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1、1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢 5 局便算赢家,若在一赌徒胜 4 局,另一赌徒胜3局时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,概率论的诞生及应用,1.概率论(Probability:The Science of Uncertainty)的诞生,概率统计理论与方法的应用几乎遍及所科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中，是从事经济管理工作的必不可少的工具。,2.概率论的应用,“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”法国数学家拉普拉斯,在一定条件下必然发生
2、的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,一、随机事件,3.1.2 事件的概率,这类现象在一定条件下具有多种可能的结果，但是事先无法确定哪种结果。,实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,2.随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,1,2,3,4,5 或 6.,实例 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品、次品.,实例 出生的婴儿可能是男,也可能是女.,实例 明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.,随机现象在一
3、次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,二、随机试验,1.(可重复性)可以在相同的条件下重复地进行;,2.(可观察性)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3.(不确定性)试验之前不能确定哪一个结果会出现.,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验，常用字母E表示。,定义,2.抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,3.从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,判断下列试验
4、是否为随机试验.,4.从一大批灯泡中任取一只,测试其寿命.,1.掷一枚硬币，观察正反面出现的情况.,三、样本空间 样本点,样本空间 随机试验 E 的所有可能结果,样本点 试验E 的每一个结果,实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.,实例 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.,实例 记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.,答案,写出下列随机试验的样本空间.,1.同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.,2.生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数.,练,随机事件 样本点自身或若干个样本点组成的集合简称事件.通常用字
5、母A,B,C 等表示。,四、随机事件的概念,试验中,骰子出现1点,出现6点,点数不大于6,点数为偶数等都是随机事件.,实例 出现1点,出现6点都是基本事件。,基本事件 仅含有一个样本点的事件。,实例 上述试验中 点数不大于6就是必然事件.,必然事件 在一定条件下，必然发生的事件。,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,实例 上述试验中 点数大于6 就是不可能事件.,样本空间，样本点与随机事件的关系,样本点,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,1.包含关系,若事件 A 发生,必然导致 B 发生,则称事件 B 包含事件 A,记作,B 包含 A.,B,五、随机事件间的关
6、系及运算,事件,事件之间的关系与事件的运算,集合,集合之间的关系与集合的运算,2.A等于B 若事件A 包含事件B，而且事件B 包含事件A，则称事件A 与事件B 相等，记作 A=B.,3.事件 的和（并）,例 掷一颗骰子,A=点数小于3和B=点数为1或2,两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”，称为A与B的和。记作A B.,例,产品不合格,与长度不合格的关系.,S,A,例 A=出现偶数点和B=点数2,4.事件的积(交),事件A和B同时发生，称为事件A和事件B之积(交).,记作:AB或.,S,A,B,AB,例 A=出现偶数点和B=点数2,5.事件 A 与 B 互不相容(互斥),若事件A和事件
7、B不能同时发生，则称事件 A与B互不相容,即,图示 A 与 B 互斥.,S,“出现1点”“出现2点”,实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例 抛掷一枚硬币,“正面向上”与“反面向上”是互不相容的两个事件.,B,6.对立事件,例 A=“出现偶数点”和B=“出现奇数点”,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,7.事件 A 与 B 的差,由“事件 A 发生而B 不发生”所组成的事件称为事件 A 与 B 的差.记作 A-B.,图示 A 与 B 的差.,S,A,B,例 A=“出现偶数点”和B=“出现点数2”,解,三、随机事件间的运算规律,P114 例5 求证,P1
