《第01讲5.1导数的概念及其几何意义（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第01讲5.1导数的概念及其几何意义（解析版）.docx（15页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、课程标准学习目标初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。会求函数的平均变率与瞬时变化率。能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率.知识点01:函数的平均变化率1、定义：一般地，函数/(X)在区间国,七上的平均变化率为：与三表示为函数/(x)从占到工2的平均变化率，若设x=x2-x1,y=(x2)-(xl)则平均变化率为绿=)(y2)一/(再)=/(,+)一/(XJxx2-xix2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出Ay=/(吃)一/(/)和=X2一玉y(x1)作商：对所求得
2、的差作商，即/二-xx2-xl【即学即练U(2023全国高二课堂例题)已知函数/(x)=3x+2,g(x)=f,分别计算它们在区间-2,7,1,5上的平均变化率.【答案】3；3；3；6【详解】函数/(x) = 3x + 2在-2,-1上的平均变化率为/2)0(7)+2卜30+2(-1)-(-2)1函数x)=3x+2在1,5上的平均变化率为弋二。)=(3x5+2)-(3xl+2)=3函数g(x)=/在-2,-1上的平均变化率为牛1舁=与=-3.函数g(x)=r在1,5上的平均变化率为乳生型=二1=6.5-143、平均变化率的几何意义yf(x2)-,(x1)平均变化率三，；二如图:表示直线.的斜率
3、。知识点02：函数P=(X)在X=XO处的导数(瞬时变化率)1、定义：函数/(x)在X=x0处瞬时变化率是Iim包=Iim上Ar)二/、。),我们称它为函数y=f(x)x0MrOX在X=XO处的导数,记作r(%)或MEO即/G。尸!吗M=呵voArro【即学即练2(2023全国高二随堂练习)已知函数y=L求自变量X在以下的变化过程中，该函数的平均变化率:自变量X从1变到1.1；(2)自变量X从1变到1.01；(3)自变量X从1变到1.001.估算当x = l时，该函数的瞬时变化率.【答案】(1)10小、100、1000：(2)； (3)： -1111011001【详解】(1)因为 y = ()
4、 = g,1 1Tj-T_ io.1.1-10.1所以自变量X-S11/(1.01)-(l)_TTT_100,0.01101所以自变量X-翳(3)/(Lool)-/(1)_LoOl一1_I。，1.001-10.0011001所以自变量X-IOOO1001所以可估算当X = I时,y = L的瞬时变化率为-1,证明如下: X而与=/(1+-)-/(1)=占卜高，则於日所以4在X=I处的瞬时变化率为期。%=!色京=T2、定义法求导数步骤:求函数的增量：y=(xo+x)-(xo);求平均变化率：包=/(X。+AY)一x。)；xx求极限，得导数U)=M)M=岫Vo+Ay) 一/(%)知识点03：导数的
5、几何意义如图,在曲线V=/()上任取一点Paj(X)P(x,(x),如果当点P(Xj()沿着曲线歹=f()无限趋近于点(%,/(%)时,割线。无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线U称为曲线N=/()在点P0P0P的斜率k=【即学即练3(2023高二课时练习)已知函数/a)=/-%,当0时，“I+?-、。；.h【答案】1【详解】因为/(X)=V-X,所以/(1+)-/。)_(l+A)2-(l+p-(12-l)Jh=21hh一一所以当A0时，八？一/1,h故答案为：1知识点04：曲线的切线问题1、在型求切线方程已知：函数/(x)的解析式.计算：函数/(x)在X=X。或者(Xo,/(4)处的
