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1、学案4 直线与圆、圆与圆 的 位置关系,考点一,考点二,考点三,考点四,返回目录,1.直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系可分为三种：、.（2）判定直线与圆的位置关系主要有两种方法：方法一是把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置.,相交,相离,相切,0 直线和圆.=0 直线和圆.0 直线和圆.,关系：,相交,相切,相离,方法二是把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR直线和圆.,相交,相切,相离,返回目录,2.圆的切线问题(1)圆x2+y2=r2的斜率为k的切线方程是.(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为.(3)若点P(x0
2、,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上，则过点P的切线方程为.,返回目录,3.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种:、.(2)判断圆与圆的位置关系常用几何法:设O1的半径为r1,O2的半径为r2，两圆的圆心距为d,当|r1-r2|dr1+r2时，两圆;当r1+r2=d时，两圆;当|r1-r2|=d时，两圆;当r1+r2d时，两圆;当|r1-r2|d时，两圆.,内含,外离 相交 外切 内切 内含,相交,外切,内切,外离,返回目录,已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR）.(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直
3、线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等.,考点一 直线与圆的位置关系,返回目录,【分析】用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的 关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长.,【解析】（1）证明：配方得（x-3m）2+y-(m-1)2=25,x=3m y=m-1，l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.,消去m得,设圆心为（x，y），则,返回目录,（2）设与l平行的直线是l1：x-3y
4、+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=圆的半径为r=5，当dr,即-5-3b5-3时，直线与圆相交；当d=r，即b=5-3时，直线与圆相切；当dr,即b-5-3或b5-3时，直线与圆相离.,（3）证明：对于任一条平行于l且与圆相交的直线 l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2 且r和d均为常量.任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.,返回目录,返回目录,判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断.求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐
5、标，利用一元二次方程根与系数的 关 系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d=|x1-x2|；三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.,对应演练,已知圆 x2+y2=8，定点P（4，0），问 过P点直线的斜 率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆（1）相切，（2）相交，（3）相离？并写出过P点的切线方程.,解法一:设过P点的直线的斜率为k（由题意知k存在），则其方程为y=k(x-4).y=k(x-4)x2+y2=8 即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0,
6、=(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2).,返回目录,消去y，得,x2+k2(x-4)2=8,由,(1)令=0，即32(1-k2)=0,当k=1时，直线与圆相切，切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.(2)令0，即32(1-k2)0,解得-1k1，当-1k1时，直线与圆相交.(3)令0，即32(1-k2)0,解得k1或k-1,当k-1或k1时，直线与圆相离.,返回目录,返回目录,解法二:设圆心到直线的距离为d，则(1)d=r，即=,k2=1,k=1时直线与圆相切，其切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.(2)dr,即,k21，即-1k1时直线与圆相交.(3)d
7、r，即,k21,即k-1或k1时直线与圆相离.,已知圆O:(x-1)2+(y-2)2=4，求过点P(-1,5)的圆的切线方程.,【分析】用待定系数法，设切线方程为y-5=k(x+1)，则圆心到直线的距离等于圆半径，解之即可.,考点二 直线与圆相切问题,返回目录,【解析】设切线方程为y-5=k(x+1)（当斜率存在时），即kx-y+k+5=0.由圆心到切线的距离等于半径，得,解得k=-.切线方程为5x+12y-55=0.又点P在圆O外，过圆外一点可作圆的两条切线,还有一条切线为x=-1.,返回目录,返回目录,求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上，则该点为切点；若在圆外，
8、切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线.,返回目录,对应演练,已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2,P点为(2,-1)，过点P作圆C的切线，切点为A,B.（1）求直线PA,PB的方程；（2）求切线PA的长；（3）求过两点A,B的直线方程；（4）求弦长|AB|.,返回目录,（1）由题意可设圆的切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0，由圆心C(1,2)到切线的距离为半径2,即 k2-6k+7=0,解之得k=7或k=-1.因而所求切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0.,（2）在RtPCA
9、中，|PA|2=|PC|2-|AC|2=8，|PA|=2.（3）以P为圆心，|PA|长为半径的圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=8，则线段AB为两圆的公共弦，由圆系知，公共弦所在直线AB的方程为x-3y+3=0.（4）圆心(1,2)到弦AB的距离d=,圆半径的平方r2=2,由平面几何知识得|AB|=,返回目录,返回目录,a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,(1)相切;(2)相交;(3)相离.,考点三 圆与圆的位置关系,【分析】用两圆的圆心距d和两圆半径的和及差的绝对值比较大小.,【解析】将两圆方程化为标准方程：(x-a)2+(y+
10、2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4.设两圆圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时两圆外切,此时a=-5或a=2;当d=1,即2a2+6a+5=1时,两圆内切,此时a=-1或a=-2.,返回目录,返回目录,(2)当15,即2a2+6a+525时,两圆相离,此时a2或a-5.,圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论.比如两圆只有一个交点时,固然相切.但是内切还是外切呢?就不清了,所以判断两圆的位置关系,通常还是从圆心距d与两圆半径R,r的关系下手.,返回目录,返回目录,对应演练,已
11、知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？,对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：（x-m）2+（y+2）2=9；C2：（x+1）2+（y-m）2=4.（1）如果C1与C2外切，则有即（m+1）2+（m+2）2=25.m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2.,（2）如果C1与C2内含，则有(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得-2m-1,当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；当-2m-1时，圆C1与圆C2内含.,返回目录,返回目录,考点四 直线与圆相交
12、的有关问题,已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.,【分析】（1）根据弦长求法，求直线方程中的参数.（2）由垂直关系找等量关系.,返回目录,【解析】（1）解法一：如图所示，AB=4，D是AB的中点，CDAB，AD=2，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，在RtACD中，可得CD=2.,设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx，即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：,，得k=
13、.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.则y2-12y+24=0，y1=6+2，y2=6-2，y2-y1=4，故x=0满足题意.所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.,返回目录,解法二：设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y-5=kx，即y=kx+5.y=kx+5 x2+y2+4x-12y+24=0，消去y得（1+k2）x2+（4-2k）x-11=0.设方程的两根为x1，x2，x1+x2=x1x2=.,返回目录,联立直线与圆的方程,由根与系数的关系得,由弦长公式得|x1-x2|=,将式代入，解得k=,此时直线的方程为3x-4y+20=0.又
14、k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），则CDPD，即CDPD=0，（x+2，y-6）（x，y-5）=0，化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.,返回目录,在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A（x1，y1）,B（x2，y2）.（1）若OAOB（O为原点），则可转化为x1x2+y1y2=0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；（2）若弦AB的中点为（x0,y0），圆的方程为x2+y2=r2，则 该法叫平方差法，常用来解决与弦
15、的中点、直线的斜率有关的问题.,返回目录,对应演练,设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程.,设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.设所求圆的圆心为（a，b），半径为r.点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A仍在这个圆上，圆心（a，b）在直线x+2y=0上，a+2b=0，(2-a)2+(3-b)2=r2.,返回目录,又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2，r2-解由方程组成的方程组得 b=-3 b=-7,a=6 a=14,r2=52 r2=244.所求圆的方程为（x-6）2+（y+3）2=52或（x-14）2+
16、（y+7）2=244.,返回目录,或,返回目录,1.过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：（1）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程.（2）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式,求出切线的斜率，进而求得直线方程.2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.,3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.4.求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|-r，最大值为|PO|+r（其中r为圆O的半径）.5.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.6.注意利用圆的性质解题，可以简化计算.例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离利用两点的距离减去或加上圆半径就很简便.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