8、14 例6 设A,B,C是三个随机事件，求证,设事件A=甲种产品畅销,乙种产品滞销,则A,的对立事件为().,(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;,(B)甲、乙种产品均滞销;,(C)甲、乙两种产品均畅销;,(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.,课堂练习,一、概率的统计定义,三、概率的公理化定义,3.1.2 事件的概率,二、概率的古典定义,通常，我们认为概率是事件出现的可能性大小。,如果事件一定出现，则它的概率为1；,如果事件肯定不出现，则它的概率为0。,一次投掷硬币掷出正面的可能性大小是？,方法一：根据对称性。,方法二：反复做试验，统计频率。,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,
9、各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率 f 呈现出稳定性,一、概率的统计定义,从上述数据可得,抛硬币次数 n 较小时,频率的随机波动幅度较大,但随着n 的增大,频率呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率总是在 0.5 附近摆动,且逐渐稳定于 0.5.,概率的统计定义,当试验次数 n 较小时频率波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时，频率趋于稳定值p，则称p为事件A发生的概率记作P(A)，即 P(A)=p.,注 概率完全由事件本身决定，是客观存在的。在许多实际问题中，往往采用在大量重复试验中事件发生的频率作为概率近似值。,若随机试验满足下面两个条件，称为古典概型的随机现
10、象。,二、概率古典定义,（等概性）每个基本事件发生的可能性相同;,（有限性）所有可能的试验结果（基本事件）只有有限个;,1.古典概型定义,2、概率的古典定义,在古典概型中,如果某个事件A包含n个样本点中的m个，则称m/n为事件A的概率，记为,3.古典概率的计算,例1 摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2）取后放回，求第5次取到1号球的概率。,古典概型之一：摸球模型,基本事件总数,例1 摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球
11、的概率；（2）取后放回，求第5次取到1号球的概率。,所求事件中包含的基本事件总数,例1 摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2）取后放回，求第5次取到1号球的概率。,基本事件总数,所求事件中包含的基本事件总数,古典概型之二：取次品模型,有10件产品，其中3件次品，无放回地取出3件，求：（1）这三件产品全是正品的概率；（2）这三件产品恰有2件次品的概率；（3）这三件产品至少有一件次品的概率。,(1)基本事件总数,所求事件中包含的基本事件总数,(2)基本事件总数,所求事件中包含的基本事件总数,“至少”一类的
12、问题都可以转化为先求对立事件。,小贴士,(3),所求事件与(1)中事件互为对立事件,古典概型之三：生日问题模型,某班有n个学生，设一年365天,则至少有两人生日相同的概率是多少?,至少有两人生日相同的概率为,每个人生日都不相同的概率为,古典概率模型之四：抽签问题（抽签的公平性）,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A=第五个抽签的学生抽到入场券的概率。,基本事件总数,A事件中包含的基本事件总数,第五个学生抽到入场券,另外9个学生抽取剩下9张,思考：鞋子配对问题模型,从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率
13、。,三、概率的公理化定义及其基本性质,定义,设E是随机试验,其样本空间为,对于E的每一,若满足下列三个条件:,1.对每一个事件A,有,3.若,是两两互不相容的事件，,个事件A赋予一个实数,记为P(A),则称,为事件A的概率.,则有,概率的性质,解,3.1.3 条件概率与事件的独立性,一、条件概率,二、全概公式,三、事件的独立性,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.,A=第1个抽签的学生抽到入场券B=第2个抽签的学生抽到入场券,若A已发生,则B发生的概率为:,若A不发生,则B发生的概率为:,以上事件B发生的概率有什么不同的意义?,条件概率,
14、一、条件概率,在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加条件下求事件的概率.,如在事件A发生的条件下,求事件B发生的概率，由于增加了新的条件：“事件A已发生”，所以称之为条件概率，记作,抛掷一枚硬币两次，观察正反面出现情况，此随机试验的样本空间为：,正正，正反，反正，反反,B=正正，正反，反正,A=正正，反反,引例：抛掷一枚硬币两次，观察正反面出现情况。设事件B为“至少有一次为正面”，事件A为“两次抛出为同一面”。求,故,事件B发生后，样本空间变为,正正，正反，反正,压缩样本法,条件概率定义（条件概率和原概率的关系）,计算条件概率的方法,a)在缩减的样本空间B中求事件A的概率,b)在总的样本空
