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1、自动控制理论,第二章 控制系统的数学模型,内容提要：,本章重点:,a、微分方程,建立系统输入输出模式数学模型：,b、传递函数,c、方块图,d、信号流图,动态结构图的绘制,等校变换方法；各种模型表达形式之间的相互转换；梅逊公式的应用,第二章控制系统的数学模型,第一节 控制系统的时域数学模型,第二节 控制系统的复数域数学模型,第二章控制系统的数学模型,第三节 控制系统的结构图与信号流图,问题：,第二章控制系统的数学模型,何为数学模型?,数学模型的种类?,常用数学模型的种类：,静态模型,动态模型,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型,数学模型描述的是各变量间的动态关
2、系，则为动态数学模型,数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型,分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。建立数学模型的方法分为解析法和实验法,第二章控制系统的数学模型,上一目录,第二章自动控制系统的数学模型,解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。,实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,第一节控制系统的时域数学模型,第二章自动控制系统的数学模型,（1）确定系统的输入变量和输出变量,一、建立系
3、统微分方程的一般步骤,系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。,列写系统微分方程的一般步骤：,根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。,（2）建立初始微分方程组,将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。,（3）消除中间变量，将式子标准化,下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立,第一节控制系统的时域数学模型,uc,ur,二、常见环节和系统微分方程的建立,1 RLC电路(page 21),输入量：,输出量：,(1)确定输入量和输出量,(2)建立初始微分方程组,(3)消除中间变量，使式子标准化,
4、根据基尔霍夫定律得：,微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。,RLC电路是二阶常系数线性微分方程。,第一节控制系统的时域数学模型,C,L,R,i,2机械位移系统,系统组成：,质量,弹簧,阻尼器,输入量,弹簧系数k,m,阻尼系数f,F(t),输出量,x(t),(2)初始微分方程组,F=ma,根据牛顿第二定律,系统工作过程：,(1)确定输入和输出,F(t)F1(t)F2(t)=ma,中间变量关系式:,F2(t)=k x(t),消除中间 变量得:,第一节控制系统的时域数学模型,3电枢控制直流电动机(page 21),Ua,系统组成：,直流电机,负载,输入:电枢电压,励磁电流,Ia,电磁
5、转矩,Mm,负载转矩,Mc,摩擦转矩,Tf,工作原理：,电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.,输出:电动机速度,第一节控制系统的时域数学模型,第一节控制系统的时域数学模型,由图，直流电动机的运动方程由三部分组成：,1、电枢回路电压平衡方程：,2、电磁转矩方程：,3、电动机轴上的转矩平衡方程,第一节控制系统的时域数学模型,消除中间变量得到直流电动机的微分方程,第一节控制系统的时域数学模型,由于电枢电感 较小，通常可忽略不计，上式可简化为：(page 22 2-6),式中：,如果忽略 和，上式可进一步简化为：,第一节控制系统的时域数学模型,比较:R-L-C电路运动方程与 M-
6、S-D机械系统 运动方程,相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。,四、线性微分方程式的求解,工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。,拉氏变换法求解微分方程的基本思路：,线性微分方程,时域t,拉氏变换,代数方程,复数域s,代数方程的解,求解,拉氏反变换,微分方程的解,第一节控制系统的时域数学模型,1拉氏变换的定义,如果有一函数满足下列条件：,(1)t 0 时 f(t)=0,(2)t0 时 f(t)是分段连续的,f(t)的拉氏变换为：,记作 F(s)=Lf(t),拉氏反变换为：,f(t)=L-1 F(s),第一节控制系统的时域数学模型,2常用函数的
