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1、第八章 采样控制系统,81 采样系统的基本概念,一.采样控制系统的基本结构 一个控制系统中有一处或几处的信号是离散（数字）的，称为离散控制系统或采样控制系统。,e(t)：连续信号,e(t)*：离散信号,T：采样周期。采样开关每隔时间T闭合一次，每次闭合时间为,计算机控制系统,采样控制系统的特点：,组成结构简单。控制精度高、抗干扰能力强。控制方式调整灵活，通过改变计算机程序可实现需要的控制。可用一台计算机，实现分时多点控制，和多系统集中控制。,二.采样过程和采样定理,采样过程可看成理想脉冲序列T(t)对e(t)的幅值调制过程。,0,1.采样过程,T(t),T,0,e*(t)只含采样点上的信息，能
2、否从采样信号恢复原连续信号？,2.采样定理,频谱分析,设,因为,所以,采样角频率,可以恢复,可以恢复,无法恢复,当，采样信号的频谱不发生混叠，利用理想滤波器可恢复出原连续信号。,采样定理,三.采样信号的复现 采样信号变成连续信号的过程。,零阶保持器,实现装置保持器（在两相邻时刻间进行插值）,理想滤波器实际中是不能实现的！,T,零阶保持器,零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻kT的采样值e(kT)一直保持到下一个采样时刻(k+1)T，采样信号e*(t)变为阶梯信号eh(h)，即 eh(t)e(kT)，kTt(k+1)T,e*(t)eh(t)0 T 2T.t 0 T 2T.t
3、,零阶保持器的传递函数,传递函数：,频率特性：,T,零阶保持器的特性,低通特性,T,零阶保持器,理想低通滤波器,T,零阶保持器,理想低通滤波器,63.7%,相角特性,相角滞后可达180，使闭环系统的稳定性变差。,时间延迟,零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t)，其平均响应为et(T/2)，表明输出在时间上要滞后输入T/2，相当于给系统增加了一个延迟环节，不利于系统的稳定性。,82 Z变换,一.Z变换的定义,f(t)连续信号,采样(离散)信号,采样点上的信号值,习惯上称为f(t)的Z变换。,二.常用信号的z变换,(1)单位阶跃信号 f(t)1(t),f(kT)1(kT)1,附录B,设连续函数f(t
4、)的拉氏变换式为有理函数，可以展开成部分分式的形式，即,因为,式中pi为F(s)的极点，Ai为常系数。,故 f（t）的Z变换为：,三.利用部分分式法由F(s)求F(z),利用部分分式法求Z变换步骤：求出已知连续时间函数 f(t)的拉氏变换F(s)；将有理分式函数F(s)展成部分分式之和的形式；求出（或查表）给出每一项相应的z变换。,四.Z变换的性质（Page 268）,终值定理,若Zf(t)=F(z)，且(z1)F(z)的全部极点位于Z平面的单位圆内，则,延时特性,例8-8(Page270)：设试用终值定理确定e()。,解：由终值定理得,五.Z反变换,长除法,分子除以分母，将商按z1的升幂排列
5、：,将F(z)的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。,实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。,例,2.部分分式法,步 骤,对 进行部分分式展开,将 同乘以 z 后变为F(z),由典型信号的z变换可求出 f*(t)或 f(kT),例,例 810(Page271)设,试求f(kT)。,解：,经计算有A=1，B=1：,所以,3.留数计算法,式中 表示F(z)zk-1在极点pi 处的留数。,关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法如下：,若pi为单极点，则,若F(z)zk-1有ri 阶重极点，则,例 8-11：设z变换函数，试用留数法求其z反变换。,解：因为函数 有p1=1，p2=2两个极点
