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1、第四节 Hermite 插值多项式,要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足,在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅,把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）,插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。,两点三次Hermit插值,已知：,构造一个次数3的多项式H3(x)，满足插值条件：,（*）,两点三次Hermit插值（续1）,直接设,待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数,使之满足,5,两点三次Hermit插值（续2）,其中,都是次数为3的多项式,则H3(x)是一个次数3的多项式
2、且满足插值条件（*）,基函数求法：,求,3,同理,设 由0(x0)=1，得,于是同理有,定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值多项式H3(x)存在且唯一。,三次Hermite插值多项式的余项,定理 设 f(x)在包含x0,x1的区间 a,b内存在四阶导数，则对任意xa,b，总存在一个(a,b)（依赖于x）使,证明:由插值条件知 R3(x0)=R3(x0)=0,R3(x1)=R3(x1)=0,构造辅助函数,利用 f(x)H3(x)=C(x)(x x0)2(x x1)2,取 x 异于 x0 和 x1,设,反复应用Rolle定理,得F(4)(t)至少有一个零点设为(a,b),显然,F(t)
3、有三个零点x0,x,x1,由Rolle定理知,F(t)至少有两个零点t0,t1满足x0t0t1x1,而x0和x1也是F(t)零点,故F(t)至少有四个相异零点.,例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)=P4(0)=0，P4(1)=P4(1)=1，P4(2)=1,先构造满足P2(0)=0，P2(1)=1，P2(2)=1的插值多项式P2(x)，易得 设 其中A，B为待定系数.利用两个导数条件确定系数A、B.,由解得A=1/4,B=-3/4故,第五节 分段低次多项式插值,从插值余项角度分析,为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单
4、地这样认为，原因有三个：,一.高次插值的龙格(Runge)现象,插值余项与节点的分布有关；余项公式成立的前提条件是 有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；随着节点个数的增加，可能会增大。,增加插值多项式的次数并不一定会有更好的插值结果，这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.,例：在5,5上考察 的 Ln(x)。取,n 越大，端点附近抖动越大，称为龙格（Runge）现象,n=2,n=5,n=10,分段插值的概念,所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划 并在每个 子区间上构造插值多项式，然
5、后把它们装配在一起，作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。,定义 设f(x)是定义在a,b上的函数，在节点 a=x0 x1x2xn-1xn=b,的函数值为 y0,y1,y2,yn-1,yn,若函数 满足条件(1)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是线性插值多项式;(2),i=0,1,2,n(3)在区间a,b上连续;则称 是f(x)在a,b上的分段线性插值函数。,1.问题的提法,二、分段线性插值,2.分段线性插值函数的表达式,由定义，在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式;,分段线性插值函数,分段线性插值曲线图：,注：由图象可知，在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论分段三次埃尔米特插值。,3.分段线性插值函数的余项,其中，,证明：,在每个小区间,在区间 上,由于,缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。,优点：计算简单；适用于光滑性要求不高的插值问题。,1.问题的提法,分段三次Hermite插值多项式存在唯一,三.分段三次Hermite插值,2.分段三次Hermite插值的表达式,当 xxi，xi+1时,两点Hermite插值,(i=0,1,2,n-1),定理：设 f(x)在a,b上具有四阶连续导数，S3(x)是其分段三次Hermite插值函数，则对任一给定的,有,
