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1、德 摩根定律（De Morgan)：,对于n个事件（可列个事件）可推广为,例 1,设A，B，C为三事件,用A,B,C的运算表示下列各事件.,（1）A发生B与C不发生；,（2）A 与B 都发生，而 C不发生；,（3）A，B，C 中至少有一个发生；,（4）A，B，C都发生；,（5）A，B，C都不发生；,（6）A，B，C 中不多于一个发生；,（7）A，B，C 中不多于两个发生；,（8）A，B，C 中至少有两个发生；,概率性质：,1 任意A，有,2 若事件A1，A2，An两两互不相容（Ai Aj=）,（有限可加性）,3 若事件,，则,5,则有,i,j=1,2,.,n,证：,4 若对于任意事件 则有：,
2、6 任意事件 A,B,有,可推广为(A,B,C为任意事件),一般，对于任意 n 个事件 A1，A2，.，An，有,证：,解：,设 A=第一天下雨，B=第二天下雨,2,=0.3-0.1=0.2,1,=0.6-0.1=0.5,5,=1-0.1=0.9,4,=1-0.8=0.2,3,=0.6+0.3-0.1=0.8,例1 假设电台每到整点都报时，一人早上醒来打开收音机，求他等待的时间不超过10分钟的概率。,解：,显然样本空间（单位：分钟）,设A=等待的时间不超过10分钟，则,例2（会面问题）两人相约 6点到 7点在某地会面，先到者等候另一个人 15分钟，过时就可离去，试求这两个人能会面的概率。,解：
3、,以 x,y 分别表示两个人到达时刻，则会面的充要条件为,即：,计算公式,由定义知：,=P(e1)+P(e2)+.+P(en),=nP(ei),i=1,2,.,n,=1,则：P(ei)=,i=1,2,.,n,若事件 A 包含 k 个事件，即,则有,上式即为等可能概型中事件A的概率的计算公式。,二、基本原理及排列组合公式,原理,1 乘法原理：,返回,2 加法原理,则假设进行 A1 过程与进行 A2 过程是并行的，则进行过程共有 n1+n2 种方法。,若进行 A1 过程有 n1 种方法，,进行 A2 有 n2 种方法，,排列：,从 n 个元素中取出 r 个来进行排列，,1 有放回选取：称为有重复的
4、排列，其总数共有 nr 个,2 不放回选取：称为选排列，其总数共有,当 n=r 时，称为全排列,且与取出元素及其顺序有关。,常见的三种组合：,1 从 n 个元素中取出 r 个元素，且不考虑其顺序。,其方法总数为,把 n 个不同的元素分成 k 个部分，第一部分r1 个，第二部分 r2 个，.，第 k 部分 rk 个，则不同的分法有,种。,这时取法总数为,说明：约定 0!=1,若 n 个元素中有 n1 个带足标“1”，,3,n2 个带足标“2”,.,nk个带足标“k”,且 n1+n2+.+nk=n,从这 n 个元素中取出 r 个，,使带有足标“i”的元素有ri个（1 i k),而 r1+r2+.+
5、rk=r，,三、举例,例 1 某班级42名学生分成3组，每组14人，从中 任意抽出3名学生，试求下列事件的概率：(1)被抽出的3名学生来自第1组；(2)被抽出的3名学生来自同一组；(3)被抽出的3名学生来自不同组。,解：,返回,解：,(1)放回抽样下，每次抽取都在相同的条件下进行，故基本事件总数与重排列有关，于是：,例 2 某种产品共30件，其中正品23件，次品7件；从中任意取5次，每次一件。试在下列情况 下，分别求被取的5次中前2次抽次品、后3次 抽得正品的概率。(1)每抽1件经检验后放回,再继续抽取下1件(放回抽样)(2)每抽1件经检验后不放回,然后在剩下的产品中继续 抽取下1件(不放回抽
6、样),(2)不放回抽样下，每次抽取都在不相同的条件下进行，故基本事件总数与排列有关，于是：,例3,设有n个人，每个人等可能的被分到N个房间中的任何一个（n N），求下列事件的概率。(1)指定的n个房间各住一个人(2)恰好有n个房间各住一人,解：每一个人都有N个房间可供选择，所以n个人共有 种可能。,例3(续),某班有n个人，（n 365）。问至少有两个人的生日在同一天的概率为多少？,解：A“n个人中至少有两个人的生日相同”则=“n个人的生日全不相同”，由：,例 4 在12000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。P17例6,解：,A取到的数能被6 整除,B
7、取到的数能被8 整除,=0.75,例 5 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求：,（P17页例7）,1 每一个班级各分配到一名优秀生的概率P（A）,2 三名优秀生分配在同一班级的概率P（B）,解：,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为,例 6 某接待站在某一周曾接待过12 次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？,解：,假设接待时间没有规定，A=所有这12次接待都是在周二和周四进行的,P（A）=,非常小，,由实际推断原理，推断接待时间是有规定的。,(P18页例8),实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中
8、实际上几乎是不发生的。,一、条件概率,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。,1 任意事件B，有,（可列可加性）,说明：条件概率具有概率的所以性质,设A，B是两个事件，且 P(A)0,称,则有,3 若事件B1，B2，两两互不相容（Bi Bj=）i,j=1,2,.,返回,二、乘法定理,由条件概率定义,P(A)0,得：,推广：,1,返回,三 全概率公式和贝叶斯公式,定义：,设 S 为试验 E 的样本空间，B1，B2，.，Bn 为E 的一组事件，若,(i)BiBj=,(ii),则称B1，B2，.，Bn 为样本空间 S 的一个划分,若 B1，B2，Bn 为样本空间S 的一个划分，那么，对每次试验
