《实变函数题库集答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数题库集答案.docx（20页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、实变函数试题库及参考答案本科一、题1 .设A8为集合，那么(A3)B=AB用描述集合间关系的符号填写)2 .设A是B的子集，那么NWI(用描述集合间关系的符号填写)3 .如果E中聚点都属于E,那么称E是闭集4 .有限个开集的交是开集5 .设鸟、马是可测集，那么Z(EIG)Wm6+m七(用描述集合间关系的符号填写)6 .设EUR”是可数集,那么川*E三O7 .设/(x)是定义在可测集E上的实函数，如果D，Ex(x)11ia,那么称“力在E上可测8 .可测函数列的上极限也是可测函数9 设力(X)=/(),ga)ng(x)，那么力(力+g()=/(力+g()10 .设/(x)在E上L可积，那么(x)
2、在E上亘积11 .设AB为集合，那么(8A).AnA(用描述集合间关系的符号填写)12 .设A=2左一Ik=I,2,那么N=Q(其中表示自然数集N的基数)13 .设Eu，”，如果石中没有不属于E,那么称E是闭集14 .任意个开集的并是开集15 .设4、%是可测集，且EIUE2,那么机6mG16 .设E中只有孤立点,那么双*E=017 .设/(x)是定义在可测集E上的实函数，如果DJ,EMx)拄=|吧L外(碎拄21 .设A3为集合，那么(A8)lB=822 .设A为有理数集，那么了二。(其中。表示自然数集N的基数)23 .设EUy”,如果片中的每个点都是内点，那么称E是开集24 .有限个闭集的交
3、是闭集25 .设EU/，那么ME026 .设E是二中的区间，那么m*EE的体积27 .设/(x)是定义在可测集七上的实函数，如果DaeJ七中(x)是可测集，那么称/(x)在E上可测28 .可测函数列的极限也是可测函数29设力(X)=/(%)，gz,(x)=g()0e,那么力(%)=g(x)30 .设力(X)是七上的非负可测函数列，且单调增收敛于7(x),由勒维定理，有31 .设AB为集合，那么(8A)L,A=AB32 .设A为无理数集，那么N=C(其中C表示自然数集0,1的基数)33 .设Eu”，如果石中没有不是内点的点，那么称E是开集34 .任意个闭集的交是闭集35 .设EU二，称E是可测集
4、，如果VTu：，mT=m(T)+加(丁一)36 .设E是外测度为零的集合，且尸U石，那么mF=037 .设/(x)是定义在可测集E上的实函数，如果D1,ElXk(x)v可是可测，Zd那么称x)在E上可测38 .可测函数列的上确界也是可测函数39 .设力(X)=g(x)=g(%)”,那么。(x)g(力=/(x)g(x)40 .设力(6=/(力，那么由黎斯定理，力(砌有子列,(切，使人)(x)e.于七41 .设AB为两个集合,那么4一4.(等于)42 .设EURH,如果E满足E=E(其中E表示E的导集),那么E是闭.43 .假设开区间(a,)为直线上开集G的一个构成区间,那么(2,力)满qG(n)
5、aG,b出G44 .设A为无限集.那么4的基数(其中a表示自然数集N的基数)答案：45 .设昂马为可测集,机七a是可测集E上的可测函数.47 .设%是E(UR)的内点,那么E_0.答案48 .设0(X)为可测集E上的可测函数列,且工(X)=f(x),xM那么由黎斯一定理可知得,存在AU)的子列4(%)卜使得(X)f(XE).49 .设/(X)为可测集E(口R)上的可测函数,那么f(x)在E上的L积分值不一定存在且I/(X)I在E上不一定L可积.50 .假设/(x)是句上的绝对连续函数,那么/(x)是切上的有界变差函数.51 .设A8为集合，那么AIB(BA).A答案二52 .设EUR,如果E满
6、足EO=E(其中EO表示E的内部)，那么E是开集53 .设G为直线上的开集，假设开区间3,份满足(a,qG且。任G,任G,那么(a,加必为G的构成区间54 .设A=xx=2几为自然数,那么A的基数=(其中。表示自然数集N的基数)55 .设A3为可测集，BqA且m4vxo,那么加4一次3_m(A3)答案:56 .设/(x)是可测集七上的可测函数，那么对任意实数。,仇力，都有仇乂。/(冗)勿是可测集57 .假设E(qR)是可数集，那么加6_0答案=a.e58 .设0*)为可测集七上的可测函数列，f(x)为七上的可测函数，如果r(x)/(x)(XWE)，那么ZI(X)=f(x)XE不一定成立59 .