6、切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标/(%)(方法：把X=XO代入原函数/(%)中)，切点(Xo,/(/).第二步：计算切线斜率左=/).(x0,(x0),切线斜率=/(/)。根据直线的点斜式方程得到切线方程：-/()=(0)(-).【即学即练4】(2023上高二课时练习)已知/(x)=r,求曲线y=(x)在点尸(0,0)处的切线方程.【答案】V=O【详解】根据题意，先由导函数定义求曲线y=()在点尸(0,0)处切线的斜率/(0)：当/,0时，力)/(0)=止，2,从而当才趋近于0时，(o)=ynj2=O.因此，曲线y=/在点?(0,()处切线的斜率为0根据在线的点斜式方程为y-0=0(x
7、-0),BPj-O;于是，所求切线方程为F=O.2、过型求切线方程已知：函数/(x)的解析式.计算：过点4区,必)(无论该点是否在歹=(x)上)的切线方程.步骤：第一步：设切点(/Jo)第二步：计算切线斜率左二/（/）；计算切线斜率=mXI-XO第三步：令：左=/（/）=5%,解出代入左二/（%）求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-o=,（）（-）.【即学即练5（2023高二单元测试）试求过点Pa-3）且与曲线y=f相切的直线的斜率.【答案】-2或6【详解】设切点坐标为（XOj0）,则有,=.因为V=Iim包=Iim丝二匚=2x,所以左=2%.rOAYrOAv切线
8、方程为丁一汽二2%（X-X0）,将点（1,一3）代入，得一3-x：=2x0-2x3所以片一2/一3=0,得XO=-I或Xo=3.当Xo=T时，k=-2i当XO=3时，k=6.所以所求直线的斜率为-2或6.题型Ol求物体运动的平均速度（含平均变化率）【典例1】（2023下河南新乡高二统考期中）某物体沿直线运动，其位移S（单位：m）与时间f（单位：S）之间的关系为s（f）=j+g则在144这段时间内，该物体的平均速度为（）911A.2msB.-msC.m/sD.3ms44【答案】B【详解】由位移S与时间，之间的关系为SO）=，?+/,根据平均变化率的计算公式，可得在1Z4这段时间内，该物体的平均速
9、度为：故选：B.【典例2】（2023下江西九江高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程N与时间UW2，也出，儿，W/上的平均速度的大小分别为E，E则平均速度最小的是（）A.v1B.v2C.v3D.V4【答案】C【详解】由题意知，汽车在时间%,4，及4，L/，NH上的平均速度的大小分别为i，E，E，G，设路程y与时间Z的函数关系为歹=,则I=，*,即为经过点&j（g）,&,/6）的克线的斜率K，z2-zi同理E为经过点GjG)，&，/6)的直线的斜率乃，E为经过点&，/&)，&J(O)的直线的斜率收，E为经过点6,/&),&,/&)的直线的斜率勺，如图，由图可知，自最小，即7最
10、小.故选：C.【变式1(2023下辽宁阜新高二校联考阶段练习)函数/()=点在区间1,8上的平均变化率为()11Cl1714147【答案】B【详解】8)-1)_2=1，8-1714故选：B.【变式2(2023全国高二课堂例题)某物体做自由落体运动，其运动方程为s)=ggf2,其中，为下落的时间(单位：s),g2.求它在时间段1,3内的平均速度.【详解】物体在时间段L3内的平均速度为：5(3)5(1)=9gZ=2g=19.6(ms),3-14即它在时间段1,3题型02求物体运动的瞬时速度(含瞬时变化率)【典例1】(2023下宁夏银川高二宁夏育才中学校考阶段练习)在高台跳水运动中，ZS时运动员相对
11、于水面的高度(单位：m)是ME)=-4.9+6.5/+10,则运动员在f=Is时的瞬时速度为()A.-3.3m/sB.-8.2m/sC.3.3m/sD.1.6ms【答案】A【详解】运动员在f=ls时的瞬时速度即为，令歹=00,根据导数的定义，包=力O+4).(I)/At=T.9r-3.3,所以/=Iim包=Iim(-4.9-3.3)=-33,AffONAffO故运动员在，=IS时的瞬时速度为-3.3ms.故选：A.【典例2】(2023河南高二校联考阶段练习)函数/(X)=V在区间0,2上的平均变化率等于X=加时的瞬时变化率，则()aIB.1C.2D.I【答案】B【详解】函数/Cr)=/在区间0
