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1、1.4.1 全概率公式,1.4.2 逆概率公式,1.4 全概率公式与逆概率公式,定义,也称为 的一个分割,样本空间的分割（P38）,有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球,2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,引例1：,如何求取得红球的概率？,一、全概率公式（P38）,全概率公式,证明,概率的性质,乘法公式,事件的性质,全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,全概率公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每
2、一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,因为B 发生总是伴随着 A1,A2,A3 之一同时发生,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球,2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,解:记 Ai=球取自 i 号罐 i=1,2,3,A1,A2,A3是样本空间的一个分割;B=取得红球,再看引例1,代入数据计算得：,因为B 发生总是伴随着 A1,A2,A3
3、 之一同时发生,有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球,2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,解 记 Ai=球取自 i 号罐 i=1,2,3,A1,A2,A3是样本空间的一个分割;B=取得红球,再看引例1,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,代入数据计算得：,例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品
4、的概率是多少?,设事件 B 为“任取一件为次品”,解,30%,20%,50%,例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,事件 B 为“任取一件为次品”,30%,20%,50%,2%,1%,1%,由全概率公式得,例2,飞机有三个不同的部分遭到射击,在第一部分被击中一弹,或第二部分被击中2弹,或第3部分被击中3弹飞机才会被击落,其命中率和每一部分面积成正比,三部分面积之比为0.1:0.2:0.7.若已知飞机中两弹（两弹独立）,求飞机被击落的概率.
5、,解:,将中的两弹分出先后次序,事件B的实现有n种途径，在每种途径下,实现B的概率各不相同,但它们的概率之和即为P(B),即全概率公式,全概率公式的本质:,=0.23,例3,某人忘记了电话号码的最后一个数,因而随意地拨号,求他在前三次拨通的概率.,解:,由全概率公式：,其中,正确吗？,因为,虽然求解过程中用全概率公式错误,但结果仍然正确.,全概率公式的另一种提法:,则,为两两互斥的事件组，且事件,引例2：,某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率.,这是一个条件概率问题,下面就介绍为解决这类问题而引出的逆概率(Bayes)公式,称此为逆概率公式或贝叶斯公式.,二、逆概
6、率公式(Bayes公式)（P39）,证明,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,条件概率,全概率公式,乘法公式,逆概率公式(Bayes公式)的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用逆概率公式,逆概率公式(Bayes公式)的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i
7、 个原因引起的概率，则用逆概率公式,A1,A2,A3是样本空间的一个分割,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率.,再看引例2,解 记 Ai=球取自 i 号罐 i=1,2,3;B=取得红球,代入数据计算得：,A1,A2,A3是样本空间的一个分割,某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1号罐的概率.,再看引例2,解 记 Ai=球取自 i 号罐 i=1,2,3;B=取得红球,依题意:P(Ai)=1/3(i=1,2,3),P(B|A1)=2
8、/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,代入数据计算得：,例2,(2)由逆概率公式得,同理可得,例4,解,(1)由全概率公式得,(2)由逆概率公式得,解,例3,由逆概率公式得所求概率为,解,例5,由逆概率公式得所求概率为,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.（P39）,而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率.（P39）,先验概率与后验概率,先验概率与后验概率的关系,解,例4,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,解,例6,由逆概率公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,每100
9、件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有i 件次品的概率为,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率；(2)通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率.,例7,设一批产品中有i 件次品为事件Ai,i=0,1,4,B 为一批产品通过检验,由全概率公式与Bayes 公式可计算P(B)与,解 设一批产品中有i 件次品为事件Ai,i=0,1,4,B 为一批产品通过检验,已知P(Ai)如表中所示，,A0,A1,A2,A3,A4是样本空间的一个分割,且,1.0 0.9 0.809 0.727 0.6
10、52,1.0 0.9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179 0.080,（1）一批产品通过检验的概率；,（2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率.,每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有i 件次品的概率为,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率；(2)通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率.,例7,解 设一批产品中有i 件次品为事件Ai,i=0,1,4,B 为一批产品通过检验,则,已知P(Ai)如表中所示，且,结果如下表所
11、示,1.0 0.9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179 0.080,例8(软件包维护问题)假如要维护一个有3个配置选项的软件包。其中用户用到A项的有40%，用到B项的有30%，用到C项的有30%。假定用户每个时刻只能使用一种选项。通过对该软件包支持经验的不断积累，发现A项用户的出现问题的概率是0.5%，B项用户是0.75%，C项用户是0.95%。问维护的人力应该投向哪个选项？解 假设每个选项可能导致的技术支持请求的百分比是一样的，显然应该对发生支持请求用户数最多的那个选项集中人力对其加以改进。由贝叶斯公式得,已知P(A)=40%，P(B)=30%
12、，P(C)=30%，P(问题|A)=0.5%，P(问题|B)=0.75%，P(问题|C)=0.95%，于是有 比较三个结果可知，维护的人力应投向C项。,贝叶斯公式可作如下解释：假定有n个两两互斥的“原因”A1,A2,An可引起同一种“现象”B发生，若该现象已发生，利用贝叶斯公式可算出由某一个原因Aj(j=1,2,n)所引起的可能性有多大。如果能找到某个Aj，使 P(Aj|B)=maxP(Aj|B)(1jn)则Aj就是引起“现象”B的最大“原因”。上述结论有诸多应用，如可用于公安机关破案警力的配备，垃圾邮件的过滤和计算机网络防火墙的设计等方面的参考。,练习1 用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，
13、肺癌患者通过检查被确诊的有98，而未患肺癌者经检查有99%可正确诊断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。在某人口密集的工业区，估计有3%的人患肺癌，现从该地区任选1人检查，试求：(1)若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率；(2)若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率(3)解释以上结论的意义。解：设A=此人确实患肺癌 B=此人被诊断为患肺癌,(1)若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率(2)若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率,(3)解释以上结论的意义:对被查出患有肺癌，确实患有肺癌的概率是0.7520则实际未患癌的可能性有近1/4。应不要太紧张，可作进一步检查。对未被诊断为未患肺癌，他
14、实患此病的概率0.0006,则实际未患此病的概率是：0.9994，可以相信未患癌症的检查结果。,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结,乘法定理,例1 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,解法i)P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.,解法ii)用对立事件公式 P(C)=P(AB)=1(1 0.9)(1 0.8)=1 0.02=0.98.,例2 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7
15、，现已知 目标被击中，求它是甲击中的概率.。,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6/0.88=15/22,例3 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 和，求甲得胜的概率。,解:,因为P(甲胜)=+(1)(1)P(甲胜),所以 P(甲胜)=/1(1)(1).,例4 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.谁先取到白球为胜，求甲胜的概率.,解：P(甲胜)=3/8+(5/8)
16、(5/8)P(甲胜),所以 P(甲胜)=8/13.,例5 元件工作独立，求系统正常工作的概率.记 Ai=“第i个元件正常工作”，pi=P(Ai).,(1)两个元件的串联系统：P(A1 A2)=p1 p2,(2)两个元件的并联系统：P(A1 A2)=p1+p2 p1 p2=1(1 p1)(1 p2),(3)五个元件的桥式系统：用全概率公式 p3(p1+p4 p1 p4)(p2+p5 p2 p5)+(1 p3)(p1p2+p4 p5 p1p2 p4p5),基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、频数、概率、古典概率，对立事件、互不相容时间、概率的加法定理、条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性；概率的3条基本性质：非负性、规范性、可列可加性；重要概率公式：条件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A);乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A);全概率公式、贝叶斯公式；,全章小结,作业,P41练习1.4 1 2,
