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1、3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性,单调性的判定法单调区间求法曲线的凹凸性曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法,一、单调性的判定法,定理,证,应用拉氏定理,得,定理,例1 讨论函数y=x-sinx 的单调性。,解：y=1-cosx 0，y=x-sinx在(,+)上单调增加,几何上看：单调区间的分界点是使f(x)=0的点.,注1:区间内孤立点处导数为零或不存在,不影响函数在区间上的单调性.,例2,解,注2:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例3,解,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部
2、分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例4,解,单调区间为,还可以用列表的方式讨论,x,+,+,y=f(x),列表：,例5,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,利用单调性证明不等式和判断方程根,P130例1,例6 证明当x0时，,证：令,F(x)在(0,+)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续，,利用单调性证明不等式和方程根,三、曲线的凹凸性,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,四、曲
3、线凹凸的判定,定理1,分析,定理1,证,定理1,证,结论（2）可类似得证.教材上用langrange定理证明!,例7,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,证,2、拐点的求法,二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点，可能是拐点,方法1:,例10,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例12,解,小 结,1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,2.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,3.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,4.曲线的弯曲方向凹凸性;,5.改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法.,思考题1,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,思考题2,思考题解答,例,作业：P152：3-（3）、5-（1）（5）、6、7、8-（3）、9-（3）,方法2:,例,解,2、拐点的求法,所以,是拐点.,
