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1、第四章 概率和概率分布,一、概率与频率,必然现象：在一定条件下一定发生的现象。必然事件：必然现象的结果。不可能事件：在一定条件必然不会发生的事情。例：（1）在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度，必然会沸腾。（2）投出去的标枪必然会落到地面上。,随机事件,随机现象：在一定条件下可能发生或可能不发生的现象称为随机现象。随机试验：任何一个试验,满足：（1）可在相同条件下重复进行；（2）每次试验得到多个结果；（3）每次试验前不能肯定这次试验将得到什么结果。例：投掷硬币观察哪一面向上，要求某学生投篮并了解其投篮技术，均为做了一次试验。掷硬币投篮均为随机试验。,随机事件：随机试验的结果称称为随机事件。一
2、般以大写英文字母A、B、C等表示。例：（1）投篮：投中、投不中是两个随机事件。（2）掷骰子：1点，2点，6点，点数 大于3，点数为奇数，等等均为随机事件。,随机事件的概率,频率：随机事件A在n次重复实验中发生了m次则比值m/n称为随机事件A的频率。记作：W(A)=m/n。含义：反映随机事件发生的频繁程度。频率的稳定性：随着试验次数的增加，随机事件的频率逐渐稳定在某一个常数附近，这一特性称为频率的稳定性。,例：数学家贝努里关于抛硬币的实验。,概率：随机事件A的频率W(A)随着试验次数的变化而变化，当n充分大时，频率W(A)越来越接近于一个常数p则这个常数p成为随机事件A的概率，记作p(A)即 随
3、机事件A的概率的取值范围（0,1）,概率与频率的区别和联系,（1）概率准确地反映随机现象的内在规律，往往是未知的；频率是通过随机现象反映其内在规律，试验后，便是己知的。（2）概率是事件发生的可能性大小的量度，不随试验次数的变化而变化，只要条件不变，每次试验中某事件发生的概率都是一样的；而频率随试验次数的变化而变化，具有随机性。（3）随着试验次数的增大，频率呈现出稳定的趋势，围绕着概率波动，并随试验次数的无限增大，频率以概率为极限，所以，当试验次数n很大时，人们往往用频率 去近似代替概率P。,小概率事件原则,小概率事件：概率必须很小，那么，究竟要小到什么程度？在体育统计中一般认为在0.05以下为
4、小。小概率事件原则：小概率事件在一次试验中是不会发生的。一次试验：若多次试验，尽管是小概率事件，也很可能发生。原则：这是个原则，不是定理，有人为规定的含义，存在犯错误的风险，但是犯错误的概率又是小概率。所以人们共同遵循。,二、正态分布,正态分布：靠近均数分布的频数最多，离开均数越远，分布的数据越少，左右两侧基本对称，这种中间多、两侧逐渐减少的基本对称的分布，称为正态分布。正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。,身高的分布,正态分布的概率密度函数,如果随机变量X的概率密度函数 则称X服从正态分布,记作XN(,2)，其中，为分布的均数，为
5、分布的标准差。,(-X+),正态分布图示,x,0,.1,.2,.3,.4,f(x),正态曲线：是一条中央高，两侧逐渐下降、低平，两端无限延伸，与横轴相靠而不相交，左右完全对称的钟形曲线，称为正态曲线。正态分布是对称分布，但是对称分布不一定是正态分布。,正态分布曲线的性质,（1）曲线在X轴上方，X轴是他的一条水渐近线。（2）它的图像是由两个参数决定的：均数决定他的位置，即在图像在x=处对称，并且在该处取到最大值。标准差决定他的形状，标准差越小，图像越瘦高；标准差越大，图像越扁平。（3）曲线与X轴之间的面积等于1。,方差相等、均数不等的正态分布图示,均数相等、方差不等的正态分布图示,1,（1）y2
6、y1的含义。表示x2处数据分布的密集程度大于x1处。由于均数的含义可知均数是一组数据中分布最密集的位置，所以在均数处取到最大值。,（2）阴影部分面积的含义？表示落入x1与x2之间的数据占总体的百分比。,（3）为什么标准差越小，图像越瘦高？（定性分析）因为标准差越小，说明数据分布的密集程度就越大，那么落入x1和x2之间的数据就增加，那么阴影部分的面积就增加，而区间长度不变，所以图像只能向高处发展。,标准正态分布,标准正态分布是均数为0，标准差为1的正态分布。记为N(0,1)。标准正态分布是一条曲线。概率密度函数：,(-u+),正态分布转换为标准正态分布,若 XN(,2)，作变换：则u服从标准正态
