得,13,(12),(13),14,(13),比较上式两边系数则有,(14),(15),(16),由于,从(14)可得,下面分三种情形讨论,15,(13),(15),(16),情形1,如果,不为整数(包括0)和半奇数，,则,也不为整数。,先取,代入(15)得,代入(16)得,(17),由(17)可知,16,(13),(17),另外,17,由于,是
5、任意常数，,我们可以这样取值：,使一般项系数中,与,有相同的次数，并且同时,使分母简化。,为此取,利用递推公式,则一般项系数变为,将此系数表达式代回(13)中，,(13),18,(12),(13),得到方程(12)的一个特解，记作,(18),称为,阶第一类贝塞尔函数。,又由于,则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上,是绝对收敛的。,19,(13),(15),(16),再令,代入(15)得,代入(16)得,由上公式可知,20,(13),另外,21,由于,是任意常数，,我们可以这样取值：,使一般项系数中,与,有相同的次数，并且同时,使分母简化。,为此取,利用递推公式,则一般项系数变为,将此
6、系数表达式代回(13)中，,(13),22,(12),(13),得到方程(12)的另外一个特解，记作,称为,阶第一类贝塞尔函数。,(19),由于,所以,与,线性无关，,由齐次,线性常微分方程解的结构定理知，方程(12)的通,解为,其中,为两个任意常数。,(20),称为,阶第一类贝塞尔函数。,与,线性无关，,23,(12),(20),(22),如果在(20)中取,则得方程(12)的另一个与,线性无关的特解，,记作,(21),因此方程(12)的通解可写成,称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。,24,(13),(16),情形2,如果,为整数(包括0)，,则,也为整数。,依照之前的做法，同样可得方程(1
7、2),的两个特解,(18),(19),(12),25,(18),(19),(23),注意当,为整数时，利用,函数的递推公式,可得,从而特解之一(18),可化为,而此时函数,与,线性相关。,26,事实上，,我们不妨设,为某正整数,当,时，,将是,(23),(19),负整数与0，,对于这些值,为无穷大，,所以,令,得,27,(23),则化简得,与,当,为整数时是,这就说明了,线性相关的。,为了求出贝塞尔方程的通解，我们,还需要求出一个与,线性无关的特解。,28,而当,为整数时，,不为整数。,与,当,不为整数时，,其中,为整数，,(21),由(21)式知，,是,由于,于是(21)式的右端成为,形式的
8、不定型，,此时,我们很自然地定义,而当,为整数时，,与,当,不为整数时，,由(21)式知，,是,由于,为整数时，,与,当,不为整数时，,由(21)式知，,是,线性无关的，,29,应用洛必达法则经过冗长的推演(可参阅H.H.,列别捷夫著，张燮译特殊函数及其应用，,高等教育出版社，1987），得,30,阶贝塞尔方程与,线性无关,其中,称为欧拉,常数。,显然,是,特解。,无穷大,31,(12),是否为整数，,综上所述，不论,为任意实数。,其中,为任意实数，,当,为偶数时，,为偶函数；,当,为奇数时，,为奇函数。,当,为半奇数时，留在下一节讨论。,贝塞尔方程(12),的通解都可表示为,另外，由,推出，
9、,情形3,为整数时，,32,5.2 贝塞尔函数的递推公式,不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系，,本节,来建立反映这种联系的递推公式。,(18),(21),由,的表达式(18)可推出下列两个基本,递推公式：,(25),(26),33,(25),(26),事实上，在(18)式的两边乘上,然后对,求导，得,令,得,34,同样可以证明公式(25)。,(25),(26),事实上，在(18)式的两边乘上,然后对,求导，得,35,(25),(26),如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得,先后消去,与,则得,(27),(28),显然(25)(26)式与(27)(28)式是等价的。,36,(25),(26)
10、,(27),(28),与,若已知,之值，,由(27)式可算出,之值。,这样一来，通过(27)式，可以用0阶与1阶,贝塞尔函数来表示任意正整数阶的贝塞尔函数。,特别的，当,时，由(26)式得,37,(25),(26),特别的，当,时，由(26)式得,当,时，由(25)式得,(29),(27),(28),38,例,(27),(28),(29),求,解,由(27)式知，,则有,39,对于第二类贝塞尔函数，也有如下的递推公式成立：,40,当,(18),(27),为半奇数时的贝塞尔函数的一个重要特点,是可用初等函数表示。,先计算,由(18)式得,利用,函数的性质，得,41,(18),(27),从而,(30),同样可得,(31),应用公式(27)得,42,(18),(27),同理，应用公式(27)得,43,一般的，有,44,这里为了方便起见，我们采用微分算子,它是算子,连续作用,次的缩写。例如,一般的，有,
