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1、第七章直线和圆的方程 直线的方程、简单的线性规划教学建议 中关村中学 徐延,一、主要教学内容(一)直线 直线的倾斜角和斜率的概念及计算公式、直线的方程的几种形式、两条直线的位置关系；点到直线的距离公式等(二)线性规划简单的线性规划、研究性学习与实习作业,国家教育部数学课程标准：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识,二、教学建议 这一章是解析几何初步：自法国数学家笛卡儿、费马在17世纪创立了解析几何以来，使数学进入了一个新的发展时期，不仅对于数学的研究和发展，而且对于科学的进步都具有重要的深远的意义解析几何的重要思想是数形结合
2、通过建立坐标系，用方程表示曲线，把几何问题转化为代数问题，把曲线的交点问题转化为方程组实数解的问题学生通过对平面解析几何初步知识的学习，领悟坐标思想和数形结合思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，同时为进一步学习圆锥曲线、向量、导数及其应用打下基础,在教学活动开始之前要制订教学工作计划,即教学设计你希望你的学生去哪里（目标）你的学生现在在哪里（起点）怎么到那去（过程）是否到达了（目标是否达成）,关于直线(初中所学)一次函数的图象：一次函数的图象是经过点 和点 两点的一条直线,一次函数的性质：（1）在一次函数中，若k的值相同，而对于b的不同值，对应的图象是互相平行的直线（2）当 时：直线呈
3、现出“左低右高”的变化趋势，说明这个函数的自变量增大时，因变量也随之增大；当 时：直线呈现出“左高右低”的变化趋势，说明这个函数的自变量增大时，因变量随之而减小,一次函数的应用：例题：比较两种移动电话的收费方法（在同一坐标系中画出它们的图象，观察图象：两图象的交点处有相同的纵坐标得出此处收费相同、之前之后的收费高低）,在“探究与应用”中 通过给出一个具体的二元一次方程，提出问题：（1）可否把y看成关于x的一次函数？如果可看，那么一个二元一次方程也可以对应于直角坐标系上的一条直线（2）按此思路，直角坐标系上的两条相交直线的交点坐标应有怎样的意义？（3）具此，可否用画图象的方法解二元一次方程组？_
4、选自北京教育科学研究院 北京出版社 合编北京市义务教育课程改革实验教材数学,这一章从方程的角度研究直线，运用代数的方法研究直线的特征主要内容包括：确定直线的几何要素，直线的倾斜角和斜率的概念及计算公式，直线方程的几种形式，判定两条直线平行或垂直，两条直线的交点坐标及点到直线的距离公式等,课本从一个具体的一次函数与它的图象人手，引入直线的方程和方程的直线概念（只需学生对此有一个初步的了解，为今后学习曲线和方程的概念作准备）,为了建立直线的方程，首先引入直线的倾斜角和斜率的概念：概念的引入要展示知识的发生与发展的过程，经历从特殊到一般的抽象过程直线斜率的定义是体现几何问题与代数问题转化的范例，渗透
5、了数形结合的数学思想要引导学生探索和经历用代数方法刻画直线倾斜程度的过程,引导学生通过初中学习的一次函数的图象及性质，如用 等来探索如何刻画直线的方向？,不论用什么样的教学方式定义斜率都要注意与学生已有的知识结构联系，让学生有一个探究的过程，在研究过程中领悟斜率的概念，不要将此概念直接灌给学生,关于过两点的直线斜率的计算公式要注意：倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率是倾斜角的正切值.通过过两点的直线的斜率公式，把斜率坐标化，所以在解析几何中，研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便因此，它是研究直线问题的重要工具，也是学好本章的关键,应用
6、斜率公式求直线的斜率时，在直线上任取两点其结果都相同，不会因在直线上所取两点的变化而变化;也可以将 表示成，这不仅与今后学习极限导数中的增量所采用的符号相一致，而且形式简单，便于记忆；,当两点的横坐标相同，纵坐标不同时，直线的斜率不存在；当两点的纵坐标相同，横坐标不同时，直线的斜率为0；仍然要强调当 时，不是单调递增的；,在后继学习中应适当渗透利用斜率的意义来解决一些代数问题，体现数形结合思想，,课本介绍了直线的方向向量及与直线的斜率之间的关系，为后面的学习作好铺垫,直线的方程：介绍了直线方程的几种重要形式：点斜式、两点式、一般式，简单介绍了斜截式、截距式,点斜式是基本的直线方程，建立点斜式的
