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1、2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,1,控制工程基础第二讲 控制系统的数学模型（1）,清华大学机械工程系 朱志明 教授,自动控制理论主要研究的问题,分析：在系统的结构和参数已经确定的条件下，对系统的性能（稳定性、稳态精度、动态性能、鲁棒性）进行分析，并提出改善性能的途径。综合：根据系统要实现的任务，给出稳态和动态性能指标，要求组成一个系统，设计确定系统的结构及适当的参数，使系统满足给定的性能指标要求。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,2,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,3,建立控制系统数学模型的目的,物理系统和数学表达的关系：
2、充分利用数学工具的强大功能，用数学工具描述物理系统中各变量之间的相互关系。用于对现有控制系统进行研究分析：控制系统的数学模型代表了对系统特性的认识，在对系统了解的更多时还可以修改和扩展模型。在实际系统尚不存在时，可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果：从而避免建造试验系统所带来的费用浪费，以及由此所带来的危险。控制系统数学模型的建立对控制系统的研究（分析）与设计（综合）具有重要意义。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,4,控制系统的数学模型内容,物理系统的动态描述数学模型建立系统数学模型的一般步骤非线性数学模型的线性化传递函数控制系统的传递函数系统方块图及其变换系
3、统信号流图,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,5,系统数学模型建立实例,电工系统 R,L,C串联电路机械系统机械平移系统机电系统恒定磁场他激直流电动机,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,6,R-L-C 串联电路示意图,由电阻R、电感L、电容C组成的R-L-C电路，输入量为ur（t），输出量为uc（t），求该电路的微分方程（数学模型）,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,7,基本的电工学规律,电阻上的电压和电流的关系（欧姆定律）电感上的电压和电流的关系 电容上的电压和电流的关系基尔霍夫电压定律（回路电压定律）基尔霍夫电流定律（节点电
4、流定律）,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,8,R-L-C 串联电路的数学模型,根据基尔霍夫定律：消去中间变量：此即R-L-C电路的数学模型（输入输出模型），它描述了输入ur（t）和输出uC（t）之间的动态关系。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,9,电工电子系统的特点,在电工电子系统中，通常研究电压与电流之间的因果关系。组成电工电子系统的基本元件有：电阻、电感、电容和运算放大器等。电阻将电能转化为热能消耗掉，电感通过磁场储能，电容通过电场储能，运算放大器则通过与电阻、电容、电感等组成不同的电路拓扑，实现对电压和电流的变换。,2023/11/14,第
5、二讲 控制系统的数学模型（1）,10,系统数学模型建立实例,电工系统 R,L,C串联电路机械系统机械平移系统机电系统恒定磁场他激直流电动机,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,11,机械平移系统示意图,由弹簧质量阻尼器组成的机械平移系统，外力f（t）为输入信号，位移y（t）为输出信号，列写其运动方程式。k弹簧的弹性系数；m运动部件的质量；阻尼器的粘性摩擦系数。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,12,机械平移系统的基本关系,假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：
6、阻尼器的阻尼力为：,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,13,机械平移系统的数学模型,根据牛顿定律：可得此即机械平移系统以外力f（t）为输入信号，位移y（t）为输出信号的运动方程式，即数学模型,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,14,机械平移系统的特点,在机械系统中，通常研究力（或转矩）与位移（或角位移）的因果关系。组成机械系统的基本元件有：弹簧（或弹性轴）、阻尼器和运动部件。阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置，所产生的阻力与运动速度成正比。阻尼器不储存能量，它将动能转化为热能消耗掉。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,15,相似系
7、统（1）,电工系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统，但它们的微分方程却具有相同的形式，称为相似系统。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,16,相似系统（2）,相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系统的动态特性研究机械系统的动态特性。由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法称为电子模拟技术。在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性，称为计算机仿真技术。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,17,系统数学模型建立实例,电系统 R,L,C
8、串联电路机械系统机械平移系统机电系统恒定磁场他激直流电动机,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,18,恒定磁场他激直流电动机示意图,u（t）电枢电压，为控制输入；ml（t）作用在电动机轴上的总负载转矩，为扰动输入；（t）电动机的转角，为输出量。,假设电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传输轴是刚性轴，电动机电枢电路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,19,恒定磁场他激直流电动机的基本关系,根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：R，L电枢回路总电阻和总电感，H；i电枢电流，A；e