6、，极点处的留数,所以,83 采样系统的数学模型,脉冲传递函数,一.脉冲传递函数的定义,在零初始条件下，输出序列与输入序列的z变换之比,即,称为采样系统（环节）的脉冲传递函数。,多数实际采样系统的输出信号是连续信号，这时可以在输出端虚设一个采样开关，继续沿用脉冲传递函数的概念。,二.开环系统脉冲传递函数,(1)串联环节之间无采样开关,G(S)=G1(S)G2(S)G(z)=C(z)/R(z)=ZG1(S)G2(S)=G1G2(z),例,(2)串联环节之间有采样开关,即开环系统的脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的乘积。,由输入输出关系：,D(z)G1(z)R(z),C(z)=G2(z)D(z),
7、则：,G(z)C(z)/R(z)=G1(z)G2(z),例,G(z)C(z)/R(z)=G1(z)G2(z),(3)带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,实际上是串联环节间无采样开关的情况：,令,例：带零阶保持器的采样开环系统，Gp(S)=1/S(S+1),T=1,求G(z),三.闭环系统的脉冲传递函数,步 骤,采样开关在系统中的位置不同，闭环系统的脉冲传递函数也不相同。,求出相应连续系统的闭环传递函数；,求出；,观察各环节间有无采样开关，对上式进行采样，并标以采样记号*；,将采样记号换成Z变换，得到C(z)的表达式。,例1：,G(s),H(s),R(s),C(s),分别对R(s)G(s)和G
8、(s)H(s)进行采样！,闭环脉冲传递函数：,例2：,G(s),H(s),R(s),C(s),分别对R(s)G(s)和G(s)H(s)进行采样！,闭环脉冲传递函数：,例3：,G1(s),H(s),R(s),C(s),G2(s),闭环脉冲传递函数：,例4：,G1(s),H(s),R(s),C(s),G2(s),闭环脉冲传递函数：,例5：,G(s),H(s),R(s),C(s),求不出闭环脉冲传递函数。,例6：,G1(s),H(s),R(s),C(s),G2(s),求不出闭环脉冲传递函数。,看相乘各环节之间存在相连否？,例7：,G1(s),H(s),R(s),C(s),G2(s),G3(s),求不
9、出闭环脉冲传递函数。,补充例：,G1(s),R(s),C(s),G2(s),G3(s),G4(s),G5(s),求不出闭环脉冲传递函数。,84 采样控制系统的响应分析,一.采样系统的响应,例 设T1s，求输出c*(t)。,解:求闭环脉冲传递函数,求G(z),G(z)ZG(s),用长除法求时间响应：,系统输出的离散信号：,系统输出的离散信号：,c*(t),t,1,0,T 2T 3T 4T 5T 6T,如果令T=1、K=5则：,闭环脉冲传递函数：,阶跃响应发散，系统不稳定,系统中加入零阶保持器后系统的响应,R(s),C(s),s(s+1),1,T,C(z),T,s,1eTs,解：,设T1，则,闭环
10、系统的脉冲传递函数为：,设输入为单位阶跃信号，即,则系统输出为,系统输出的离散信号：,加入零阶保持器后，系统的超调量增大，调整时间变长。,二.MATLAB在采样系统中的应用,1.numd,dend=c2dm(num,den,T,zoh),num、den：连续传递函数的分子、分母系数；,T：采样间隔；,zoh：零阶保持,numd、dend：离散传递函数的分子、分母系数；,2.sys=tf(numd,dend,T),例：num=1;den=1,1,0;numd,dend=c2dm(num,den,1,zoh);G=tf(numd,dend,1),Transfer function:0.3679 z
11、+0.2642-z2-1.368 z+0.3679 Sampling time:1,运行结果：,sysb=feedback(Gopen，1,sign),%求单位反馈系统的闭环传递函数,3.numb,denb=cloop(numd,dend,sign),%求单位反馈闭环传递函数的分子、分母系数,4.dstep(numb,denb，t),%绘制离散系统的单位阶跃响应曲线其中t=0：T：终点时刻,T=1,采样系统闭环脉冲传递函数的一般表达式为：,设,85 采样控制系统的稳定性分析,一.采样控制系统暂态分量与闭环极点分布的关系,将上式展成部分分式,其中右端第1项为稳态分量，第2项为响应中的瞬态部分，z