7、拉氏变换,(1)单位阶跃函数I(t),1,(2)单位脉冲函数(t),=1,(3)单位斜坡函数t,(4)正弦函数Sint,(5)余弦函数Cost,(6)指数函数,1,(7)抛物函数,第一节控制系统的时域数学模型,3拉氏变换的定理,(1)线性定理,Laf1(t)+bf2(t),=aF1(s)+bF2(s),例 求正弦函数f(t)=Sint的拉氏变换,解：,(2)微分定理,=sF(s)-f(0),例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换,解：,已知,=s2F(s)-sf(0)-f(0),第一节控制系统的时域数学模型,(3)积分定理,Lf(t)dt,(4)延迟定理,Lf(t-),例 求f(t)=t-
8、的拉氏变换,解：,t,t-,(5)位移定理,=F(s+a),解：,(6)初值定理,(7)终值定理,第一节控制系统的时域数学模型,4拉氏反变换,象函数的一般表达式：,分解为,零点,极点,转换为,则,部分分式法求拉氏反变换,实际上是求待定系数A1,A2,An.极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明.,待定系数,第一节控制系统的时域数学模型,第二节控制系统的复数域数学模型,一、传递函数的定义和性质,三、典型环节的传递函数,拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型传递函数。,第二章控制系统的数学模型,二、传递函数的零点和极点及 其对输出的影响,输出
9、拉氏 变换,一、传递函数的定义和性质,设一控制系统,输入,输入拉氏 变换,输出,传递函数的定义：,零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。,R(S),C(S),r(t),c(t),表示为：,将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。,G(S),第二节控制系统的复数域数学模型,例 求图示RLC电路的传递函数。,C,L,R,i,解：,输出量,输入量,根据基尔霍 夫定律：,拉氏变换：,RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s),传递函 数为:,第二节控制系统的复数域数学模型,零初始条件下拉氏变换得：,(a0 sn+a1 sn-1+an-1 s+an)C(s),=(b0
10、sm+b1 sm-1+bm-1 s+bm)R(s),系统微分方程的一般表达式为：,系统传递函数的一般表达式为,将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即,n=m,根轨迹增益,传递函数的极点,传递函数的零点,第二节控制系统的复数域数学模型,二、传递函数的零点和极点及其对输出的影响,第二节控制系统的复数域数学模型,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称系统的零、极点图。零点用“O”表示极点用“”表示,零、极点分布图（零、极点图）,第二节控制系统的复数域数学模型,传递函数另一种表示形式为：,式中，、称为时间常数；为传递系数或增益。,不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数
11、学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。,三、典型环节的传递函数,第二节控制系统的复数域数学模型,c(t)=Kr(t),C(s)=KR(s),放大倍数,取拉氏变换:,得传递函数:,1比例环节,微分方程:,比例环节方框图,单位阶跃响应：,拉氏反变换得:,c(t)=K,单位阶跃响应曲线,1,r(t),K,c(t),第二节控制系统的复数域数学模型,比例环节实例(page 33),(a),ur,uc,运算放大器,(b),线性电位器,传动齿轮,(c),r(t),c(t),K=i,第二节控制系统的复数域数学模型,单位阶跃信
12、号作用下的响应:,2惯性环节,微分方程:,时间常数,比例系数,拉氏变换：,TsC(s)+C(s)=KR(s),惯性环节的传递函数:,惯性环节方框图,拉氏反变换得:,单位阶跃响应曲线,设 K=1,1,r(t),c(t),T,0.632,第二节控制系统的复数域数学模型,ur,uc,惯性环节实例,(a),运算放大器,(b),RL电路,uL(t),第二节控制系统的复数域数学模型,TsC(s)=R(s),微分方程：,时间常数,3积分环节,传递函数：,拉氏变换：,积分环节方框图,单位阶跃响应：,单位阶跃响应曲线,1,c(t),r(t),T,拉氏反变换得:,第二节控制系统的复数域数学模型,第二节控制系统的复
13、数域数学模型,如当输入量为常值 A 时，,输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。,！改善系统的稳态性能,！具有明显的滞后作用,积分环节实例,(a),运算放大器,uc,ur,(b),直流伺服电机,第二节控制系统的复数域数学模型,4微分环节,理想微分环节微分方程：,微分时间常数,微分环节方框图,单位阶跃响应：,拉氏反变换得:,c(t)=T(t),单位阶跃响应曲线,c(t),r(t),运算放大器构成的微分环节,G(s)=RC s,第二节控制系统的复数域数学模型,RC电路构成的实用微分环节,理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。,传递函数:,单位阶跃响应:,单位