9、电动机反电势，V；u电枢电压，V；Ce电势系数，V.s/rad；J电动机轴上总转动惯量，kg.m2；m，ml电磁转矩、负载转矩，N.m；Cm转矩系数，N.m/A。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,20,恒定磁场他激直流电动机数学模型化简,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,21,恒定磁场他激直流电动机数学模型化简,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,22,恒定磁场他激直流电动机的数学模型（1）,方程联立求解，消去中间变量i，e，m：电动机的机电时间常数，s；电动机的电磁时间常数，s；电枢电压作用系数，rad/(V.s)负载转矩作用
10、系数，rad/(N.m.s)。,Ce电势系数，V.s/rad；,Cm转矩系数，N.m/A。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,23,恒定磁场他激直流电动机的数学模型（2）,若系统的输出量为转速n（r/min），：则不同物理系统可以有相同形式的数学模型；同一系统如果所选的输入量、输出量不同时，数学模型也会不同。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,24,物理系统的动态描述数学模型（1）,每一个自动控制（物理）系统都是由若干元件组成的。每个元件在系统中都有各自的功能，它们相互配合，就构成了一个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（被控制量）的控制，并满足所
11、要求的特定规律。如果把控制系统中各物理量（变量）之间的关系用数学表达式描述出来，就得到了此控制系统的数学模型。在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程称为静态模型。各变量在动态过程中的数学方程，称为动态模型。在自动控制系统的分析中，主要是研究动态模型。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,25,物理系统的动态描述数学模型（2）,在自然界里，许多物理系统，无论是机械的、电气的、液压的，还是气动的、热力的，都可以通过微分方程来加以描述。在微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的特性，如一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度等。因此微分方程完全可以描
12、述系统的动态特性。微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种。系统的数学模型可以用实验法和分析法建立。试验法：对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统的输出响应，然后对这些输入输出数据进行处理，从而获得系统的数学模型。分析法：根据系统内部的变化机理，从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,26,物理系统的动态描述数学模型（3）,机械系统的牛顿定律、能量守恒定律，电学系统的基尔霍夫定律等，都是建立系统数学模型所依据的基础。对系统的微分方程求解，可以获得系统在外部控制作用下的动态响应。同一个控制系统的数学模型可以有
13、许多不同的形式。如对连续系统，除了微分方程外，还有传递函数、频率特性等。各种数学模型之间可以互相转换，采用那种数学模型取决于建立数学模型的目的和控制方法。对于一个具体的系统，其内部结构、元件参数、特性以及外部干扰等，总是错综复杂的，为了在分析系统中，既不包罗万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不忽略主要因素，而失去系统的准确性，必须对系统有全面透彻的了解。一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,27,物理系统的动态描述数学模型（4）,为了建立合理的数学模型，通常都进行一定的简化和线性化。应当特别重视在建立数
14、学模型过程中所作的假设。实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性，如果这些因素对系统特性的影响不大时，可将其忽略不计。例如：在低频工作时，可不计弹簧质量、导线的分布电容等；但在高频工作时就不能忽略这些因素的影响。当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时，可将它们看做线性的；但当工作点在大范围内变动超出线性段时，采用线性化的模型就会带来较大误差。必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围，否则可能得出错误的结论。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,28,控制系统的数学模型内容,物理系统的动态描述数学模型建立系统数学模型的一般步骤非线性数学模型的线性化传递函数控制系统的传
15、递函数系统方块图及其变换系统信号流图,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,29,建立系统数学模型的一般方法,由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等。在列写系统和各元件的运动方程式时，一般需将系统划分成若干环节以使问题简化。所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元件的一部分或者由几个元件组成。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,30,建立系统数学模型的一般步骤（）,分析系统的工作原理和系统中
16、各变量间的关系，确定待研究系统的输入量和输出量。将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量和输出量。（所谓单向环节是指其后面的环节无负载效应，即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有影响）根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，依次列写组成系统各环节的运动方程式，组成联立方程组。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,31,建立系统数学模型的一般步骤（）,对联立方程组进行简化、线性化和增量化，并消去中间变量，得到只包含系统输入量和输出量的方程式，即系统的输出模型。将该方程式化为标准形式。即将与输入量有关的各项放在方程的右边，而与输出量有关的各项放在方程的左边，并将
17、各导数项按降幂排列。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,32,控制系统的数学模型内容,物理系统的动态描述数学模型建立系统数学模型的一般步骤非线性数学模型的线性化传递函数控制系统的传递函数系统方块图及其变换系统信号流图,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,33,非线性数学模型的线性化,工程实践中遇到的系统和元件的输入输出特性或多或少存在着非线性。例如：放大器在大信号输入时输出出现饱和；磁化曲线有饱和和磁滞回环；齿轮传动中有间隙。为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型。直流他激发电机 自动平衡搜索车,202
