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1、12345模型模型介绍初中几何，克用三角册具有举足轻型的地位，贪物沏中教学的始终，无论是一次的数、平行四边掰、特殊平行四边舫、反比例函数、二次的数、相似、阅，都离不开立角三角彩而在立角二角形中，345的三角彩比台有3（F的苑角二角彩的I:JJ：2以及自有45。的直角三角形的1:I:0更加特殊更加虫要.同为345不仅仅是自己挣殊,史是可以在变化中E5藏更加特殊的变化（1:2:4及1:3:加），住合性非常大.黑货压轴港的喜爱。现在带领大家领您一下，345的独牯魅力I-tan三12345模胆TIa=45-tan-fAi.如图.在3x3的网格中标出了N1和N2.WIZI+N2=2.如图在AABC中.N
2、BAC=45.AD是BC边上的高.BD=3.DC=2.AD的长为.第2题3.A(0,6)B(3,0)在X轴上有一点P.若PAB=45,则P点坐标为【“123”+“45”的来】此外，还可以得到卜m(+45)=2tan(jff+45)=3一般化结论：若a+/?a45。则行tana-.Ian/?=(a1)4J+Ia当a=g时.则得到Iana=Itan/?=l(了解)当a-2时，则得到tana=：IanA=；(重要)4a=时.则得到Iana=三tan=(?);257当。=4时,则褥到tana=tan/?=(次重要)45Un(*J)-UfW=9-x,3VaE2+x2V9+x29-x)2=9+.v2.x=
3、4BIJAr=4.GF=5./.DF=2.cf=CD2*DF262+22=2l故选：人.【变式1-2.如图.KRtAC.NC=90.Z)为SC上一点.A5=5.4。=1.tan8求CTJ的长；2）求sin的值.设AC=3x.HlBC=4x.J8C2+AC2=Aff2.,.(3x)2+(4)2=52.：.AC=3,C=4.：.CD=BC-BD=A7=3.F绕点八顺时针加游90。得到若。F=3,则的长为2.法一：由题就可得,ADF2G,DF=BG,NW=N8AG,VZMB=9()i.ZEAF=45a,ZD4F+ZEAff=45.8AG+NEA8=45.：.ZEAF=ZEAG.在!GMF.AG=AF
4、,Zeag=Zeaf,AE=AEMGe4F(SAS),：.GE=FE.设8r.则GE-8G+8E=3+.C=6-x.E,=3+.VCD=6.DF=3.：.Ch3.VZC=90.6-x)2+32=3+x)2.解得，=2,即BE=2法二：tBE=.连接CF,如下图所示,；四边形AHc/)为正方形.INABE=GCF=90;-,AI)F,AIW时针施转90,存到ZU8G.二GAF=9*.AE8*8AE=90,：.NBAE-ZCGF.：.MAEsACGF,.BEAB二-.CFGCVCF-CDDF-6-3=3.GC=BC+BG=8C+。r=6+3=9.=2.即OE=2.故答案为：2.变式训练【变式2-1
5、.如图.在斑形A8C。中.48=4,BC=8.点E./分别在8C.CO上.若8E=2.NEAF=45,.则DF的长&_缸W解：取A).8C的中点M.N.连接AfM交A户于从延长CH至G.fBG=MH.连接AGT点M.点N是Ad8C的中点.AAt-MDBN=NC=A.：AD/BC.：.四边形RBNM是平行四边形，A8=AM=4,二四边形MWW是菱形.VZD=9()=.二四边形AtiNM是正方形.：.MN=AB=BN=A,ZAAf/=90,.1.18=AM,ZBG=ZAMH=W.BG=MH,.,.ABG2AMHSS),ZBAG=ZMAH.AG=AH.EAF=45,Z.WAW+ZE=45o.：.ZG
6、AH+ZHAlz-ZCiAE-NEAHS.GH.AE=AE：.EH=GE.：.EH=2+MH.在Rt，右N中,EH2=NH2+NE2.：.分别交X轴，y轴于A,B两点,已知点C(3,0).点P为戏段08的中点，连接,PC.若NC=45,则，的值是18.解：作。=OC=3,遥接CO.则NPQC=4，如图,由),=-.r+,n可得A(n.0)BNC8A=45.所以.此时C7M45.故不合题意.m0.ZC1=ZJO=45,二/8册+NOPC=N8AP+8=l35,WZOPC=ZBAP.PCDAPB.PDCD,，,W27b7bu2m12解得w=18.故答案是：18.Sv实故演练1.如图，在矩形A8C7
