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1、第4章 直线与平面、两平面的相对位置,4-1 直线与平面平行 两平面平行,4-2 直线与平面的交点 两平面的交线,4-3 直线与平面垂直 两平面垂直,4-1 直线与平面平行 两平面平行,一、直线与平面平行,二、两平面平行,平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,一、直线与平面平行,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行,返回,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,X,a,a,b,b,k,k,l,l,例2：过K点作平面KLM平行于直线AB。,有多少解？,m,m,正平线,例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a
2、,b,c,m,唯一解,例题4 试判断直线AB是否平行于定平面,（直线AB不平行于定平面）,返回,直线与平面平行的判断,二、两平面平行,定理：若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行。,返回,一般情况：两平面都为一般平面。,特殊情况：若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,由空间转换到平面,示例：课本P105 例4-1,三、直线与特殊位置平面相交,四、一般位置平面与特殊位置平面相交,一、直线与平面相交只有一个交点,二、两平面的交线是直线,返回,4-2 直线与平面的交点 两平面的交线,一、直线与平面相交,直线与平面相交只有一个交点，它是直
3、线与平面的共有点。,返回,二、平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有,返回,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。,三、直线与平面相交的特殊情况,返回,平面有积聚性,k,1,2,X,o,k,1(2),可见：实线,不可见：虚线,积聚性,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作
4、 图,返回,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,返回,四.一般位置平面与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。,返回,判断平面的可见性,返回,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即M
5、N的正面投影。,求交线,判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,返回,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,返回,两特殊位置平面相交,C,五、直线与一般位置平面相交,返回,例题
6、1,例题2,判别可见性,1,2,例题1 求直线EF与一般位置平面ABC的交点K。,QV,步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ABC的交线。3、求交线与EF的交点K。,见示意图,返回,1,2,例题2 求直线EF与一般位置平面ABC的交点K。,PH,步骤：1、过EF作铅垂面P。2、求P平面与ABC的交线。3、求交线 与EF的交点K。,见示意图,返回,例题1,例题2,两一般位置平面相交求交线的方法,六、两一般位置平面相交,返回,两一般位置平面相交求交线的方法,用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。,返回,ABC与两平行直线DF、EG决定的平面相交,PV,QV,k,1,2,3,4,m,1,2
7、,3,4,k,m,两一般位置平面相交，求交线步骤：用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。,例题1 求两平面的交线,判别可见性,返回,2,1,(),3,4,(),判别可见性的原理是利用重影点。,判别可见性,返回,例3 如图已知等腰三角形DEF的顶点D和一腰DE在水平线DG上，另一腰DF/ABC，点F在直线MN上，完成三角形DEF的两面投影,用三角形法作DF的真长,解 DF一定在过D点的平行于ABC的平面上，先作出这个平面，,PV,f,f,DF的真长,n,c,b,0,b,c,m,g,d,n,m,g,d,X,返回,a,a,4-3 直线与平面垂直 两平面垂直,一、直线与平面垂直,二、两平面垂直,返
8、回,一、直线与平面垂直 若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。,返回,定理1,定理2,定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,返回,定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。,返回,例题1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。,返回,例题2：试过定点K作特殊位置平面的法线。,h,X,X,X,返回,例题3：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。,返回,二、两平面垂直,若
9、一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。,返回,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平面不垂直,返回,例题1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。,返回,例题2 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。,返回,过点A作平行于直线BC且垂直于 DEF的面,k,m,m,n,n,h,b,c,c,b,d,f,e,d,f,e,X,O,a,a,返回,例1如图所示，过点A向 BCDE作垂线AF，并作出垂足 F以及点A与BCDE的真实距离。,解 过一点向一个平面只能作一条垂线由于 BCDE是正垂
10、面，按直线与垂直于投影面的平面相垂直以及直线与垂直于投影面的平面相交的投影特性可知：AF是正平线。,f,f,a f 即是AF的真实距离,返回,一般情况,如图已知DG DEF。在DEF上取正平线DM和水平线DN，则DG DM，DG DN。,直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的正面投影，垂直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的水平投影，垂直干这个平面工的水平线的水平投影；直线的侧面投影，垂直干这个平面上的侧平线的侧面投影。,n,n,m,m,根据一边平行于投影面的直角的投影特性可知：g d d m dgdn,返回,例2如图所示，判断 ABCD与 EFG是否互相垂直?,解只要检验是否能在 AB
11、CD上作出一条直线垂直于 EFG。,m,m,n,n,k,k,作bk 垂直于em,检验bk垂直于en,返回,例3如图，过点A作平行于直线CJ且垂直于 DEF的面。,解 只要过点A作直线平行于CJ，作直线垂直于 DEF，则相交两 直线所确定的平面即为所求。,b,b,m,m,k,n,n,k,返回,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性
12、，尤其是特殊位置平面的 投影特性。,返回,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。另外两个投影积聚为直线。,返回,二、平面上的点与直线,三、平行问题,直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。,两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,返回,四、相交问题,求直线与平面的交点的方法,一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。,投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。,求两平面的交线的方法,两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。,返回,第4章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置结束,
