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1、1,线 性 代 数 电子教案之十,2,第十讲 向量组的线性关系,主要内容,维向量、向量组的概念,线性组合与线性表示；,线性相关与线性无关；,向量组线性相关性的重要结论.,基本要求,理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系；,理解 维向量的概念，理解向量组的概念及向量 组与矩阵的对应；,3,理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系.知道两个向量组等价的概念；,理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系.,4,一、维向量,第一节 向量组及其线性组合,定义,个有次序
2、的数 所组成的数组称为 维向量，,这 个数称为该向量的 个分量，第 个数 称为第 个分量.,说明,向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.,个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向 量，也就是行矩阵和列矩阵.,规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算.,列向量常用小写黑体字母 表示，或用 希腊字母 表示.行向量则用列向量 的转置表示.,5,二、向量组,1.定义,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组.,6,三、向量组的线性组合,定义,给定向量组，对于任何一组实数，表达式,称为向
3、量组 的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.,说明,向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式.,线性组合的系数可以是任意实数.,7,四、线性表示的概念,定义,给定向量组 和向量，如果存在一组数，使得,即 是向量组 的线性组合，则称向量 能由向量组 线性表示.,8,五、线性表示与方程的联系,根据以上说明，线性表示与方程的联系为：,向量 能由向量组 线性表示,线性方程 有解.,9,六、线性表示的判定,定理1,向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩.,根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得,（上章定理5）,10,解,析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一个向量
4、组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的求法.由定义知，向量 能由向量组 线性表示,方程 有解，即 有解，,这表明 由向量组 线性表示的表示式与方程 的解是一一对应的.,例题讲解,11,记,可见,因此，向量 能由向量组 线性表示.,例题讲解,12,由上述行最简形，可得方程 的通解为,因而，所求的表示式为,例题讲解,13,一、线性相关与线性无关的概念,第二节 向量组的线性相关性,定义,给定向量组，如果存在不全为零的数，使,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关.,说明,说向量组 线性相关，通常是指 的情形，但上述定义也适用 的情形：,当 时，向量组只含一个向量.,向量组，当 时是线性相关的，当
5、 时是线性无关的.,14,二、线性相关与齐次方程组的联系,向量组 线性相关,齐次线性方程组,有非零解.,向量组 线性无关,齐次线性方程组,只有零解.,15,三、线性相关与线性无关的判定,16,证,析：此题是一个具体问题，根据定理4，需要计算 和.,由此可见,所以,线性相关；,线性无关.,例题讲解,17,例题讲解,注意：,可见,所以,向量组 线性相关；,向量组 线性无关.,18,例7 已知向量组 线性无关，试证向量组 线性无关.,证,析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无关的向量组 的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组 的线性相关性.,对于这一类未给出分量数值的向量组的线性相关性下面
6、给出三种方法，都具有一般意义.,因 组向量没有具体给出它们的分量，故不能具体计算出 组向量，也就无从通过初等行变换等方法求 组的秩，进而判定它是否线性相关.,例题讲解,19,证,设有 使,即,亦即,因 线性无关，故有,由于此方程组的系数行列式,例题讲解,20,故方程组只有零解，所以向量组 线性无关.,例题讲解,21,说明,证法是把证明向量组 线性无关转化为证明齐次 方程组 只有零解，这是讨论 向量组线性相关性时常用的“标准程序”.然后完全 用方程的语言证得结论.,22,四、向量组线性相关性的其它重要结论,向量组 线性相关的充要条件是存在某个向量，使 能由其余 个向量线性表示.,2.（定理5）,
7、（）若向量组 线性相关，则向量 组 也线性相关.,（）个 维向量组成的向量组，当 时一定线性相关.,（）设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的.,证明,证明,证明,23,说明,定理5（）表明，线性相关的向量组添加向量 后，仍然是线性相关的.特别地，含有零向量的 向量组线性相关.反之，线性无关的向量组减少 向量后，仍然是线性无关的.,结论1表明线性相关的向量组中的向量不是“独 立”的.,相应地，向量组 线性无关的充要条件是 中任意一个向量均不能由其余向量线性表示.,这形象地表明，线性无关的向量组中的向量“谁也表示不了谁”.,定理5（）表明，向量个
8、数超过向量维数向量 组线性相关.特别地，在平面中找不到三个线性 无关的向量，在 维超平面中找不到 个线性 无关的向量.,24,例题讲解,证,（1）因为 线性无关，则 线性无关，,又 线性相关，,因此 能由 线性表示.,（2）用反证法,假设 能由 线性表示，即,存在，使,又由（1）知存在，使,从而有,这与 线性无关矛盾.,思考题,25,（2）方法二,线性相关,线性无关,而,从而有,由此可知，方程组 无解，,即 不能由 线性表示.,26,矩阵的初等行变换对矩阵的行量组和列向量组 的作用：,设矩阵 经初等行变换变成,矩阵 与 的行向量组等价，即它们能相互线 性表示，所以齐次方程 与 同解，这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础.,矩阵 与 的列向量组有相同的线性关系，这 是用初等行变换求向量组的最大无关组，并将 其余向量用最大无关组线性表示的理论基础.,五、小结,27,向量组 与向量组 有相同的线性关系是指,与 一一对应；,的任一部分组,具有某种线性关系，对应的 的部分组 也有相同的线性关系.,28,作业：,P118 6.（2）10.（2）11,