15、间中,先求事件 P(A)和P(AB),再按定义计算,例如:在抛掷骰子的试验中,记事件A=2点,B=偶数点,在宿减的样本空间中A所含的样本点数,B发生后的缩减样本空间所含样本点数,袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球 现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？,解 列表,设 A为任取一球，取得木球，B为取得白球.,解,1、压缩样本空间法,原样本空间的样本点总数10，B发生后，样本空间压缩后，样本点总数7，A事件所含样本点数4,设 A 表示任取一球，取得木球；B 表示任取一球，取得白球.,P(A)=
16、,P(B)=,P(AB)=,例：一箱产品有100件，次品率0.1，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验2件，若2件产品都合格，则准予该箱产品出厂，求一箱产品准予出厂的概率。,解：,A=第一次抽到正品 B=第二次抽到正品,则准予出厂可表示为AB,这个公式的本质是乘法原理，积事件可以看做拆成两个步骤，其中一个发生，另一个在前一个发生的基础上再发生。,例：一箱产品有100件，次品率0.1，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件，若3件产品都合格，则准予该箱产品出厂，求一箱产品准予出厂的概率。,解：,A=第一次抽到正品 B=第二次抽到正品,C=第二次抽到正品,则准予出厂可表示为ABC,例 已知甲袋里装有
17、3个白球与2个红球，乙袋里装有2个白球3个红球，先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取1个球放入甲袋，求（1）甲袋里红球数增加的概率；（2）甲袋里红球数不变的概率。,解 设事件A表示从甲袋中取出红球放入乙袋，事件B表示从乙袋中取出红球放入甲袋。（1）甲袋里红球数增加，意味着从甲袋里取出白球放入乙袋且从乙袋中取出红球放入甲袋,（2）甲袋里红球数不变，意味着从甲袋里取出红球放入乙袋且从乙袋中取出红球放入甲袋，或者意味着从甲袋里取出白球放入乙袋且从乙袋中取出白球放入甲袋，可用和事件 表示,二、全概公式,例：皇上给囚犯出了个难题：给他两个碗，一个碗里装50个小黑球，另一个装50个小白球。规则是把
18、他的眼睛蒙住，让他选一个碗，并从碗里拿出一个球。如果是黑色的，就要继续关监狱，如果是白色的，就重获自由。但是蒙住眼睛之前，允许用任何方式把球进行混合。如果你是囚犯，怎么混合？,解：,如果不混合，则挑一个碗拿出一个白球的几率是1/2.,如果把所有的球混合在一个碗里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，则重获自由的几率是？,A=取出的是白球 Bi=从第i个碗中取球,因为取出的是白球，它可能是第一个碗中取出的，也可能是第二个碗中取出的，故A=AB1AB2,利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.,10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张
19、外观相同的纸签，其中3张代表入场券.,A=第1个人抽到入场券 B=第2个人抽到入场券,例 一道考题同时列出了4个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来。若考生知道正确答案的概率是2/3，乱猜概率1/3，若乱猜猜对的概率是1/4。（1）问他答对的概率是多少？（2）若已知答对了，问他确实知道哪个是考题正确答案的概率是多少？,解：设B=该学生答对考题A=该学生知道正确答案,贝叶斯公式考虑的是一事件已经发生,考察该事件发生的各种情况或途径的可能性.,例 有一高龄孕妇担心胎儿的健康做了唐氏筛查，按照其年龄段她患此病的概率为0.13%，若胎儿确实患有此病，则唐诗筛查有80%的可能性会查出来。若胎儿未患
20、此病则不会查出异常。经过检查，结果没有问题，但她反而更担心了，因为还有20%的可能性患病，请问她的担心有道理吗？,解：设A=胎儿患唐氏综合症 B=检查正常,思考题,A，B，C三人对决，每人两枪，A的技术较差，命中率0.3，A先选择，B的命中率0.8，第二位选择，C是神枪手，命中率1，最后选择。每次轮到某位选择时，他可以选择向两个对手之一开枪，或者对空开枪，请问A的最优策略是什么？请用概率说明。,三、事件的独立性,则有,引例,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A表示“抽到K”,B表示“抽到的牌是黑色的”,求,A的发生并不影响B发生的可能性的大小,B的发生并不影响A发生的可能性的大小,如果两个
21、事件A和B，其中任何一个是否发生，都不影响另一个发生的概率，则称A，B相互独立。,从直观上讲，,说明：,在实际中，两个事件是否独立，是根据实际意义来判断的。如,甲乙两人同时向一目标射击，彼此互不影响，（1）“甲击中”与“乙击中”，（2）“甲击不中”与“乙击中”，（3）“甲击中”与“乙击不中”（4）“甲击不中”与“乙击不中”,这四组事件都是相互独立的。,定义：,若两事件A，B满足,则称A，B独立，或称A，B相互独立.,1、设P(AB)=0,则()A、A和B独立 B、A和B不相容 C、P(A)=0或P(B)=0 D、P(A-B)=P(A)-P(B),课堂练习：,A、B相互独立,A、B互斥,两事件相互独立与互斥的关系,说明：,A、B相互独立，其实质是事件A发生的概率与事件B是否发生无关；,A、B 互不相容，实质是事件A的发生，必然导致事件B的不发生，从而事件B发生的概率与事件A是否发生密切相关。,例：设甲乙两射手彼此独立地向同目标射击一次，已知他们命中率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率。,解：设A=甲击中目标 B=乙击中目标，则P(A)=0.9，P(B)=0.8。,