18、3/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,34,直流他激发电机示意图,Rf激磁绕组的电阻，；Lf激磁绕组的电感，H；Wf激磁绕组的匝数；uf（t）激磁电压，V；if（t）激磁电流，A；eg（t）发电机电枢电势，V；气隙磁通，Wb；发电机角速度，rad/s。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,35,直流他激发电机的基本关系,假设发电机的转速为恒值，且磁滞、涡流、漏磁效应忽略不计。根据基尔霍夫定律及发电机特性，有：,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,36,磁化曲线线性化（1）,描述的是如右图所示的磁化曲线，它是非线性曲线。为获得非线性系统的线性化
19、模型，常采用小偏差线性化方法（或称小增量线性化方法）。假设发电机工作在某个平衡工作点 P 附近时，各个变量相对于该点的值偏离得很小，在这个平衡工作点附近可用切线近似代替曲线。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,37,磁化曲线线性化（2）,设平衡工作点为P（if0，0），在P的邻域内将f（if）展开成泰勒级数：当（ifif0）足够小时，可略去二阶以上各项：0发电机工作在P点处磁通的稳态值，Wb；if0发电机工作在P点处激磁电流的稳态值，A；K2磁化曲线在平衡工作点P处的斜率。小偏差线性化方法就是在平衡工作点附近的微小范围内，用该点处的切线代替曲线来获得近似的线性化模型。这里
20、，K2与平衡工作点的位置有关。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,38,直流他激发电机的数学模型（1）,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,39,直流他激发电机的数学模型（2）,公式：令：eg0K10发电机工作在P点时电枢电势的稳态值；uf0发电机工作在P点时激磁电压的稳态值；uf，eg，if：uf，eg，if相对于平衡点处稳态值的微小增量。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,40,直流他激发电机的数学模型（3）,经过简化、线性化、增量化的直流他激电动机的数学模型：工作点P处的微偏时间常数，s；工作点P处的微偏电压放大系数。Tf，
21、Kg与磁化曲线在平衡工作点P处的斜率K2有关。简便模型（省略）：,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,41,非线性数学模型的线性化,工程实践中遇到的系统和元件的输入输出特性或多或少存在着非线性。例如：放大器在大信号输入时输出出现饱和；磁化曲线有饱和和磁滞回环；齿轮传动中有间隙。为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型。直流他激发电机 自动平衡搜索车,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,42,自动平衡搜索车,M，m小车和摆的质量，kg；l摆杆的长度，m；u（t）外作用力，N；z（t）小车移动距离，m；（t）摆
22、杆相对于直立方向的偏离角，rad。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,43,自动平衡搜索车说明（1）,自动平衡搜索车由小车及倒置于其上的摆（倒置摆）组成。它实际上是一个空间起飞助推器的姿态控制模型。姿态控制的目的是保持空间起飞助推器在垂直位置上。因此控制系统的作用是在施加控制作用u（t）后，使摆直立不倒。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,44,自动平衡搜索车说明（2）,为研究方便，假设小车与摆仅作平面运动，摆杆质量、风力、摩擦等略去不计。摆的运动可看作由牵引运动（小车平移）和相对运动（摆杆转动）的合成。摆的水平运动为：zlsin。在垂直于摆杆的方向
23、，摆的运动也由两部分合成：一部分为小车平移运动在该方向的投影zcos；另一部分为摆的圆周运动l。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,45,自动平衡搜索车基本关系,根据牛顿定律，沿水平方向：在垂直于摆杆方向：式中，g重力加速度，m/s2。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,46,自动平衡搜索车基本关系简化（1）,在自动平衡搜索车的运动方程式中，有变量的乘积和三角函数非线性方程。线性化：假设摆只在垂直位置附近作微小的摆动。因为控制系统的目的在于使摆保持直立不倒，因此假设与实际情况相符。闭环系统反馈的作用是力图抑制或消除偏差，因此可以认为，d/dt接近于零
24、，从而可忽略微不足道的高次项。如2，（d/dt）2，d/dt等，而保留，d/dt项。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,47,自动平衡搜索车基本关系简化（2）,三角函数也可同样简化：微分方程可近似为：,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,48,自动平衡搜索车的数学模型（1）,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,49,自动平衡搜索车的数学模型（2）,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,50,自动平衡搜索车的数学模型,数学模型：上述模型不适用于开环系统。因为如果没有u（t）的作用。摆就会倒下，这时就不符合，d/dt接
25、近于零的假设。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,51,应用小偏差线性化方法应注意的问题,所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性。通过小偏差线性化方法，通常得到的是经过简化、线性化、增量化的微分方程，即使变量前省去了“”，也应将变量理解为增量。经过增量化以后，相当于把坐标原点移到平衡工作点,这时各变量的初始条件为零。当系统有本质非线性特性时（非线性特性有间断点、转折点和非单值关系），不能采用小偏差线性化方法。,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,52,Homework,电工和机械相似系统P71：2-13机械平移非线性系统P72：2-14,2023/11/14,第二讲 控制系统的数学模型（1）,53,SEE YOU NEXT TIME,