7、设/(幻为可测集E(=R)上的非负可测函数，那么/*)在E上的L积分值一定存在60 .假设/(x)是a,切上的有界变差函数，那么/(x)必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差)多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)1 .设E=0,1中无理数,那么(ACD)AE是不可数集BE是闭集CE中没有内点DmE=X2 .设EUj是无限集，那么(AB)AE可以和自身的某个真子集对等BEa(。为自然数集的基数)A函数JX)I在E上可测B/(x)在E的可测子集上可测C/(x)是有界的DfG)是简单函数的极限4 .设力是W句上的有界函数，且黎曼可积，那么(ABC)Af(x)在,可上可测BF(X)在,b上L
8、可积C”力在。,句上几乎处处连续D工)在4以上几乎处处等于某个连续函数5 .设EUm”,如果E至少有一个内点，那么(BD)AE可以等于OBm*EOCE可能是可数集OE不可能是可数集6 .设EuR是无限集，那么(AB)AE含有可数子集8E不一定有聚点CE含有内点DE是无界的7 .设Ya)I是E上的可测函数，那么(BD)A函数在E上可测8 Va)I是非负简单函数列的极限Clfa)I是有界的“/(力|在E的可测子集上可测8.设X)是凡句上的连续函数，那么(ABD)A/(x)在,以上可测B/(力在。肉上L可积，且(R)17(x9=(L)JM/(x)公C力在上L可积，但(R)(aw(L)JM)(工协D/
9、(力在。,可上有界9.设Da)是狄利克莱函数,即D(X)= ,1X为0,1中有理数0阕0,lj中无理数那么(BCD )AO(X)几乎处处等于1BO(X)几乎处处等于0C。(力是非负可测函数DD(X)是L可积函数10 .设EUW”,mE=0,那么(ABD)AE是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集/、1xeE11 .设Eu,p(x=，那么(AB)ev7xeEcA当E是可测集时，然(X)是可测函数B当然(X)是可测函数时，E是可测集C当E是不可测集时，选(冗)可以是可测函数D当;(x)是不是可测函数时，E不一定是可测集12 .设/(可是(上的连续函数，那么(BD)A/(x)在
10、(,b)上有界B/(x)在(上可测C/(x)在(,b)上L可积力/(%)在ayb)上不一定L可积13 .设/(%)在可测集E上L可积，那么(AC)Af+(x),广(X)都是E上的非负可积函数Br(x)和f(x)有一个在E上的非负可积C(x)在E上L可积DY(X)I在E上不一定L可积14 .设EuW”是可测集，那么(AD)A是可测集BfnEV+CE的子集是可测集DE的可数子集是可测集15 .设4(X)=/(x),那么(CD)A力(力几乎处处收敛于x)8力(力一致收敛于C(力有子列力(同，使力(x)(x)e于ED3(司可能几乎处处收敛于/(x)16 .设/(五)是。,以上有界函数，且L可积，那么(
11、BD)A/(x)在a,。上黎曼可积Bf(X)在a,句上可测C/(x)在句上几乎处处连续。/(1)在卜力上不一定连续17 .设E=UO,1中的无理点,那么(CD)（八）E是可数集(B)E是闭集(C)E中的每个点均是聚点(D)mE018 .假设E(NR)至少有一个内点，那么(BD)（八）加七可以等于0(B)mE=0(C)E可能是可数集(D)E不可能是可数集19 .设Eqa,勿是可测集，那么E的特征函数力式的是(ABC)(A) a,加上的符号函数(C)E上的连续函数(B) m,加上的可测函数(D)3,切上的连续函数20 .设/(x)是m,句上的单调函数，那么(ACD)（八）/(x)是句上的有界变差函
12、数(B)/(X)是a,句上的绝对连续函数(C)/(x)在句上几乎处处收敛(D)f(x)在a,切上几乎处处可导21 .设E=Ho,1中的有理点,那么(AC)（八）E是可数集(B)E是闭集(C)mE=0(D)E中的每一点均为E的内点22 .假设E(qR)的外测度为0,那么(AB)（八）E是可测集(B)mE=0(C)E一定是可数集(D)E一定不是可数集23.设机Ev+8,0(X)为E上几乎处处有限的可测函数列，/(x)为E上几乎处处有限的可测函数,如果力(X)=f(),(wE),那么以下哪些结果不一定成立(ABCD)（八）/(X心存在(B)/(X)在E上L可积Je(C)f(x)(x)(xE)(D)J
