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1、2023年11月6日星期一,1,在第一章求极限时，,我们遇到过许多无穷小量之比,或无穷大量之比的极限,我们称这类极限为未定式,（Indeterminate Form),例如，,都是无穷小量之比 的极限。,又如，,都是无穷大量之比 的极限。,它们不能用“商的极限等于极限的商”的规则进行运算，,但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限.,2023年11月6日星期一,2,第三节 洛必达法则,第三章,（LHospitals Rule）,三、其他类型的未定式,二、,型未定式的洛必达法则,一、,型未定式的洛必达法则,四、小结与思考练习,2023年11月6日星期一,3,一、型未定式洛必达法则,存在(或为),定
2、理 1,(洛必达法则),2023年11月6日星期一,4,(在 x,a 之间),无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x,a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在(或为),证:,2023年11月6日星期一,5,定理 1 中,换为,之一,推论 2,若,理1条件,则,条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立.,洛必达法则,推论1,2023年11月6日星期一,6,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必达法则!,例1 求,2023年11月6日星期一,7,解:,原式,思考:如何求,(n 为正整数)?,例2 求,2023年11月6日星期一,8,二、型未定式的洛必达法则,存在(或为),定
3、理 2.,（证明略）,(洛必达法则),2023年11月6日星期一,9,说明:定理中,换为,之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,2023年11月6日星期一,10,解:,原式,例4 求,解:(1)n 为正整数的情形.,原式,例3 求,2023年11月6日星期一,11,(2)n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k,使当 x 1 时,例4 求,2023年11月6日星期一,12,例3.,例4.,1)例3,例4 表明,时,后者比前者趋于,更快.,例如,而,用洛必达法则,2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.,说明:,2023年11月6日星期一,1
4、3,例如,极限不存在,3)若,2023年11月6日星期一,14,三、其他类型的未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5 求,解:原式,2023年11月6日星期一,15,解:原式,通分,取倒数,取对数,例6 求,2023年11月6日星期一,16,解:,利用 例5,通分,取倒数,取对数,例7 求,2023年11月6日星期一,17,解:,注意到,原式,例8 求,（补充题）,说明:,这到题告诉我们，,洛必达法则是求未定式极限,的一种有效方法，,但最好能与其他求极限的方法结合使用，,这样可以使运算简捷.,2023年11月6日星期一,18,分析:为用洛必达法则,必须改求,法1 用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁!,法2,原式,例9 求,2023年11月6日星期一,19,洛必达法则,内容小结,2023年11月6日星期一,20,习题33 1（偶数题）；2（2）；3,课后练习,思考练习,1.设,是未定式极限,如果,不存在,是否,的极限也不存在?,举例说明.,极限,原式,分析:,2023年11月6日星期一,21,分析:,原式,3.,2023年11月6日星期一,22,则,解:令,原式,4.求,2023年11月6日星期一,23,5.求下列极限:,解:,2023年11月6日星期一,24,令,则,原式=,解:,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),2023年11月6日星期一,25,解:,原式=,
