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1、,第五章 平面问题的复变函数法,平面问题的复变函数法,第五章 平面问题的复变函数法,直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。,5-4 多连通域内应力与位移的单值条件,5-3 边界条件的复变函数表示,5-2 应力和位移的复变函数表示,5-1 应力函数的复变函数表示,5-6 含孔口的无限大板问题,5-5 无限大多连体的情形,平面问题的复变函数法,第五章 平面问题的复变函数法,5-1 应力函数的复变函数表示,在第二章中已经证明
2、，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数，它是位置坐标的重调和函数，即,平面问题的复变函数法,可以得到变换式,进而,平面问题的复变函数法,令,于是可将方程式,变换成为,由,平面问题的复变函数法,可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设f(z)为解析函数，可令,由,令,得,则,平面问题的复变函数法,再对z积分，得到,令,即,则,平面问题的复变函数法,注意上式左边的重调和函数是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：,令,即得有名的古萨公式,也可以写成,平面问题的复变函数法,于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数总可以用复变数z的两个
3、解析函(z)和(z)来表示，称为K-M 函数。而求解各个具体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。,平面问题的复变函数法,5-2 应力和位移的复变函数表示,根据应力分量和应力函数的关系,一 应力分量的复变函数表示,平面问题的复变函数法,可得到应力分量的复变函数表示,由,可得,而由,平面问题的复变函数法,可得,或,平面问题的复变函数法,只要已知(z)及(z)，就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出xy，由实部得出y-x。,和,就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把x、y、xy三者分开用(z)和(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起
4、来很不方便。,平面问题的复变函数法,二 位移分量的复变函数表示,假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程,可得,平面问题的复变函数法,由于,并注意到,同理,可得,平面问题的复变函数法,将上两式分别对x及y积分，得,其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式,平面问题的复变函数法,由于,平面问题的复变函数法,从而得到,于是得到刚体位移 f1(y)u0y，f2(x)v 0 x,故有,平面问题的复变函数法,若不计刚体位移，则有,由式,得到,平面问题的复变函数法,这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及(z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出u和v。,平面问题的复变函数法,将结果回代,并两
5、边除以 得,上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的E改换为，改换为。,5-3 边界条件的复变函数表示,为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即：,而,代入上式，即得：,平面问题的复变函数法,由图可见，,l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：,由此得：,平面问题的复变函数法,设A是边界上的固定点,B为任意一点，则从A到B边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得到：,将式,平面问题的复变函数法,代入，整理得：,把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可把应力函数A处的值设为零，于是对于边界上的有,或,
6、这就是应力边界条件。,平面问题的复变函数法,对于位移边界条件,将其代入下式,即得平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示,平面问题的复变函数法,5-4 多连通域内应力与位移的单值条件,应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得K-M函数完全确定；但对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值的条件。,设有多连通区域，有一内边界C，设在边界C上的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设,平面问题的复变函数法,D,C,这里zk为内部边界内的任意一点，f和f为单值的解析函数（全纯函数）
7、，而Ak，Bk为常数：,平面问题的复变函数法,前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当z绕周边一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2i,于是(z)和(z)的增量分别是2i Ak和2iBk,这时应力主矢量按照公式,左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：,平面问题的复变函数法,这时位移按照公式,也将得到增量，根据单值性这个增量应为零：,结合,可得到,平面问题的复变函数法,于是,当有m个内边界时，取,平面问题的复变函数法,5-5 无限大多连体的情形,当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。,以坐标原点为圆心，作充分大的
8、圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到,在sR之外的解析函数,平面问题的复变函数法,于是,可写为,其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向的面力之和。,平面问题的复变函数法,于是,由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中n2的系数应为零。,平面问题的复变函数法,同样从,中，由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，故有,其中略去了和应力无关的常数项。,平面问题的复变函数法,于是,其中与应力计算无关，可取为零，而,平面问题的复变函数法,这时,当z时，可得,同样当z时，由,可得,从中可求得相应的系数，并可以看到在无限远处，应力的分布是均匀的。,平面问题的复变函
9、数法,系数,则,平面问题的复变函数法,5-6 含孔口的无限大板问题,以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到,平面问题的复变函数法,平面问题的复变函数法,改写为,其中,平面问题的复变函数法,对于孔边上的点,平面问题的复变函数法,将上列各式代入,就得到极坐标下圆周边界上的级数形式的应力边界条件。,设周边上的外力为已知，并将其展开为傅氏级数,平面问题的复变函数法,比较两边eik和e-ik的系数，可得,平面问题的复变函数法,由无限远处的应力条件，可得,由位移的单值条件有,及,可求得,再由,平面问题的复变函数法,可求得,至此，全部系数均
10、已求出。,例 设孔周边为均匀压力p，无限远处的应力为零。,平面问题的复变函数法,则有,于是可求得,平面问题的复变函数法,最后得到,根据上述方法，圆孔口无限大板的一般问题都可以得到解决。,平面问题的复变函数法,平面问题的复变函数法,练习5.1 试考察下列复变函数所解决的问题,(1),(2),解:基本公式为,(1)将,分别代入(a)、(b)式,平面问题的复变函数法,得,联立求解以上两式,得,所给的函数可以解决矩形薄板在x方向受均布拉力q的问题.如图5.1(a)所示,(2)将,代入(a),(b)两式,得,x,y,q,q,图5.1(a),平面问题的复变函数法,联立求解以上两式,得,所给的函数可以解决矩
11、形薄板受纯剪切问题.如图5.1(b)示.,q,q,x,y,图5.1(b),练习5.2 如图所示.试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解.,其中I为梁截面的惯矩,M为作用的弯矩.,M,y,x,z,y,解:,基本公式为,平面问题的复变函数法,将,代入(1)、(2)式,由(1)式得,即,平面问题的复变函数法,或,由(2)式得,即,将(4)、(5)式联立求得,平面问题的复变函数法,验证边界条件(3),在侧面:,所以,由,得,平面问题的复变函数法,由,得,故,即(3)式恒成立.,由解答 所表示的是一个纯弯时,梁横截面上的应力状态.,平面问题的复变函数法,练习5.3 试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量的公式,解:因为在平面问题中,所以,又因为在平面问题中,有,平面问题的复变函数法,则,平面问题的复变函数法,因为,所以,练习5.4 试用公式,由 导出半平面体在边界上受集中力作用时的应力分量公式.,平面问题的复变函数法,r,y,r,o,P,解：由,得,因为,平面问题的复变函数法,而,所以,平面问题的复变函数法,即,由（1）、（2）、（3）式得,结 束,平面问题的复变函数法,
