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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,高等数学A,6.1.1 点集与多元函数的概念6.1.2 二元函数的极限及连续性,6.1 多元函数微分的基本概念,第6章 多元函数微分学,6.1 多元函数微分的基本概念,6.1.1 一般概念,预备知识,邻域 区域 聚点,n 维空间,多元函数概念,引例,二元函数的定义,习例1-4,二元函数的几何意义,习例5-7,多元函数的定义,6.1.2 二元函数极限及连续性,多元函数极限,二元函数的极限定义例8,二元函数极限的计算习例9-12,确定极限不存在的方法,例13-16,累次极限例17-19,多元函数的极限,多元函数连续性,连续性定义,闭区域上连续函数的性质例2
2、0-21,小结,多元函数微分学的基本概念,一、预备知识,6.1多元函数微分的基本概念,1.邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,(球邻域),在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2.区域,(1)内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P:,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点;,则称 P 为 E
3、的边界点.,的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的,边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,(2)聚点,若对任意给定的,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E,也可以不属于 E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为 E 的导集.,E 的边界点),(1)内点一定是聚点；,注意:,(2)边界点可能是聚点；,(0,0)既是边界点也是聚点.,(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,(0,0)是聚点但不属于集合.,边界上的点都是聚点也都属于集合,(3)开区域及闭区域,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,若点集
4、E E,则称 E 为闭集；,若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的;,连通的开集称为开区域,简称区域;,。,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.,否则称为无,3.n 维空间,n 元有序数组,的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标.,记作,即,一个点,当所有坐标,称该
5、元素为,中的零元,记作 O.,的距离记作,中点 a 的 邻域为,规定为,与零元 O 的距离为,二.多元函数的概念,1.引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,2.二元函数的定义,3.二元函数的定义域,(1)使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集.,(2)使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集.,(3)二元函数的定义域一般来说是平面上的区域.,(4)二元函数的两要素是定义域和对应法则.,例1,例2,例3,例4,解,所求定义域为,注意:平面区域通常用字母D表示.,例1,解,故所求定义域为,例2,解,例3,解,例4,4.二元函数的几何意义,一般曲面,如图所示,
6、例 5 作二元函数 的图形,例 6 作二元函数 的图形,例 7 作二元函数 的图形,解 二元函数 的图形是空间一平面，其图形如下图所示,例 5 作二元函数 的图形,解 此函数的定义域为 面上任意点且，即曲面上的点都在面 上方其图形为旋转抛物面，如下图所示,例 6 作二元函数 的图形,例 7 作二元函数 的图形,解 此二元函数的定义域为，即 坐标面 上的以 为圆心，为半径的圆，且 其图形为上半圆周，如下图所示,5.多元函数的定义,一个自变量.,两个自变量.,三个自变量.,n个自变量.,n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.,注意.,(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如,在讨论过程中通
7、常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论.,(2)多元函数也有分段函数，如,(3)点函数u=f(P)能表示所有的函数.,6.多元函数有加减乘除数乘及复合运算(略),三.多元函数的极限,1.二元函数的极限定义,描述性定义,精确定义,利用点函数给出的定义,例8 依定义验证,证 因为,不妨先限制在点(2,1)的方邻域,内来讨论,于是有,当,时,就有,所以,这就证得,2.二元函数极限的计算习例,计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法.对于未定型，不再有LHospital法则，须化成确定型.,解,原结论成立,解,解,由夹逼准则得，,证(证法一),可知,故,注意 不要把上面的估计式错写成：
8、,而并不要求,都有,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结原则(而且证明方法也相类似).,定理1,的充要条件是：对于 D 的,3.确定极限不存在的方法,在(0,0)处时,一般选择下列极限方式：,由上述结论可得确定极限不存在的方法如下：,例15,解,其值随着k的不同而改变.,故所求极限不存在.,解 如上图所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,时的极限为 0.因为当(x,y)沿抛物线,解 利用定理1 的推论 2,需要找出两条路径,沿,的极限,例15,分母化为同阶的无穷小,导致极限不为 0.按此思路,这就达到了预期的目的,解:因,而,此函数定义域不包括 x,y 轴,则,故,4.累次极限,极
9、限.下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序,相继趋,定义,它一般与 y 有关,记作,如果进一步还存在极限,累次极限,记作,类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:,注 累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间,没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.,从而又有,同理可得,这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.,累次极限分别为,个累次极限都不存在.这是因为对任何,时,f 的第二项不存在极限.同理,f 的第一,项当 时也不存在极限.但是由于,故按例11知道 时 f 的重极限存在,且,下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件,下也是有联系的.,定理2 若 f(x,y)的重极限 与,
10、证 设,则,使得当,时,有,的 x,存在极限,另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,都存在,则三者必定相等.,推论2 若累次极限,不存在.,请注意:(i)定理 6.1.2 保证了在重极限与一个累次,极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的,存在性却得不出什么结论.,(ii)推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分条件.,(iii)推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例17).,5.多元函数的极限,利用点函数的形式有n元函数的极限,1.连续性定义,四.多元函数的连续性,2.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上
11、至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,(1)最大值和最小值定理,(2)介值定理,(3)多元连续函数的和、差、积、商、复合 函数仍为连续函数.,(4)多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.,(5)一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.,(6),解,解,例20 求,例21,小结：,1.二元函数的所有学习上的知识都可以从一元函数推广而来。我们今天就可以用这个思想来求解二元函数的值、定义域、极限和判定连续。,2.二元函数作为一个新的概念，和以前的一元函数还是有区别的，比如定义域画成图形是一个平面图形，而一元函数图形的定义域往往是x轴上的区域。,