12、,2上的平均变化率等于“22-/(0)=W=2,/(X)=V在X=M时的瞬时变化率为Iim。誓一/(M=Hm4+加)=2n,所以2=2m,解得小=1.故选：B【变式1(2023下浙江嘉兴高二校联考期中)函数/(x)=V在x=2处的瞬时变化率为()A.-2B.2C.4D.-4【答案】C详解因为/(2+)-/(2)=(2+以)2-4=4+4以+州-d.好匚xxx所以，函数/(X)=/在X=2处的瞬时变化率为r(2)=lim2AY)-/(2)=Hm(x+4)=4故选：C.【变式2(2023高二课时练习)已知一物体的运动方程是s=24l3F(s的单位为m,，的单位为s),则物体在/=s时的瞬时速度为1
13、2ms.【答案】2【详解】在f到f+ZV这段时间内，物体的平均速度为U=半=s+)=246L3&.当加无限趋近rr于。时，U无限趋近于246b由题意得246/=12,解得Z=2s.故答案为：2.题型03曲线在某点处的切线斜率或倾斜角【典例1】(2023高二课时练习)已知函数/(x)=x-g,则该函数在X=I处的切线斜率为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【详解】因为/(l+r)=(l+x)-),a11Ax=,y+1=x+,lxlx所以斜率k=Iim/(I+)-八1),ArTo=IimI1+!I=I+1=2.0l+xJ故选：C【典例2】(2023下湖北高二校联考期中)点P在曲线y=23-6+
14、9上移动，设点尸处切线的倾斜角为a,则角的范围是()2、八2x冗Q冗、A.,IB.0,-Iu,lC.0,)D.-,Olu-,I【答案】B【详解】解：由y=2一底+：,可得y=6一JL所以yw卜b,H),即2二tan-6,+e),当tan卜五0)时，ag,),当tana,+e)时，a。，所以角a的范围是O,juy,.故选:B.【变式4(2022下安徽黄山高二屯溪一中校考期中)设/(x)为可导函数，且满足!5正守W=T,则曲线y=(x)在点(2J(2)处的切线的斜率是()A. .2B. -2D. -1【答案】B【详解】分析：化简lim52)-(2一)=_得到/，(2),即得切线的斜率.详解盛以好叫
15、UHn/-/Qi）一2A0fj,(2)=-l,/=-2=左，故曲线y=(x)在点(2J(2)处的切线的斜率是2,故选B.【变式2(2022河北邯郸,统考一模)已知函数/(x)=0+lnx满足Iim一，da=2,则曲线z03rN=(x)在点(提/助处的切线斜率为.【答案】3,、土,1./(l)-(l-2zkv),七尔/(l-2x)-(l).【详解】1：Iim心-乙一乂=2,可得Iim八=3.ArTo3Xr0-2x因为/(x)=2x+L所以八l)=24+l=3,即。=1,则/(x)=+lnx,X所以/(x)=2x+Jg)=3.故答案为：3.题型04导数定义的理解与应用【典例1】(2023上海浦东新
16、高三华师大二附中校考期中)若/(x)为可导函数，且Iim心)-/。)=一74x则过曲线y=()上点(IJ(I)处的切线斜率为.【答案】2【详解】lim.心Ml)=T,故y=Iim/(心)_1)=2.XTO4xIQ-2x故答案为：2【典例2】(2023下河南高二校联考阶段练习)已知函数y=(x)是可导函数，且/(2)=-3,则lim(2)-(22x)sv05x【答案】/1.2【详解】因为函数y=(x)是可导函数，且f(2)=-3,根据导数的定义，Wlim/(2)(2+2Ax)=-1Iim丝土筌*2=_9，=.ArTo5X52Ar02X55故答案为：【变式1(2023下北京丰台高二统考期中)如图，
17、直线/是曲线y=(x)在点(0,2)处的切线，则lim/(O+Ax)-/(O)=4r0Ar【答案】12_q【详解】根据函数切线过(-2,0),(0,2),则曲线y=(x)在(0,2)处的切线斜率为A=R=1=，根据导数的定义，可得Iim+乎一八)=/(O)=LAKToAy故答案为：1.【变式2(2023下上海嘉定高二上海市育才中学校考期中)已知函数y=(x)在x=2处的切线斜率为左,/(2+A)-(2-A)o.Slim-i-=-2,则4=a0h【答案】-1【详解】(2+)(2i)=RM2)+ers)aohoh而Hmghgu,则I0h故答案为：-1题型05求切线方程【典例1】(2023下湖南长沙