13、M(RXr=JJ(XXV24.假设可测集七上的可测函数/(x)在石上有L积分值，那么(AD)(A) f+(x)EL(E)与尸(幻L(E)至少有一个成立(B) /+*)L(E)且尸(x)L(E)(C) (x)在E上也有L-积分值(D) I/(x)L(E)三、单项选择1.以下集合关系成立的是(A)2,假设EuR”是开集，那么(B)4 .设力(力是E上一列非负可测函数，那么(B)5 .以下集合关系成立的是(A)6 .假设EuR”是闭集，那么(C)7 .设E为无理数集，那么(C)AE为闭集8E是不可测集CmE=wDmE=O9 .以下集合关系成立的是(B)10 .设EUR,那么（八）11 .设P为康托集
14、，那么(B)A尸是可数集BmP=0CP是不可数集DP是开集13 .以下集合关系成立的是（八）A假设4(=3那么匚48假设AUB那么ACU牙C假设AuA那么AB=BD假设AUB那么AU5=314 .设EUR”,那么（八）15 .设E=(x,0)0xl,那么(B)AznE=IBmE=OCE是K?中闭集。七是R2中完备集aEx)g(x)不一定是可测集bex(X)Hga)是可测集C耳巾(X)g(x)是不可测集Dex(x)=(x)J不一定是可测集17 .以下集合关系成立的是(A)(A) (AB)i B = AI B(C) (BA)JAA18 .假设E(R”)是开集，那么(A) E的导集=E(C) E =
15、 E19 .设P的康托集，那么(C)(A) P为可数集(C) mP = O(8) (A8) B = A(D) BAA(B )(B) E的开核=E(D) E的导集=E(B) P为开集(D) mP = (D )20、设E是R中的可测集，奴的是E1上的简单函数，那么(A) O(X)是E上的连续函数(C) 8(x)在E上一定不L可积21 .以下集合关系成立的是(A )(A) A (8C) = (An3)U(4 Q(C) (3A) A = 022 .假设E(qR)是闭集，那么(B(A) E0 = E(C) EJE23 .设0的有理数集，那么(C )(A) mQ0(C) WQ = O(B) O(X)是E上
16、的单调函数(D)以外是E上的可测函数(B) (AB) A = 0(D) AJBAB(B) E = E(D) E=E(B)。为闭集(D)。为不可测集(A)在E上，F(X)不一定恒为零(B)在 E上，/(x)0(C)在上上，/(x)0(D)在 E上,/(x)0四、判断题1 .可数个闭集的并是闭集.()2 .可数个可测集的并是可测集.()3 .相等的集合是对等的.()4 .称/(x),g(x)在七上几乎处处相等是指使/(x)g(x)的X全体是可测集.()5 .可数个工集的交是工集.()6 .可数个可测函数的和使可测函数.()7 .对等的集合是相等的.(X)8 .称x),g(x)在E上几乎处处相等是指
17、使/(x)=g(x)的X全体是零测集.(X)9 .可数个G集的并是G。集.()10 .零测集上的函数是可测函数.()11 .对等的集合不一定相等.()12 .称),g(x)在E上几乎处处相等是指使/(x)g(%)的X全体是零测集.(13 .可数个开集的交是开集()14 .可测函数不一定是连续函数.()15 .对等的集合有相同的基数.()16 .称),g(x)在E上几乎处处相等是指使/(x)g(%)的X全体的测度大于0(X17 .可列个闭集的并集仍为闭集(X)18 .任何无限集均含有一个可列子集()19 .设E为可测集，那么一定存在Go集G,使EG,且m(GE)=O()20 .设E为零测集，力为
18、E上的实函数，那么不一定是E上的可测函数()21 .设/(x)为可测集E上的非负可测函数，那么冗)L(E)()22 .可列个开集的交集仍为开集(X)23 .任何无限集均是可列集()24 .设E为可测集，那么一定存在Ey集产，使FqE,且加(Eb)=O.()25 .设E为零测集，那么/(x)为E上的可测函数的充要条件是：D实数。都有Ex/(x)是可测集()26 .设/(x)为可测集5上的可测函数，那么J7(%*r一定存在.()E五、简答题1 .简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A
19、,A的事集2人的基数大于A的基数.2 .简述点集的边界点，聚点和内点的关系.答：内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3 .简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4 .0,可上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.5 .简述集合对等的根本性质.答：AA；假设AB,那么3A；假设AB,且3C,那么AC.6 .简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和
