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1、主讲教师:冉扬强,数学物理方法,课程七,第五章 残数及其应用第一节 残数第二节 利用残数计算实积分,主要内容(1)、残数的概念及残数定理(2)、求残数的方法(3)、利用残数定理求复变积分(4)、利用残数定理求某些实变积分,重点和难点 重点:残数定理及残数的求法；利用残数定理计算复变函数积分和实变函数积分 难点:残数的求法；残数定理计算实变积分的方法,第五章 残数及其应用第一节 残数 一、残数的定义及残数定理 1、定义 哥西定理告诉我们，如被积函数 在围线 c所围闭区域上解析，则积分，但如果 在该区域上有奇点 a(孤立奇点)，则 积分 一般说来不再为0.如：，这里 为函数 的一阶极点.设 a 为
2、 的孤立奇点，在以 a 为心，半径为R 的无心邻,域，即在 内把 展成罗朗级数：罗朗级数的 项的系数 就这样具有特别重要的地位，称它为 在 a 的残数,(或余数或留数)，记着 或 这样：2、残数(留数)定理 设 在围线 c 所包围的区域 D 上除点 外解析，并且在c上每点也解析，则 二、残数的求法 1、设 a 为 的 n 阶极点，则,2、当a为 的一阶极点，则 3、设,在点a 解析,且，而a为 的一阶0点(即)，则,例1.求 在 的残数 解：例2.计算解:，是 的,三阶极点,故例3.计算解:在单位圆周内,以z=0为孤立奇点.则:,三、无穷远点的残数 定义：设函数 在 点的某无心邻域 内解析，则
3、称 点为 的 孤立奇点.,定义：设 为 的一个孤立奇点，则称：为 在 点的残数，记为 是指沿c 的反方向（顺时针方向），这正 是 点的正方向.无穷远点的残数 等于 在 的罗朗展式中的 系数的反号。定理：如果 在闭平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)则在各点的残数的总和为0.,例.计算积分：解：求被积函数的奇点，令 或 得 当 时，解析，故无穷远处 也是其奇点，所以,第二节 利用残数计算实积分 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分 的积分区间 可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把 变成某个新的复数平面上的回路，这样就可 以应用留数定理了；或者 另外补
4、上一段曲线，使和合成回路 l,l 包围着,区域B，这样 一、计算(类型)被积函数是三角函数有理式.作变量代换：,例1、计算积分解：,的模为：在单位圆内，而单极点 的模为:在单位圆外。,二、计算 1、引理：设 沿圆弧(R充分 大，)上连续，且 在 上一致成立，则,特别地，当 则：2、(类型2)若(1)在实轴上没奇点;(2)在上半平面除有限个奇点外是解析的;(3)当 在实 轴上或上半平面 时：一致地，则：,例11设，计算解：在上半平面的奇点为：,3、(类型)计算 条件：(i).为偶函数，为奇函数(ii).,在实轴上没有奇点，在上 半平面除有限个奇点外是解析的。,(iii).当 在上半平面或实轴上 时，和 一致地，则 例13计算积分解：,
