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1、结构动力学问题的有限元法,2010年8月22日,一、结构动力学分析的任务,1、求出结构的动态特性，主要是求出结构的固有频率和阵型；,2、求出结构对随时间变化的载荷的响应，即结构在动载荷作用下的运动规律、应力。,任务之一是解决结构能否正常工作问题，同一动载荷作用下，不同结构的响应是不同的，响应的大小直接与结构的固有频率有关。任务之二是解决结构能否可靠工作问题，有了结构各点的应力时历曲线，可进行响应的极值分析和结构疲劳寿命估计。,在机械结构的动力学分析中，利用弹性力学有限元法建立结构的动力学模型，进而可以计算出结构的固有频率、阵型等模态参数以及动力响应。,二、结构的动力方程,在动态情况下，结构承受
2、的载荷可随时间变化，是时间的函数。在有限元法中，将载荷分配到节点上，节点载荷列阵也是时间的函数。,结构在运动中，各点除位移外，还有速度和加速度。,为形函数，与时间无关,按达朗伯原理，有加速度的质量应附加有惯性力载荷。如材料的密度为，则结构内单位体积的惯性力为：,相当于体积分布载荷，方向与加速度方向相反。,在介质中运动的质点还会受到阻尼，大小与速度成正比，方向与速度方向相反，则单位体积的阻尼力为：,相当于另一种体积分布载荷，方向与加速度方向相反。,将单元内的惯性力与阻尼力作为体积分布载荷，再按做功相等的原则等效分配到单元的各节点上，记为：,而：,代入：,式中：,当和在单元内部是常数值时，,比例阻
3、尼,对于结构静力学问题，求出整体刚度阵后，有限元节点位移方程为：,对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。,或改写为：,其中：,质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也是对称稀疏阵。,三、动力方程的简化,称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。,如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。,例如长度为L，截面积为A，密度为的梁单元。,集中质量阵：,一致质量阵：,平面三节点，三角形单元,团聚质量阵：,一致质量阵：,四、特征值问题及其解法,自由振动方程：,基本解的形式：,代入特征值方程，得：,满足上面方程组的解及其相应的矢量称为特征值和特
4、征向量。,特征方程：,特征值求法（雅克比变换法与子空间迭代法）：,广义雅克比法：,特征阵的性质：,其中：,I 是单位阵,变换法的思想就是用迭代的方法来构成阵型矩阵，就是寻找一系列变换矩阵P(i)，使得K和M经过一系列的变换逐渐化为对角阵。,在变换K和M的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换，最终非对角线元素将趋于零。,在实际求解过程中，不必严格地把矩阵K和M所有的非对角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预设的精度：,五、ANSYS动力学分析,模态分析是确定结构的振动特性
5、，即固有频率和阵型。ANSYS的模态分析是线性分析，任何非线性特性都将忽略。,ANSYS提供了7种模态提取方法，它们分别是：子空间法（Subspace）；分块兰索斯法（Block Lanczos）；Power Dynamics法；减缩法（Reduced/Householder）；非对称法（Unsymmetric）；阻尼法（Damp）；QR法。,阻尼法和QR法允许结构中存在阻尼。,模态分析过程：,1、建 模 只有线性行为有效,2、加载及求解,进入ANSYS求解器；指定分析类型和分析选项；,New Analysis：ModalANTYPE,指定分析类型为模态分析,Modal Extraction MethodMODOPT,选择7种模态提取方法中的一种,3、扩展模态,若在POST1中观察结果，必须先扩展阵型即将阵型写入结果文件。,4、观察结果,