20、聚点组成.7 .可测集与开集、G(J集有什么关系？答：设七是可测集，那么VeO,三开集G,使Gn石，使MGE)vc,或三G(T集G,使GnE,且机(GE)=O8 .,上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数.9 .简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.答：假设AB*uB,又BA*uA,那么AB10 .简述“中开集的结构.答：设G为“中开集，那么G可表示成“中至多可数个互不相交的开区间的井.11 .可测集与闭集、%集有什么关系？答：设七是可测集，那么De0,三闭集“UE,使机()或三入集尸uE,使
21、根(Eb)=.12 .为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由假设当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.13 .简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.14 .简述R中开集的结构.答：R中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并15 .可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？答：设力(X)J(M是可测集石上的一列可测函数，那当机Ev时,力(x)(犬),ae于E,必有力(X)=/(戈).反之不成
22、立，但不管mEv+oo还是mE=+oo,力(冗)存在子列九(工)卜使力X(X)Tk(r),ae于E.当nE(%),ae于E,由ElgOn犷定理可得力(X)近一致收敛于,反之，无需条件7ftv+,结论也成立.16 .为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由假设当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.17 .简述无穷多个开集的交集是否必为开集？+/1、答：不一定,如Q11H=1,1”=人nn)18 .可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式
23、.19 .0,可上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.20 .简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？+1C答：不一定如一1,1H二(-1,1)=1Ln21 .可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系？答：E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上可测函数在E上是“根本上连续的函数22 .0,可上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、计算题Y22xg0E，其中七为/中有理数集，求!”x)公解：因为帆E=O,所以/(
24、x)=V&e于0,1,于是f(x)dx=x,dx.0,1而V在0上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系,因此/(x)d=-.42设沙为05中全体有理数，Zl(X)= 0因此Ii史 /,(x)d = O.d0.13.设/(X)=，sinx xeP广 ，、Y 。3尸为康托集求JJa)公解：因为mP = O,所以/(x) = 2Me于0,1于是 f(x)dx= x2cbc.而/在0/上连续，所以因此f(x)dx=-.M34设力(力=；：!：)，X求四AW1十人0,1解：因为力()在05上连续，所以可测(=1,2,.)又优nxsin(m;) + n2x2 I 嗤=；心=12my而5江/?
25、=所以理，(力=0因此由有界控制收敛定理X3 xEx 0, E25.设F(X)= ,COSX，E为0,-中有理数集,2求 f(x)dx.解：因为mE=O,所以/(x)=CoS元,ae于0,1于是Jf(X)dx=Jcosxdx00而CoSX在0,-上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式_2_因此Jf(x)dx=6.设力(X)=-jAx0,l,求fnxdx.解：因为ZIa)在0上连续,所以可测5=1,2,)VIffrllxcos(r)nxnxr1xxj-l+n2x2l+n2x22nx2ljMy而Iim=0,所以Iim/；(X)=0.W-00+X-11-oo因此由有界控制收敛定理7.设/(x) =