14、阶跃响应曲线,r(t),c(t),1,由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。,第二节控制系统的复数域数学模型,采用运算放大器构成的比例微分环节：,传递函数：,单位阶跃响应：,c(t)=KT(t)+K,单位阶跃响应曲线,1,c(t),r(t),第二节控制系统的复数域数学模型,5.振荡环节,微分方程：,时间常数,阻尼比,T,传递函数：,无阻尼自然振荡频率,振荡环节方框图,单位阶跃响应：,单位阶跃响应曲线,1,c(t),r(t),第二节控制系统的复数域数学模型,常见振荡环节的实例：,(1)机械位移系统,(2)他激直流电动机,(3)RLC电路,第二
15、节控制系统的复数域数学模型,动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。,第二章自动控制系统的数学模型,第三节 控制系统的结构图和信号流图,一、系统结构图的组成和绘制,系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、方框、综合点和引出点。,第三节控制系统的结构图和信号流图,1.信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,第三节控制系统的结构图和信号流图,2.信号引出点/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,第三节控制系统的结构
16、图和信号流图,3.比较点/综合点1.用符号“”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号,第三节控制系统的结构图和信号流图,4.方框/环节 函数方块具有运算功能,绘制动态结构图的一般步骤:,（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。,（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。,（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。,第三节控制系统的结构图和信号流图,第三节控制系统的结构图和信号流图,例：如下图是一个电压测量装置，试绘制该系统的结构图,第三节控制系统的结构图和信号流图,解：系统的组成：比较电路、机械调制器、放大器、两相伺服电动机
17、及指针机构。,比较电路：,调制器：,放大器：,第三节控制系统的结构图和信号流图,两相伺服电动机：,第三节控制系统的结构图和信号流图,绳轮传动机构：,测量电位器：,五、闭环系统的传递函数,1、系统的开环传递函数,2、系统的闭环传递函数,3、系统的误差传递函数,第二章自动控制系统的数学模型,1、系统的开环传递函数,闭环控制系统的典型 结构：,开环传递函数：,系统反馈量与误差信号的比值,E(s),B(s),=G1(s)G2(s)H(s),=G(s)H(s),第三节控制系统的结构图和信号流图,2、系统的闭环传递函数,1)给定信号R(s)作用,系统的典型 结构：,设 D(s)=0,典型结构图 可变换为：
18、,系统的闭环传递函数:,第三节控制系统的结构图和信号流图,2)扰动信号D(s)作用,设 R(s)=0,系统的典型 结构：,动态结构图 转换成:,前向通道:,D(s),C(s),反馈通道:,闭环传递函数为：,第三节控制系统的结构图和信号流图,_,R(s),E(s),3、系统的误差传递函数,1)给定信号R(s)作用,误差输出的动 态结构图:,前向通道:,反馈通道:,设 D(s)=0,E(s),C(s),误差传递函数为：,第三节控制系统的结构图和信号流图,+,D(s),E(s),2)扰动信号D(s)作用,R(s)作用下误差输出的动态 结构图:,前向通道:,反馈通道:,R(s)=0,E(s),C(s)
19、,误差传递函数为：,第三节控制系统的结构图和信号流图,例:,解:,D(s)=0,结构图变换为：,求,第三节控制系统的结构图和信号流图,C(s),E(s),求,结构图变换为：,解:,D(s)=0,第三节控制系统的结构图和信号流图,求,解:,R(s)=0,结构图变换为,-(1+H2/G1),系统传递函数为：,第三节控制系统的结构图和信号流图,C(s),E(s),求,解:,结构图变换为,R(s)=0,(1+H2/G1),系统传递函数为：,第三节控制系统的结构图和信号流图,总 结,自动控制 系统,建立微分 方程,系统传递 函数,建立动态 结构图,拉氏变换,梅逊公式,等效变换,解析法,拉氏变换,分析系统 性能,时域法,根轨迹法,频率法,第三章,第四章,第五章,性能校正,第六章,第二章自动控制系统的数学模型,