7、主要依据是：过直线上一个定点和这条直线上任意一点的直线是唯一的（导出直线点斜式方程的方法实质上是后继课程中要学习的求曲线方程的一般方法，在此不必延伸到求曲线方程的一般步骤和方法上，但应使学生理解这一基本方法）；,在推导直线点斜式方程的过程中应明确方程变形所表示的几何意义，在设直线 上除 点外的任一点为 后,则方程 所表示的是直线上除去点 外的其他点，而方程 所表示的点不仅包括点,而且还包括点 因此方程 才表示整条直线反之若点 满足方程，当点 不与 点重合时，则，它表示 与 两点连线的斜率为，即点 P在直线 上；当点 与 重合时，显然该点也在直线 上因此，过点 且斜率为 的直线的方程为:,直线方
8、程的斜截式、两点式、截距式都是点斜式直接应用得出的它们都有适用条件，应引导学生分析适用条件产生的原因 通过直线方程的斜截式与初中学习的一次函数 的关系，沟通方程与函数的联系,通过直线方程的一般式与直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的关系引导学生理解，它们都是关于的二元一次方程，进一步研究直线和二元一次方程的关系使学生对曲线和方程之间的对应关系有一个初步了解，为继续学习“曲线和方程”打下基础,在直线方程的几种形式学习完后，可以进行列表归纳总结,两条直线的位置关系：（）两条直线平行、垂直 在进行两条直线的位置关系的教学中，仍然从学生已有的知识人手，即初中所学平面几何中的两条直线的关系，而
9、在这里，我们将要运用解析几何的思想和方法，通过研究直线方程来判断直线的位置关系,把初中几何中两条直线平行的判定和性质定理转化为坐标系中的语言，用倾斜角、斜率、截距来重新刻划有关条件也可以利用现代教育技术，通过改变两直线方程的系数，得出不同情况下直线的位置关系的展示而得到，从而让学生经历操作、体验、发现、感悟的过程；启发学生讨论一条直线没有斜率时，怎样通过方程研究它与其它直线是否平行,同样可由学生自主学习两条直线垂直的充要条件如先给出几组直线方程 与；与 让学生画图观察每一组直线之间的关系；反之再请学生画出两条互相垂直且交于坐标原点的直线，并研究它们的方程特点进而利用两个向量互相垂直研究一般情况
10、,教学中注意创设出学生易于发现和探索的问题情景，教学设计应体现由学生自主探究、合作交流的理念，使学生在探究过程中领悟数学思想方法,（）两条直线的夹角：用解析几何方法研究角的问题对学生而言相对困难，因为在两条直线不互相垂直时有两个大小不同的角：（）讲清夹角与到角的定义；（）讲到角公式时，必需考虑两种情况.提醒学生注意：夹角与到角的区别和联系,（）两条直线的交点 通过交点坐标的计算方法即转化为二元一次方程组解的问题的分析，渗透解析几何的基本思想,（4）点到直线的距离：是解析几何中研究一些问题的重要工具，教科书是借助直角三角形的面积公式推导出的 由于解析几何中解决问题的途径的寻找，是学生的学习难点也
11、是重点因此，建议在讲授这个公式时，不妨给出已知条件，让学生自主探索推导点到直线的距离公式,目的：(1)让学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合、化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，体会解析几何解题的真谛；(2)使学生体验成功的喜悦，增强数学学习兴趣和培养良好的学习品质,几种推导方法：设直线 的方程为(先假设,求点 到 直线的距离,思路一：过 P作 于点Q，根据点斜式写出直线PQ的方程，由PQ与 联立方程组,解得点Q坐标，然后利用两点距离公式求得,思路二：在直角PQR,或直角PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关,分锐角钝角讨