26、,P为康托集，求ff(xdx.XXo,P点解：因为加尸=0,所以/(x)=x,e于0,1于是fxdx=xdx0,1而X在0,1上连续，所以因此fx)dx-.2,广In(X+)8.求Iimcosxdx.n*J(。解：令fn(%)=9。.)(X)：；)COSX显然力(力在(0,y)上可测，且因为Im)IUVc。sx皿辿，入(。，+8)，e2-n不难验证g()=hl5+”),当足够大时，是单调递减非负函数，且img()=Of所以,由勒贝格控制收敛定理故IimfM(X+)/COSXdX=0.扁八n/、f1X为0，1上的有理点fCC/、9设Z)(X)=IO访网上的无理煞求产四证明记用是05中有理数集，七
27、是0/中无理数集，那么0,1=E1UE2,E1E2=0,mEx=09mE2=1,且。(X)=I物+0加，所以Dxdx=tnEx+OwE2=0.r+ln(x+)r,10求IImLecosxdx.nJO证明易知Iimln(r+)e-xCoSX=Own.In(X+)、ln(x+w)对任意x0,“l,二eTeOS%二Lnny,/1 /、ln(x+y)设/(y)=n(x+y),y0,那么f,(y)=rL!12,yy当y3时，一z-1ln(x+y),(y)+/%p所以Jfxdx=x2wP+x3w(,1-P)=X3IZ求工(X)=N，E=。，求!吧!力(x)公.解：易知：Iimnx=(x,11)令f(x)=
28、77与Kg(x)=4,1+nXX那么g(x)一力(力=5一谭F1+n2x2-nxHX 2n 2 + 2x2* 1 + m2x2*x_l+r2(n-x)所以0力(力g(祖X0,1,1)又因为g(x)在0,1上可积,所以由控制收敛定理，得Iimf-c=(to=0n*lnXjrL匕七、证明题1 .证明集合等式：(A3)B=AB证明2 .设E是0,1中的无理数集，那么E是可测集，且“E=I证明设产是0,1中的有理数集，那么F是可数集，从而W尸=0,因此F是可测集，从而F可测,又E=0,l尸=0,lFct故E是可测集.由于&F=0,所以1=d0,1=m(EJF)=mE+mF=0+mF,故mF=13 .设
29、/(x),g(x)是E上的可测函数，那么EU(x)g(x)是可测集证明设匕为全体有理数所成之集，那么因为f(x),g(x)是E上的可测函数，所以仇x*)Cj,-g(x)v;是可测集,n=l,2,于是由可测集性质知Exf(x)g(x)是可测集4 .设F(X)是E上的可测函数，那么对任何常数。0,有加以R(X)I/Jj/(X)Hy证明因为/(x)在E上可测，所以(X)I在E上非负可测，由非负可测函数积分性质,而Mea=E3(Ml，所以5 .设/(x)是E上的L一可积函数，gj是E的一列可测子集，且Iim加工=0,那么noo证明因为HmmE“=0,所以S03Nl,当N时，mEnO,mSO,当euEz
30、e5时Ijf(x)dx于是当时，mEn,因此Iff(x)dxf即Iimff(x)dx=0JEnnJEl,6 .证明集合等式：A(AB)=AB证明A(AB)=A(4lBt)c=An(ACU(8)=A(AB)7 .设a，A?是0的可测子集，且加4t+m&i,那么&)。证明因为AUol,A2u0,1,所以AU4u0,1,于是加(A1UA2)制O,l=l另一方面，1.,a2=a,(a,11a2)ja2,所以MAJ4)=机Qa(a4)U4)=AA(A】&)+哄=J研一切(A2)+mA2于是w(lr)A2)=wl+mA2-w(lA2)08 .设/(x)是定义在可测集EuN上的实函数，纥为E的可测子集=1,
31、2,),且E=U纥，那n=l么/(X)在E上可测的充要条件是/(X)在每个En上可测证明对任何实数。，因为所以/(x)在上上可测的充要条件是对每个=1,2,/(x)在每个E“上可测9 .设/(x)是E上的可测函数，那么对任何常数。0,有机&x(x)0eLu)公证明因为/(x)在E上可测，所以“是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，eadxefdxeMdxJExf(x)aJf(x)Je而feadx=eJmExf(x)a，JEMf(x)a7所以mEx(x)aeefxdx10 .设/(x)是E上的可积函数，纥为E的一列可测子集，mE那么I吧J/f(x)dx=f(x)dx证明因/(元)在E上L-
