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1、范例8.4 麦克斯韦速率分布律,(1)根据麦克斯韦速度分布律说明麦克斯韦速率分布率律。氧气分子质量是32u(1u=1.6610-27kg)，氧气处于标准状态下(273K)。氧气分子遵守麦克斯韦速率分布律，速率在01200m/s范围内，速率间隔取100m/s，求各个速率区间内的分子数比例，在直方图中代表什么意义？将速率间隔持续减半，观察直方图的变化。当速率间隔很小时，直方图顶部折线的变化趋势是什么？,(2)什么是最概然速率？氧气分子在300K到600K温度区间(温度间隔为100K)，速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？氢气、氦气、氖气、氮气、氧气和氟气分子的分子量分别为2、4、20、28、
2、32和38，这些气体分子在300K时的速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？,范例8.4 麦克斯韦速率分布律,解析(1)在三维速度空间中，在速度间隔vxvx+dvx、vyvy+dvy、vzvz+dvz内，分子数占总分子数的比例为,其中dvxdvydvz是速度空间的“体积”元。,当分子以速率v运动时，速度的平方为v2=vx2+vy2+vz2，“体积”元可表示为dvxdvydvz=v2dvsindd。,对方位角从0到2积分，对仰角从-/2到/2积分，“体积”元就变为4v2dv，这是半径为v，厚度为dv的球壳的“体积”。,上式可改写为,范例8.4 麦克斯韦速率分布律,取,这就是麦克斯韦速率分布函
3、数。,f(v)dv是速率区间vv+dv内分子数占总分子数的比例，,是归一化常数。,f(v)的单位是速度单位的倒数s/m。,在速率区间v1v2之内，或者在v-v/2 v+v/2之内(v=v2-v1)，分子数占总分子数的比例近似为,可知：分布函数下的面积表示分子数占总分子数的比例。,取速率间隔为100m/s，速率分布函数由直方条组成，其顶部呈阶梯形折线。,速率在0100m/s之内的分子数占总分子数的比例约为1.04%，,速率在100m/s200m/s之内的分子数占总分子数的比例约为8.11%，,速率在300m/s400m/s之内的分子数占总分子数比例最高，大约为21.8%，,速率在900m/s10
4、00m/s之内的分子数占总分子数比例只有0.658%。,由于速率间隔比较大，分子数比例的误差也比较大。,取速率间隔为50m/s，直方条变窄，顶部的阶梯变小。,速率在050m/s之内的分子数占总分子数比例约为0.131%，速率在50100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.14%，因此速率在0100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.27%。,速率间隔为100m/s的分子数比例都可分为两个间隔为50m/s的分子数比例之和。,极大值在350m/s400m/s速率区间，极大值为0.0022043。,由于速率间隔减小了，分子数比例的误差也减小了。,取速率间隔为25m/s，直方条更窄，顶部的阶梯
5、更小。,速率在0100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.33%。,极大值在375m/s400m/s速率区间，极大值为0.0022007。,速率间隔为100m/s的分子数比例都可分为四个间隔为25m/s的分子数比例之和。,速率间隔越小，分子数比例就越精确。,速率间隔不断减小，直方条越来越窄。,当速率间隔很小时，直方条很窄，直线都连成一片，顶部的阶梯几乎消失。,速率在0100m/s之内的分子数占总分子数比例约为1.35%。,极大值在376.6m/s378.1m/s速率区间，极大值为0.0022044。,当速率间隔趋于零时，顶部将趋于光滑的曲线，极大值范围趋于一点，极大值越精确。,范例8.4
6、麦克斯韦速率分布律,解析(2)当v=0时，f(v)=0；当v时，f(v)0。,由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。,令df(v)/dt=0，即,可得,这个速率称为最概然速率。,分布函数的极大值为,温度越高或分子质量越小，最概然速率就越大，分布函数的极大值就越小。,质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速率分布的函数曲线会随参数不同而有所改变；,在相同的速率间隔之内，最概然速率附近的分子数最多。,分子向着各个方向运动时，在很大或很小的速率附近，分子数都很少。,在温度一定的情况下，不同分子的质量是参数，函数曲线会随参数而有所改变。,对于分子质量一定的气体，温度升高则峰值降低，说明：在相同的
7、速率间隔内，向着各个方向运动的速率小的分子数量减少了，速率大的分子数量增加了，分子运动得更剧烈了。,氧气分子在300K时的最概然速率约为395m/s，在600K时的最概然速率约为558m/s。,氢气分子的分子量是2，是氧气分子质量的1/16，在300K的温度下，最概然速率是氧气分子的4倍，达到1579m/s。,氟气分子的分子量是38，在相同的温度下的最概然速率只有362m/s。,当气体温度一定时，质量较小的分子的速率分布曲线的峰值较低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率大的分子数量比较多，速率小的分子数量比较少。,地球的逃逸速率约为1120m/s，由于氢气分子速率分布较宽，很多氢气分子的速率超过逃逸速度，能够脱离地球的吸引，因而大气中的氢气比较少。,同理，空气中氦气也比较少。,