7、）中8C=8.7）=6,将/?：沿折总,OE的长是（）A1s._PA.3B.咎C.5解：；矩形A8CC,ZD=90.由折於iJ得BEFBEA.Q使点A恰好落在对用线BD上尸处，则：EF工BDAE=EFB-BF在RlAAW）中,A8=CO=6.BC=Ao=8,根描勾股定理得：HD=10.即尸O=IO-6=4.设EF=AE=X,则有ED=8-x.根据勾股定理符:?+42=（H-x2.解褥：=3,则DE=H-3=5.故选：C.2 .如图.正方形A8C/）中,AB=6.G是BC的中点.将八8G沿AG对折至aAFG延长GF交。C千点,则。的长是（）A.2B.2.5C.3.5D.4解：如图.连接AE,：四
8、边形AHa)是正方形，：.AD(I)KC.Mi.ZC=ZD=9(.曲折叠得.AFAB.GF=BG=%CfNAFG=NB=2.2AJ=AF.AFE=180-/AFG=90.：.ZAFE=ZD.JAE=AE.RtA;feSRtA(/.).：.DE=FE.设。=F=x,则CE=6-x,EG=EF+FG=x+i,在RlACGE中，由勾股定理得,EG2-CEi=CG2,/.2-(6-)2=3，x=2.故选：A.3 .如图，在矩形纸片ABCD中，点、尸分别在矩形的边A8、ADh,将矩形纸片沿C、CF折朴，点.B落在处，点。落在G处，点CH、G恰好在同一宜线上，若AB=6,AD=4,BE=2,则。尸的长是；
9、将形纸片沿CfCF折段,点落在处,点。落在G处.fiC=CW=4,NDCF=NGCF,BE=EH=2,Zfi=ZCME=W,.江&CPHfiCPf,l,.NCHP=NCNP=90Zgcf=Zdcf.CP=CP.CPHW&CPN(AASM：.NP=PH,CH=CN=A：/8=/Ba)=90,.W.VJCD.pq边形BCNM型矩形，又.0V=CB=4.四边形8CNM是正方形，MV=BAf=4,.EM=2,VEP2EM2+PM2.：.2=4+(4-NP)2,4：.NP.3VtanZDCFNPDFCN3CD4,.3DF46故选：A.4 .如图，在边长为3的正方形ABCC中，点E是边A8上的点，I1.B
10、E=ZAE,过点E作。E的柔观交正方形外角ZCfiG的平分设于点F,交边BC干点“，连接DF交边BC于点M则MM的长为（D.1解：作FH18G交于点H.作FK1HC于点K.讣CBG.NKBH=W,，四边形8”K是正方形.：DE1.EF.NEHF=90,；，NDEA+NFEH=%,NEFH+NFEH=90”,：./DEA=ZEFH.：/A=NEffF=90,：.DAES4EHF.ADAE,瓦而,；正方形ABCD的边长为3.BE=2AE. AE=11BE=2设/=“，则B=fKN,.DCCNFKKN BC=3,BK=.：.CK=2.设CN=b,则NK=2-.b-b3-22-A31得3-2即CN：Z
11、4=ZEBV.ZAED=NBME,：.AADESABEM.ADAE解得BM=i32_5IMN=BC-CN-BAf=3-W=E故选：B.dK-cJ丸EB7rG5.如图，在边长相问的小正方形ifl成的网格3*八、/的值为.（）都在这些小正方形的顶点上，那么sin/AOBIII11蝌；过点B作8D1AO垂足为D，III1由题念得:AB=2.O=22+2=2,AVABO的illI“，OBD-：.所曜,3BD在RlZSBODll,tsinZ4OB=-故答案为：唔=42+22=h,(2X2,25-r叵-Rr1。-6.如图.等腰直用三角形A8C中，C=9(),/)为BC的中点.拘ZA8C折,使A点与点。重合