32、可积，由积分的绝对连续性知，对任意0,存在b0,对任何当zAS时有Iffxdx,由于Iimm纥=mE。，存在女,当匈时E,E,且有机七一“纥二m(E凡)6,于是J(MJ/(XaI=IJ/垄f(x)dx(x),g(x)=g(x),那么ZI(X)+g/x)nf(x)+g(x).证明对任何正数b0,由于所以仇才I(力(X)+g(x)-(/(x)+g(x)于是mEix(,(x)+g(切-(/(%)+g(x)l故fU)+g()=W+g(%)14 .设/(x),g(x)是E上L一可积函数，那么J/?)+g2(x)在E上也是L一可积的证明因/(x),g(x)是E上L一可积，所以(x),Ig(X)I在E上L-
33、可积，从而(x)+g(x)L-可积，又7777(+)2=+Ig(X)I故J2()+g2()在E上L一可积15 .设/(x)是可测集片上的非负可测函数，如果Jj(x心=0,那么f(x)=Oae于E证明反证，令A=Ex(x)0,那么由/(x)的可测性知，A是可测集.下证加4=0,假设不然,那么zAO由于A=Ex(X)0=U仇x(x)一所以存在Nl,使11=n于是Jj(XwXJw“吟J(X心rw“哈ldr=l(x)l=0因此IJ(X心0,矛盾，故F(X)=Oae于E16 .证明等式：A(BC)=(AB)(AC)证明17 .设EuN是有界集，那么m*E.证明因为E是有界集，所以存在开区间/,使Eu/由
34、外测度的单调性，mEmI,而/=+oo(其中|/|表示区间/的体积)，所以mE是开集，而开集为可测集，因此f(x)是可测函数19 .设zEv+oo,函数/(x)在E上有界可测，那么f(x)在E上L-可积，从而,句上的连续函数是L-可积的证明因为/(x)在E上有界可测，所以存在例0,使(x)M,XE,I/(X)I是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，故If(X)I在E上L-可积，从而/(x)在E上L-可积因为句上的连续函数是有界可测函数，所以L-可积的20 .设(幻1=1,2,，)是E上的L一可积函数，如果Jiy(幻也=0,那么。证明对任何常数b0,mEIfn(x)(fn(x)dx所以机不
35、“(x)b%a.(x)g因此r(x)=o21 .证明集合等式：(AB)C=(AC)U(BC).证明(AU3)C=(AU5)C=(a11C)U(3C)=(AC)U(3C)22 .设4=0,l中的有理点,那么EO为可测集且mEO=0.证明因为EO为可数集，记为=g2%,V0,取/=-券“品)=12)+00+00+Rx尸显然E0.m,所以EoUU/,Q&Z”=Z不t=，让0,得Eo=O.TR,由于7=(7E0)(T以)所以z7W(T线)+W(TE0r).又7)EocT,m*Eo=O,所以MTM(TQ玲)=(TT)4)+M(T114).故机7=t(TEo)+W(t11Eo)故EO为可测集，且加EO=O
36、23 .证明：网上的实值连续函数/(力必为N上的可测函数证明V,b*,不妨假设。力，因为力是网上的连续函数，故/(x)是可上的连续函数，记产=,Z?,由/(x)在/上连续，那么mM,m(九),使加(x)f,那么显然易证，VaRF(fa)是闭集，即/(x)为可上的可测函数，由的任意性可知，/(x)是网上的可测函数.24 .设(x)L(E)，Ej为E的一列可测子集，mE0,存在60,对任何AqE,当iAvb时有Iffxdx,由于IimmE=?E0,存在心，当时JAnEnaiE,且有mE-mErj=m(E-En)Vb,于是IEfxdx-f(x)dxHEf(X)JX,即25 .证明集合等式：a(bjc
37、)=(ab)u(ac).证明26 .设Eq*,且加*E=0,那么E为可测集.证明TRh,由于DTRT=(TQE)J(口)所以z7加(TQE)+(r|).又TEwT,nE=0,所以mTm(T1Ec)=m(T|E)+m(Tll).故机7=疝(TlE)+W(TIEr)所以E为可测集27 .证明：网上的单调函数/(力必为可测函数.证明力*,不妨假设力，因为/(x)是上的单调函数，不妨设/(x)为单调增函数，故/(x)是,可上的单调增函数,即Wp%2eEtxlaj=0;xeE2)当inf(x)时，2国f(x)=E;3)当inf/(x),()a或/(+0),(-0)0=七0(%0,+8)或七小,十00).在所有情况下，ex/(x)都可测.即力是口肉上的可测函数.由由的任意性可知，/(可是网上的可测函数.28 .设力为可测集EqN上的可测函数，那么/(x)L(E)的充要条件(刈L(E).证明必要性假设/(x)cL(E),因为x)=r)+广(无)，且/(x)L(E)所以Jr(XHrj/-(工灶中至少有一个是有限值，EE故J()=J-(世+J-(世即Ya)Ime)充分性假设Ya)Ime)因为/(x)=W-，且(x)EL(E)所以j+(今仅Jf-(XHX中至少有一个是有限值,EEft(x)d=+(x)6tr-(x),EEE即x)L(E)
