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1、计算方法总复习,胡 敏合肥工业大学 计算机与信息学院,考试范围,课堂中重点讲述内容课堂例题作业习题,第0章 绪论,关于有效数字的位数问题,若近似值x 的误差限是某一数位的半个单位，该位到 x 的第一位非零数字共有n位，则,称x 有n 位有效数字,定义,证明：,有4 位有效数字，,精确到小数点后第 3 位。,类似题目：作业中习题一的一、二 题。,第1章 插值与拟合,拉格朗日插值N次拉格朗日插值多项式公式余项牛顿插值Hermit 插值二次曲线拟合,一、考核知识点 插值函数，插值多项式；拉格朗日插值多项式;插值基函数；牛顿插值多项式；差商表;分段线性插值、线性插值基函数(二)复习要求 1.了解插值函
2、数，插值节点等概念。2.熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3.掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4.掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。5.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，,一、n次拉格朗日插值,n,i,y,x,L,i,i,n,.,0,),(,=,=,求 n 次插值多项式 使得,已知:f(xi)=yi(i=0,1,n),k=0,1,n.,结论:,n次拉格朗日插值多项式,n次拉格朗日插值基函数,设节点,f(x)在 a,b 上具有 n+1阶导数，Ln(x)是其n次Lagrange插值多项式，则对,其中,Lagrang
3、e插值余项定理,解利用三点二次Lagrange插值.记则f(x)的二次Lagrange插值多项式为,插值法计算，并估计误差。,例1：已知,误差估计,差商的计算-差商表,二、牛顿插值多项式,例 已知x=0,2,3,5对应的函数值为y=1,3,2,5，作三次Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数值为6，作四次Newton插值多项式.,解 首先构造差商表 xi f(xi)一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2-1-2/3 5 5 3/2 5/6 3/10三次Newton插值多项式为,增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差
4、商 0 1 2 3 1 3 2-1-2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1-1/6-1/4-11/120四次Newton插值多项为,三、Hermit插值,已知：,构造一个次数3的多项式H3(x)，满足插值条件：,（*）,两点三次Hermit插值,已知：,构造一个次数3的多项式H3(x)，满足插值条件：,（*）,两点三次Hermit插值（续1）,直接设,待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数,使之满足,5,两点三次Hermit插值（续2）,其中,都是次数为3的多项式,则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）,基函数求
5、法：,求,3,同理,设 由0(x0)=1，得,于是同理有,四、拟合,(2),12,例题,例 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟合上述数据.,解方程组得所以二次拟合多项式为,解：设所求的二次拟合多项式为,则有如下方程组,第2章、数值积分与数值微分,一、等距节点求积公式,梯形公式,Simpson公式,四、代数精度的概念,定义2：若一个求积公式对f(x)=1,x,x2,x m均精确成立，而对f(x)=x m+1不精确成立,则称此求积公式具有m次代数精度.,验证:梯形公式 1次代数精度辛甫生公式 3 次代数精度,定理:求积公式至少有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。,换
6、言之，n+1个节点的插值型求积公式 至少具有 n 次代数精度,例 设有求积公式求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度解：（3个未知系数需三个方程）令求积公式分别对f(x)=1、x、x2精确成立。即 解之得A0=A2=1/3，A1=4/3，,二、复合求积法,复合梯形公式,复合Simpson公式,例：利用函数表分别利用复合梯形公式、复合Simpson公式计算积分 的近似值，,将区间 8等分，用复合梯形公式,得到,解：,将区间 4等分，用复合Simpson公式,得到,三、龙贝格算法,通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法，称之为Romberg算法。,4个积分值序列：,梯
7、形值序列,Simpson值序列,Romberg值序列,Cotes值序列,图,计算停止准则:同一行或同一列相邻两数之差的绝对值不超过预先给定的误差.,Romberg 算法：,例：用Romberg算法求解定积分：,误差限：1.0e-5,解：,（要求两分三次，保留5位有效数字）,解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：,四、数值微分,第3章、常微分方程的数值解法,欧拉法及改进欧拉法,一、欧拉公式,三 改进欧拉公式,例：用改进欧拉公式求解初值问题,要求取步长h=0.2，计算y(1.2)及y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位.解 设f(x,y)=-y-y2sinx,x0=1,y0=1
8、,xi=x0+ih=1+0.2i,改进欧拉公式为,于是有 由y0=1计算得,第4章、方程求根的迭代法,一、简单迭代法,收敛定理局部收敛定理,例设F(x)=x+c(x2-3)，应如何选取c才能使迭xk+1=F(xk)代具有局部收敛性？,解:方程x=F(x)的根为，函数F(x)在根附近具有连续一阶导数，又 F(x)=1+2cx,，解 得 解 得 从而要使迭代xk+1=F(xk)具有局部收敛性，则.,例 已知迭代公式 收敛于 证明该迭代公式平方收敛。证:迭代公式相应的迭代函数为,将 代入，,故迭代公式平方收敛。,二、牛顿迭代法,第5章、线性方程组的数值解法,直接求解：高斯消去法高斯列主元消去法矩阵的三角分解法：Doolittle 分解法 迭代法雅克比迭代法高斯-赛德尔迭代法SOR迭代法雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛性判断（1.充要条件求解矩阵特征值，2.严格占优）,例:用矩阵的直接三角分解法解方程组,或 用 Doolittle 分解法,Jacobi迭代矩阵的特征方程的推导,Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程的推导,