12、i是闭环脉冲传递函数的极点。,1.当zi为正实数时：瞬态分量是按指数规律变化的信号 有3种情况：zi 1,o 1 2 3 Re,2.当zi为负实数时：瞬态分量是一个振荡函数有3种情况：zi 1,Re,0,3.闭环极点为复数极点,设系统具有共轭复数极点,zii Re zi,x,|zi|1则ci(kT)为振荡发散函数;|zi|1,ci(kT)为振荡衰减函数,且|zi|越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛越快;|zi|1响应为等幅振荡。,结论1,当闭环极点位于单位圆内时，暂态分量是衰减的，且极点离原点越近，衰减越快。,当闭环极点位于正实轴上，暂态分量按指数衰减。,当闭环极点位于负实轴上，暂态分量衰减振
13、荡。,当闭环极点为共轭复数时，暂态分量衰减振荡。,采样系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关:,当闭环复数极点位于左半单位圆内时，由于输出衰减高频振荡脉冲，故动态过程性能欠佳。,因此，在系统设计时，闭环极点应位于z平面的右半单位圆内，且尽量靠近坐标原点。,当闭环实数极点位于z平面上左半单位圆内时，由于输出衰减脉冲交替变号，故动态过程质量较差；,采样控制系统稳定的充要条件是：闭环脉冲传递函数的所有极点都必须位于Z平面上单位圆的内部。即,|zi|1,若有位于单位圆外或圆上的极点，则概不稳定。,结论2,若，即暂态分量是衰减的，则闭环系统稳定。,例：设采样控制系统：,G(S)=1/S(S+4),T=0
14、.25,判断系统的稳定性。,Routh判据是对于连续系统，判断是否有在S右半平面的特征根为依据的。而采样系统在Z平面上，稳定性取决于特征根是否在单位圆内。所以Routh判据不能直接引用。,作线性变换,令,寻找一种新的变换：将Z平面和S平面建立关系。,二.采样系统的Routh判据,将z代入：,例：已知采样系统的特征方程 D(z)=45z3-117z2+119z-39=0 用Routh判据判断其稳定性。,3210,2 40-18 040 0,第一列元素不全大于零，系统不稳定,解：,三.采样周期与开环增益对稳定性的影响,例8-20（Page285）设有零阶保持器的采样系统如下图所示，试求：（1）当采
15、样周期T分别为1s、0.5s时，系统的临界开环增益Kc。（2）当r(t)=1(t)，K=1，T=0.1s，1s，2s，4s时，系统的输出响应c(kT)。,解：,特征方程：,当T=1时，有,210,1.264-0.528K 0,当0K2.4时，系统稳定。,T=0.1,T=1,T=2,T=4,（2）开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越多，对采样系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统变得不稳定。,（1）当采样周期一定时，加大开环增益会使采样系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。,结论,图示单位反馈采样控制系统：,E(z)=R(z)C(z),由z变换的终值定理求采样系统的稳态误差：,86
16、采样控制系统的稳态误差,设闭环系统的开环脉冲传递函数的一般形式为,N：开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目，也成为采样系统的型号。N=0为0型；N=1为I型；N=2为II型；,1.单位阶跃输入时系统的稳态误差,系统输入：,静态位置误差系数,（1）N0时,（2）N1时,（3）N2时,2.单位斜坡输入时系统的稳态误差,系统输入：,静态速度误差系数,（1）N0时,（2）N1时,（3）N2时,3.单位加速度输入时系统的稳态误差,系统输入：,静态加速度误差系数,（1）N0时,（2）N1时,（3）N2时,系统类型,典型输入信号作用下的稳态误差,0型,单位阶跃输入,r(t)=1(t),单位斜坡输入,r(t)=t1(t),单位加速度输入,r(t)=t21(t),I型,0,II型,0,0,N,