9、，事件B1，B2，Bn 中必有一个且仅有一个发生。,1 样本空间的划分,返回,2 全概率公式,定理,设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为样本空间S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2,.,n),则,解 设,A:“一批产品通过”;,Bi:“一批产品中含有i件次品”,(i=04),则,得,例 4 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中次品最多不超过4件，且具有如下的概率分布：,现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验。若发现其中有次品，则认为产品不合格。求一批产品通过检验的概率。,3 贝叶斯（Bayes)公式,定理 设试验 E 的样本空间为 S，A为 E 的事
10、件，B1,B2,.,Bn 为样本空间 S 的一个划分，且 P(A)0,P(Bi)0,(i=1,2,.,n),则,证,返回,例5,某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的（设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志）。根据以往的记录有以下的数据。,P24页例5,1 求它是次品的概率；,在仓库中随机地取一只晶体管,2 若取到的是次品，求出次品由三家 工厂生产的概率分别是多少？,解,设 A：“取得的一只是次品”，,Bi：“取得的产品是由第i 家工厂提供的”(i=1,2,3),P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,1 由全概率公式,=0.0125,2 由贝叶斯公式,例 6,
11、对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为0.98，而当机器发生某一故障时，其合格率为0.55，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为0.95，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？P25 例6,设 A=“产品合格”,解,B=“机器调整良好”,由贝叶斯公式,一、事件的独立性,上节课我们学过乘法公式：,如果事件A的发生与否对事件B没有任何影响，,返回,则：,（一）两个事件的独立性：,性质：,1 必然事件S 与任何事件独立；,2 若事件A,B 独立，且 P(A)0,则,不可能事件 与任何事件独立。,返回,定义 设 是两事件，如果,则称 为相互独立的事
12、件。,“A,B相互独立”：P(AB)=P(A)P(B)0(当 P(A)0,P(B)0）,“A，B互不相容”:P(AB)=0,3 若事件 相互独立，则,相互独立。,说明：,4，则“相互独立”与,“互不相容”不能同时成立。,（二）多个事件的独立性,说明：若事件A，B，C是相互独立的，则A，B，C 一定,返回,则称事件A,B,C是相互独立的。,若前三式同时成立，则称事件A,B,C是两两独立。,两两独立。反之则不一定成立。,（三）事件独立性与概率的计算,计算公式：,（相互独立事件至少发生其一的概率）,若 A1,A2,.,是 n 个相互独立的事件，由德莫根定律有,返回,二、试验的独立性与贝努利试验(P4
13、1),试验的独立性:将试验 E 重复进行 n 次，若各次,n重贝努利试验:,设随机试验满足：,1 在相同条件下独立的进行n次重复试验；,这种试验称为 n 重贝努利试验。,3 在每次试验中，A发生的概率均一样:P(A)=p,2 每次试验只有两个可能结果：,返回,的结果互不影响，则称这n 次试验是相互独立的。,教学要求：,小 结,理解事件独立性以及贝努利试验的概念;掌握事件独立性以及贝努利概型有关问题的计算；,教学重点：,独立事件概率的计算、贝努利概型的计算,教学内容：,一、事件的独立性,（一）两个事件的独立性：,若 P(AB)=P(A)P(B)则称A，B为相互独立的事件。,两个事件独立的性质：,
14、（二）多个事件的独立性：,两点推论：,（三）相互独立事件至少发生其一的概率计算公式,二、贝努利试验,(1)n重贝努利试验:,作业：P35-27,28,34,(2)n重贝努利试验中A出现 k次的概率计算公式：,1 随机事件及样本空间，事件之间的关系及其运算2 频率与概率的概念，概率的基本性质及其计算3 古典概型，几何概率4 条件概率，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式5 事件独立性,教学要求,了解随机试验，掌握事件之间的关系及运算；理解事件的频率及概率；掌握古典概型定义，会用加法公式等；理解条件概率，掌握乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式；理解独立性，理解贝努里概型。,小 结,主要结论,事件之间的关
15、系,(1)包含 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A。记作,(3)互不相容 若事件A，B不能同时发生，那么称事件A与B互不相容。,事件之间的运算,(1)和事件,(2)积事件,(3)对立事件（逆事件）,(4)差事件,德 摩根律：,概率的计算公式,(1)古典概率,(2)求逆公式,(4)求差公式,(5)条件概率,(8)贝叶斯公式,(7)全概率公式,B1，B2，Bn 为样本空间 S 的一个划分,(6)乘法公式,(可以推广),有关独立性结论,1 必然事件S 与任何事件相互独立；不可能事件 与任何事件相互独立,2 事件A,B 独立，且 P(A)0,则,4 P(A)0,P(B)0，则“A,B相互独立”与“A，B互不相容”不能同时成立。,5 若事件 A1,A2,.,An 是相互独立的，则A1,A2,.,An中任意多个事件换成它们的逆事件，所得的 n 个事件仍然是相互独立的，且,思考与练习,2 已知A，B两个事件满足，且，求,5 设一厂和二厂的产品的次品率分别为1%和 2%，现从一厂和二厂的产品分 别占60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该产品是一 厂生产 的概率。,6 设两两独立的三个事件A，B，C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，且已知，求 P(A)。,答案：,1,2,3,4,5,6,