7、分布。u称为标准化公式（把一般的正态分布转化成标准正态分布）。,或,标准正态分布的重要性,一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表。,标准正态分布表（p287、288）,u 0.00-0.02-0.04-0.06-0.08-3.00.00130.00130.00120.00110.0010-2.50.00620.00590.00550.00520.0049-2.00.02280.02170.02070.01970.0188-1.90.02870.02740.026
8、20.02500.0239-1.60.05480.05260.05050.04850.0465-1.00.15870.15390.14920.14460.1401-0.50.30850.30150.29460.28770.2810 00.50000.49200.48400.47610.4681,0,u,例：P(u-1.96)=0.0250P(u-1.64)=0.0505,例1、求p(u0.96)。,查表：p(u0.96)=0.8315,（1）已知u值，求u落在某个区间的概率值。,例2、求p(u0.96)。,查表：,p(u0.96)=1-p(u0.96)=1-0.8315=0.1685,例3、已
9、知a=0.14、b=1.52，求p(0.14u1.52)。,查表：,p(0.14u1.52)=p(u1.52)-p(u0.14)=0.9357-0.5557=0.38,（2）已知u落在某个区间的概率p0，求u。,例4：p(ux)=0.8315，求x。,查表：,已知：p(u0.96)=0.8315所以：x=0.96,例5：p(ux)=0.7141，求x。,查表可知：,P(u0.56)=0.7123,即p1=0.7123时,x1=0.56P(u0.57)=0.7157,即p2=0.7157时,x2=0.57,插值公式：,把 p1=0.7123时,x1=0.56 p2=0.7157时,x2=0.57
10、 带入得：,（3）已知x值,求x落在某个区间的概率.,例6：已知xN(10,9)，求p(x13)。,解：先标准化,查表得,（4）已知x落在某个区间的概率p0,求x.,例7：已知XN（10，4），P（Xx)=0.8,求x。,10,x,解：先查表得 P(u0.84)=0.79950.8,由标准化公式可知：,u=0.84,所以：,总结关于查表的四种情况,（1）已知u值，求u落在某个区间的概率值。,（2）已知u落在某个区间的概率p0，求u。,（3）已知x值，求x落在某个区间的概率值。,（4）已知x落在某个区间的概率p0，求x。,正态曲线下的常用面积,-1.96,+1.96,2.5%,2.5%,95%,
11、正态曲线下的常用面积,正态曲线下的常用面积,-2.58,+2.58,0.5%,0.5%,99%,正态分布的应用,（1）利用正态分布估计实际情况 例9：某大型网球中心，每天接待的人数x服从正态分布，其均数=800 人，标准差=150 人，试求：每天接待人数在 6501000人之间的概率。,解：,先标准化：,查表：,（2）确定参考值范围,例9、现有10000名成年男子，假定身高服从正态分布，其均数=175厘米，标准差=15 厘米。估计这些人中，以均数为中心，概率为75%的身高区间是多少？,x,标准化公式：,解：,查表得：P(u-1.15)=0.1251,所以：u1=-1.15,（3）用正态分布比较不同运动项目成绩的优劣,例10：某人推铅球的成绩为15.9米，另一人的400米跑成绩为55秒，这两个人谁的运动成绩好些？,本章重点内容,概率与频率的概念，以及它们之间的关系；小概率事件原则；正态分布曲线的性质；正态分布标准化公式；标准正态分布表；正态分布的两个应用。,0,x,y,