18、高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中)设/(X)为R上的可导函数，且!图/一弓+2AY)=；,则曲线V=(x)在点(IJ)处的切线斜率为.【答案】-*25【详解】由己知可得外)=啊也嘿3T蚓吗产=根据导数的几何意义可知，曲线y=()在点(1,/。)处的切线斜率为-；.故答案为：4【典例2】(2023下四川绵阳高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数/(x)=+-5.利用导数的定义求导函数/U);求曲线N=(x)在点(2,1)处的切线的方程.【答案】(l)(x)=2x+l(2)y=5x-9【详解】(1)解：B(xx)-(x)=(x+x)2+(xx)-5-(+x-5)=(jv)2+(2x+1)x,
19、所以，/，(X)=Iim/(*+)=lim3)Y2x+l)x=2+.AfO0M(2)解：因为2)=22+2-5=1,故点(2,1)在曲线y=(x)上,又因为/(2)=22+l=5,所以，曲线V=(x)在点(2,1)处的切线的方程为y-l=5(x-2),即y=5x-9.【典例3】(2023全国高二专题练习)求函数/(x)=/_3/+的图象上过原点的切线方程.【答案】x-尸0或Sx+4j=0【详解】设切点坐标为(XoJ0),则M=XO3-3/2+X。，Vy=(xo+r)-(xo)=3x02+3xox-6x0+1+(x)2-3x,x所以切线方程为y-(为3-3.%2+Xo)=(3-02-6/+1)(
20、X-XO)因为切线过原点，所以年-3/2+X0=3/3.6x02+X0,即2x03-3x02=0,3解得%=0或%=5，所以切线方程为X-y=0或5x+4y=0.【变式1】(2023高二课时练习)已知曲线y=2x-2上的两点/RO)和3(1,1),求：割线48的斜率幻8；过点力的切线的斜率人”；点4处的切线的方程.【答案】(I)M8二-1：g=-2；2x+y-4=0.【详解】(1)由已知可得，Ks=g=T12(2)令尸/(x),Ar=/(x+Ay)-/(x)_2(x+x)-(x+Axf-(2x-)二2Ay-2x-(AY)2rx-xx根据导数的定义可得，(x)=lim=lim(2-2x-=2-2
21、x当切点为A点时，根据导数的几何意义知MT=，=2-2x2=-2；当切点不是A点时.设切点坐标为(Xo,2x0-x2),(XoH2),则=2-2%，又如J/Tj-O=T0,所以有2-2XO=T,解得=2,-2因为工2,所以此时无解.综上所述，过点4的切线的斜率后a=-2.（3）由（2）知，曲线在点力处的切线的斜率Aa=-2,代入点斜式方程有，尸-2（x-2）,整理可得切线的方程为2x+y-4=0.【变式2（2022高二课时练习）试求过点?（3,5）且与曲线歹=/相切的直线方程.【答案】Zt-y-l=O和IOX-y-25=0【详解】设所求切线的切点坐标为（即焉），则孚=（*。+AX）2-&=%+
22、.ZAx当放无限趋近于。时，包无限趋近于r所以曲线在切点处的切线的斜率为2xq,则所求切线方程为ya=2xdxXo）.因为切线过点P（3,5）,所以5品=20（3xo）,解得XO=I或5,即所求的切线有两条，方程分别是y=2x1和y=11h25,即2-j-l=0和IOX-y-25=0.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1. （2023江苏连云港校考模拟预测）曲线y=d+l在点（。,2）处的切线方程为（）A.y=3x+3B.y=3x-C.y=-3x-iD.y=-3x-3【答案】B【详解】因为+1=2,所以=l,即切点坐标为（1,2）,由,（x）=32,所以广=3,所以y=x3+l在点（1,