12、论）,用正弦值思路三：在直角PQR,或直角PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，分锐角钝角讨论）,用余弦值,思路四：在直角PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长,思路五：运用向量工具已知直线 的法向量设，则，因为直线的方向向量，则法向量为,或 或其它.取=,由于点Q在直线上,所以满足直线方程,解得,思路六：运用向量的数量积推导：由于直线 的法向量=,与y轴的交点为因此,向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点要让学生体会到向量工具的巨大作用，同时，也沟通了数学各章节知识间的内在联系,在推导两条平行直线间距
13、离时，同样应让学生自主探索发现,（）几个常用的结论,(7)新视角 新课标：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，不断帮助学生体会数形结合的思想方法,简单的线性规划关于线性规划 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原
14、材料二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力、物力资源线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力、物力等资源，使经济效果达到最好,线性规划问题的数学模型的一般形式：（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解,知识背景 它是在学生学习了不等式和直线方程的基础上，介绍二元一次不等式的一个简单的应用 不等式有着丰富的实际背景，二元不等式是刻画区域的重要工具，而刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤,主要教学内容（1）二元一次不等式（组）与平面区域的关系讨论；（2）简单的线形规划问题,教学建议（1）要上好第一节课，这节课的内容是全新的，需要从简
15、单入手，逐渐深入，渐进式展开它是本节内容的重点，在教材中起承上启下的作用，对这一节课内容的掌握直接影响着线性规划问题中可行域的应用,（2）线性规划从实际问题中抽象出线性规划模型：教学时，先呈现实际问题，如生产安排问题、资金分配问题、人力调配问题、资源利用问题等；再分析实际问题的已知条件和求解目标，将实际问题化归为“在线形约束条件求线形目标函数的最大值或最小值”问题，即线性规划问题；然后用图解法解决实际问题；最后总结解决实际问题的过程，引出与线性规划相关的基本概念,从实例分析中概括出求线形目标函数 最大值或最小值的求解程序：()作可行域，（即作出线形约束条件（二元一次不等式组）表示的平面区域）；
16、()作直线；()找最优解，（即平移直线，依可行域判断取得最优解的点，然后解相关方程组，求出最优解；（）得出结论，（即将最优解的值代入线形目标函数，得到需求的最大值或最小值,通过对具体问题的详尽分析，帮助学生理解图解法求解线性规划问题的求解原理，即帮助学生认识线形目标函数值的变化规律在此应加强直观教学，建立起线形目标函数的几何意义,如求线形目标函数 在某个线形约束条件下的最大值时，将 变形为（化成直线的斜截式），于是Z的最大值与 的纵截距 的最大值联系起来显然当纵截距 最大时，取得最大值，且在该线形约束条件确定的平面区域内的每一个点的坐标 都唯一确定纵截距 当 变化时，表示一组与直线 平行的直线
17、，在观察中使学生发现直线 经过可行域内哪一个点 时，纵截距 最大,教学时，可先研究z=ax+by+c，b0的情形,再研究b0的情形.,适度的变式训练对形成解题技能是十分有效的,(2)求 的最大值与最小值 表示点 与平面区域内的点 连线的斜率的一半，所以,要注意强化图解法的操作程序,4.解法1 设直线 的点斜式方程，分别与两条已知直线方程联立方程组，求出由 表示的 两点的坐标，即可由已知中点，求出直线 的斜率，再由点斜式求出直线 的方程,解法2设点 坐标为,点 坐为，将它们的坐标分别代人已知直线方程中,且,解出这两点的坐标，由两点式求出直线 的方程,解法3设点 坐标为,因为 的中点为,所以点 坐标为,又因为这A,B两点分别在两条已知直线上,将它们的坐标分别代人已知直线方程中,解二元一次方程组,求出,再由两点式求出直线 的方程,解法4由于A,B 的中点为，设点A 的坐标为，则点B的坐为，将两点的坐标分别代入两条已知直线方程，联立，得，再由点斜式求出直线的方程,谢谢,
