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1、高 等 数 学,苏州大学出版社 2013,C1.函数与向量,C2.极限与连续,C4.中值定理与导数的应用,C5.定积分与不定积分,C3.导数与微分,主要内容,C8.微分方程,C6.二重积分与曲线积分,C7.无穷级数,C9.概率论基础,第三章,导数与微分,第三节 高阶导数、高阶偏导数,第一节 导数、偏导数及其运算,第二节 微分与全微分,第四节 参数方程与隐函数方程微分法,习题课,3.1 导数、偏导数及其运算,一、导数的定义二、函数的求导运算法则三、偏导数的概念与计算,一、导数的定义,引例1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动
2、,引例2.曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),切线 MT 的斜率,变化率问题引出导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,若上述极限不存在,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大.,例1.用定义推导下列求导公式:,
3、(C 为常数),解:,即,解:,说明：,对一般幂函数,(为常数),（以后将证明）,例如，,现在先应用一般公式可以得到,解:,特殊地,解:令,则,即,类似可证得,解:,例2.证明函数,在 x=0 不可导.,证:,不存在,例3.设,存在,求极限,解:原式,1.导数的几何意义,切线方程:,法线方程:,思考:曲线,哪一点有垂直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,提示:在原点(0,0)有垂直切线,在点(1,1),(1,1)处,证:,设,在点 x 处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,
4、2.一元函数的可导性与连续性的关系,定理1.,在点,的某个右 邻域内,3.单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x=0 处有,定义2.设函数,有定义,存在,定理2.函数,在点,且,存在,简写为,定理3.函数,(左),(左),若函数,与,都存在,则称,显然:,在闭区间 a,b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,二、函数的求导运算法则,1.函数的四则运算求导法则,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,下面省略证明,给出相应的推论和例题.,和差法则可推广到任意有限项的情形.,(C为
5、常数),积法则可有推论:,(C为常数),商法则可有推论:,例4.求解下列导数问题:,解:,解:,求,(3).求证,证:,类似可证:,2、反函数的求导法则,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,例5.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,在点 x 可导,3、复合函数求导法则,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例6.求下列导数:,解:(1),(2),(3).设,求,解:,(4).设,解:,两边取对数,利用复合函
6、数求导法则,两边对 x 求导,解:,即,指数求导法,两边求对数,对于幂指函数,对数求导法,两边求导,可以使用下列两种方法:,即,其实对数求导法适合更一般的情形,如类似前例(5)复杂积商函数情形.,初等函数的求导问题,由常数和基本初等函数的导数公式(P76),有限次四则运算的求导法则,与复合函数求导法则,可得结论:,且导数仍为初等函数,初等函数在定义区间内可导,三、偏导数定义及其计算法,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,
7、记为,或 y 偏导数存在,例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,(请自己写出),二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,多元函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!,例7.求,解法1:,解法2:,在点(1,2)处的偏导数.,例8.设,证:,例9.求,的偏导数.,解:,求证,偏导数记号是一个,例10.已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R
8、为常数),不能看作,分子与分母的商!,此例表明,整体记号,3.2 微分与全微分,一、微分的概念与计算二、全微分的概念与计算,一、微分的概念与计算:,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,当 x 在,取,变到,边长由,其,定义1:若函数,在点 的增量可表示为,(常数A 不依赖于x),的微分,则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,定理1 函数,在点 可微的充要条件是,即,习惯上,证:必要性,已知,在点 可微,则,故,在点,可导,且,充分性:,已知,即,在点 的可导,则,自变量的微分,记作,说明:,
9、时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分的几何意义,切线纵坐标的增量,则有,导数也叫作微商,例如,由基本初等函数的求导公式可以推出对应的微分公式,又如,还可以得到下列的微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,例1.求下列微分问题:,求,解:,(2)设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,(3)在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,的近似值.,(4)求,解:设,取,由,当,很小时,由,的近似值.
10、,解:,(5).计算,常用近似公式:,可以推出,二、全微分的定义与计算,定义2:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,1.全微分的定义,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,2.可微的条件与连续性的关系:,定理2(必要条件),若
11、函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数,必存在,且有,反例:函数,注意:.,偏导数存在函数 不一定可微,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,定理2 的逆定理不成立,即,定理3(充分条件),若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,反例:函数,注意:.,偏导数连续是可微的充分条件,但不是必要的!,易知,且,但偏导函数,在点(0,0)不连续.,3.全微分叠加原理:,若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,常记为,习惯上把自变量的增量用微分表示,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,的全微分为,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,例2.求下列
12、函数的全微分:,在点(2,1)处的全微分.,解:,(2).计算函数,的全微分.,解:,(1)计算函数,4.多元复合函数求导的微分法则,定理4.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,说明:,1)若定理中,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,2)若定理中,偏导数连续减弱为,可微,则定理结论依然成立.,推广:,1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.例如,多元复合函数的全微分形式不变性:,设函数,的全微分为,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微
13、分形式不变性.,例3.设,解法一:,解法二:,可得出同样结论!,例4.,解:,例5.设,求全导数,解:,思考一下如何用其他方法呢?,例6.已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,由,3.3 高阶导数、高阶偏导数,一、高阶导数二、高阶偏导数,一、高阶导数的概念与计算,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义1.,若函数,的导数,可导,或,即,或,的二阶导数,记作,的导数为,则称,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,依次类推,分别记作,或,例1.求下列函数的n 阶导数:,(1)设,求,解:,依次类推,可得,思考:设,问,(2).设,求,解:,特别有:,解:,规定
14、 0!=1,思考:,(3).设,求,(4)设,求,解:,一般地,类似可证:,二、高阶偏导数的概念与计算,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,则,定理.,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,(证明略),例如,对三元函数 u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,例2.求函数,解:,的二阶偏导数及,说明:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数
15、可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等,注意:,但这一情形并不总成立.,例如,当,当,二者不等,二者相等,例3.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,为简便起见,引入记号,例4.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,思考:设,二阶偏导数连续,证明下列表达式在极坐标系下的形式:,3.4 参数方程与隐函数方程微分法,一、参数方程确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导,一、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成 x 是 y 的函数),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由
16、它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,例1:,解:,求,例2.设,且,求,解:,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,例3.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,二、隐函数方程确定的函数求导,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:
17、,两边对 x 求导,(含导数 的方程),例4.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,例5.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例6,对 x 求导,两边取对数,解:,求导函数?,下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略.,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,例7.验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解:令,连续,由
18、 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可,且,求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略.,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,例8.设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,但这里仅给出实例解法,对Jacobi行列式表达形式只作简单介绍!,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(Ja
19、cobi)行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,下例方法的一般化可推出P92 定理3 的结论.,例9.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,答案:,由题设,故有,P92 1(1)(2),2(1)(3),3(1)(3)(5)(6);,作业,P93 4(2)(4)(6)(7),5(2)(3)(4),6;,P93 7(1)(3)(4),8,9(2);,P95 18(2)(4),19(1)(4),20;,P95 21(2),22;,P95 23(1)(2),24(2)(4)(5),25;,P94 10(2)(3),12,13(1)(2),15,16(2);,P96 27,30;,