23、2）处的切线方程为y-2=3（x-l）,y=3x-.故选：B2. （2023下广西桂林高二统考期末）设函数/（H=/,则Hm70+一）一/（L）=（）r-0AA.-4B.-2C.2D.4【答案】C详解】.以）L=Hm细注竺m22AtOArrOAyvOAr,vO故选：C.3. （2023下西藏林芝高二校考期末）函数/（X）=2x+l在区间1,5上的平均变化率为（）1111A.B.-C.2D.-255【答案】C【详解】P内数/(x)=2x+l在区间1,5上的平均变化率为“5U(I)=UJ=2.故选：C4. (2023下河南驻马店高二统考期末)定义在R上的函数y=(x)在区间2,2+x(x0)内的平
24、均变化率为包=(x)2+2x+l,其中Ay=/(2+x)-(2),则函数/(x)在x=2处的导数/(2)=()A.-1B.1C.3D.9【答案】B【详解】由导数的定义可得广(2)=口%2+弋-(2)=则3y+2&+ll,故选：B.5. (2023下安徽滁州高二校考阶段练习)函数N=(x)的图象如图所示，/()是函数/(x)的导函数，则下列大小关系正确的是()A. 2(4)(4)-(2)2(2)B. 2(2)(4)-(2)2(4)C. 2f(4)2(2)(4)-(2)D. /(4)-(2)2r(4)2*(2)【答案】B【详解】由图象可知/(x)在(0，+8)上单调递增，klktik2,故/O)/
25、(4)，即2八2)/(4)-/(2)0时，血液中的药物质量浓度增加：当一0.004670.002,所以80min到90min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.14. (2023全国高二随堂练习)对一名工人的研究表明，工作，h后生产出的产品量。(单位：t)可以近似表示为。=Q(t)=-t3+5/+12/,该工人每天工作8h.求当f从2h变到4h,该工人生产的产品量O关于时间/的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求0(2),0(4),并解释它们的实际意义.【答案】74,意义见解析：(2)。=60,0(4)=84,意义见解析.【详解】由题意可知：。-。=(-64+24。+48)8+6。+2
26、374,4-22它表示该工人在2h到4h时间段内，平均每小时生产产品为74；(2)由题意可得。=-3+30f+12,所以0(2)=T2+6O+12=60,0(4)=-48+120+12=84,0(2)=60表示在2h时刻，工人的生产速度为每小时产量60,0(4)=84表示在4h时刻，工人的生产速度为每小时产量84.B能力提升1. (2023全国高二课堂例题)充满气的气球近似为球体.在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大.试描述气球的半径相对于体积的平均变化率.【答案】答案见解析Jl【详解】设气球的半径为
27、7,体积为P，则p=g,所以z=(y.314J例如，当0.5Pl时，半径的平均变化率JI)T(0.5)=曰信XPK1-0.50.5UJUJ当1P1.5时，半径的平均变化率JM)一划店X仁津O.1.5- 10.54)4)由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1,再由1增至1.5,二者都增大了0.5,但的平均变化率却由0.26变成0.18,变小了.也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小.2. (2023下高二课时练习)已知函数/O)=/.求函数/(X)的导函数；过点尸管,。)作函数/(X)的图象的切线，求切线方程.【答案】/(x)=3;N=O或y=3x-2.【详解】(I)孚=(x+竽-xx=3x(X+r)+(r)2,当AvO时，学3,所以函数/(X)的导函数为f(x)=3x2.(2)设切点为0aX),则由(1),可得切线的斜率4=/(x0)=3x；,则切线方程为V=3xj(x-x0),即y=-2片.因为切线过点Pd0），所以2x2*=0,解得XO=O或=1,从而切线方程为N=O或=3x-2.
