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1、第6章 测量误差及数据处理的基本知识,6.1 概述 6.2 测量误差的种类 6.3 偶然误差的特性及其概率密度函数 6.4 衡量观测值精度的指标 6.5 误差传播定律 6.6 同精度直接观测平差 6.7 不同精度直接观测平差 6.8 最小二乘法原理及其应用,6.1 测量误差概述,测量误差及其来源测量误差（真误差=观测值-真值）测量误差的表现形式,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等,6.2 测量误差的种类,测量误差分为：粗差、系统误
2、差和偶然误差1.粗差(错误)超限的误差2.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。例：误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校),3.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。4.几个概念:准确度(测量成果与真值的差异）精（密）度（观测值之间的离散程度）最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）测量平差（求解最或是值并评定
3、精度）,6.3 偶然误差的特性,举例:在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i 进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。,用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。,各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,偶然误差的特性,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个
4、特性：(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,偶然误差具有正态分布的特性,当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小(d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。,6.4 衡量精度的指标,1.方差与标准差由正态分布
5、密度函数,Y,标准差的数学意义,称为标准差：,测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形,观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形,m1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差。m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：,2.容许误差(极限误差)根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：,3.相对误差(相对中误差)误差绝对值与观测量之比。用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大
6、相对精度较低。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。,K2K1，所以距离S2精度较高。,6.5 误差传播定律,在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。,二.一般函数的中误差公式误差传播定律,通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤：1.
7、列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。,例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：,解：列函数式 求全微分 中误差式,三.几种常用函数的中误差,设有函数式 全微分 中误差式,例：设有某线性函数 其中、分别为独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差。,2.线性函数的中误差,函数式 全微分 中误差式,3.算术平均值的中误差式,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。,4.和或差函数的中误差,当等精度观测时：上式可写成：,例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量 每站高差的中
8、误差，求总高差 的中误差。解：,函数式：全微分：中误差式：,用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m15。,四.误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：,求全微分：,其中：,水平距离中误差：,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(2)测量高差的精度 基本公式：,求全微分：,其中：,高差中误差：,例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.,解:(1)周长,全微
9、分:,周长的中误差为,面积,全微分:,面积的中误差为,(2)周长;周长的中误差为,面积,全微分:,但由于,得周长的中误差为,例4：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。,解：,由误差传播定律：,P点的点位中误差：,6.6 同（等）精度直接观测平差,观测值的算术平均值(最或是值)用观测值的改正数v计算观测值的 中误差(即:白塞尔公式),6.6.1.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值),证明算术平均值为该量的最或是值：,设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1=1-X 2=2-X n
10、=n-X上式等号两边分别相加得和：,当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,观测值的改正数v：,Vi=L-i(i=1,2,n),以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v，符合vv=min 的“最小二乘原则”。,6.6.2精度评定用观测值的改正数v计算中误差,由上两式得,对上式取n项的平方和,其中:,中误差定义:,白塞尔公式:,算例1:例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,76424
11、51.74,算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值；观测值的中误差；算术平均值的中误 差；算术平均值的相对中误差：,凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。,6.7 不同精度直接观测平差,一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1 权的定义：设一组不同精度的观测值为l i,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为,称Pi为观测值l i 的权。,1 权的定义：,对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：,2 权的性质（1
12、）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。,二、测量中常用的定权方法,1 同精度观测值的权对于一组同精度观测值l i，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定=m2，则一次观测值的权为：,n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：,同精度观测值算术平均值的权为：,2 单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值l i，一次观测的中误差为mi，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定=m2，则有：,数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：,相应中误差的另一表示方法为,3 水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度成反比。,4 角度测量的权与测回数成正比。,5 距离测量的权与长度成反比,三、非等精度观测值的最或是值加权平均值,设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为l1,l2,ln,其权分别为P1，P2，Pn。则观测量的最或是值为加权平均值：,四、加权平均值的中误差,