12、.若EF为折痕,则SinNBE。的值为一,黑的值为空2.-5-DF-3一解：设RIC的口,角边AC=m：AASC是等微H角三角形，/A=/8=45.；。打足人打沿打折段而成.Z=ZFDE=ZZ?=45*.VZ2+ZB=Z1+ZFDE.ZFDf=Zfi-45Z=Z2.设CT=.则八尸=)=-X.在RtACOZ:中，由勾般定理限/)产=C广+C即(a-x2=r+-)2.解得X=孕8/=华=察883a.sinz=DF2三.58sinZ2-,即SinN的值虎:过I)作lXil.AH.D=-2.NB=45：.y-w7sinz=哮=咚A.224VZ2=ZI,/C=/DGR：小EDGS4DFC.V2a.DE
13、_DG-Z-22DFCF3a.38点八和点=-12.反比例次数为V=.X如图.时针旋转90WfJOl).连接。交于RY点(6.2)，：.D=mj把尸的坐标代入得，4=2n,解得小=2,二点线SA的解析式为=-2。故答案为）=-2x.8 .如图，在平面直角坐标系中,一次函数y=2rI的图象分别交黑、轴干点八、B,将内城八8绕点8按IWi时针方向旋转45,交X轴于点G-H找8C的函数裳达式是VT-I.耨：；一次函数F=Zr-I的图强分别交x、F轴干点A、8.?O.V-I.y-0.则x=.2过A作AFAB交BC于F,过F作FE1.x轴于E,7ARC=45,二AAW是等腰直角.角形.AB=AF.ZOB
14、+ZBO=ZOBZEAF=W.ZABo=ZEAF,MBOME.：.AE()B.4CA=工设n战BC的函数衣达式为：.v=A+,J.直我8C的函数J：,v=-I.9 .如图，在正方形ABCTJ中，P是BC的中点，把加B沿街小翻折得到朋R过C作CFDEfE解：过A作AAT1./产于Af,；四边形4以不是正方形.AD=DC.Z4DC-90*.1.NDF+NFDC=则VZ4DF+Z1WD=90i,：./FDC=ZMAD.7AMD=ZDFC=Wc,AjWDDC.：.DM-I-C2.lh:AB=AE.BP=PE.：AB=AD.AE=D./)”=KM=2EAM/MAD.VP是BC的中点：.PC-?T八。22
15、设/MAD=,则EAW=.N8AP=NAA4=45-.ZzlPf=90,-(45-a)=45+a.VZEAAf=ZDM,BP=ZPiE.：.7PAFEAM=-2BD=451.过P作PHlAM于H,过E作EGlPH于G,；.小”是等膻H用三角形，Z4PW=45j.：,NHPE=a=NMAD,VZPGf=ZAVD=90.：.APGESAAMD.1-2PGAM12,=GE一NDPGAI=peadGE2.GE=I.AM-2PG.设PG=%则儿”=2a，W=2-1.JH=PH.：.2x-l=2+x,x=3工PG=3AW=6,VDAW2CDf.DF=6.AD10.如图.已知点A(2.3)和点8(0,2).
16、点A在反比例函数V=K的图象上,作射线A8,内符射线A8X烧点A按逆时针方向旋转45,交反比例函数图型于点C一点C的坐标为(-1,-6).耨法!如图所示.过A作AE1.r牯于.以4为边在AE的左侧作正方形A&G,交A8于P.12.3)fA.可得直线4。的解析式为F=Q-3.科方程组故答案为：（1，-6）.解法二：如图.过A作A）l轴于/）,符八8绕着点A顺时针旋转90,得到AH过.4件AT/y轴于W.iAtt-BA,.ZADli=ZBHA,=(Y.ZBAD-Z,BH.可得ZiASOgZkHAH.又,：OB=1.二点H与点03E合，点内在X轴上,乂Y等股RtZMBAri1.Z.44=45,而ZM
17、C=45.点A在ACk,由A（2.3）,4（1.0）.可将直线AC的解析式为y=3x-3解方程狙度&-3f=2JX=-Iy=y=3或y=-6C(-I.-6),故答案为：（-i.-6）.耨法F如图.过8作8_1.A（W.过小,作F?）T-轴于O.过A作八41./）广于则为等假直角三角形.WEFFD.设8。=。.则尸=小；点A(2.3)和点8(0.2).J.DF=2-a=E,OD=OB-B1)=2-JAEOD=3.工2-。+2-。=3,科得“=号豹设百线AF的解析式为y=(x+,则c+b=zfkz=322,解瞰，3=2ky+b2=-311.如图，己知正方形八8C。的边长为I.而用线AC、BD交于点
18、.0,点E在BCERCE=2BE,过B点作BF1E于点F,连接OF,则戏段OF的长度为_&_.作OGlOF交AT-G,OA=OR.FOG=90.VAC.8”是正方形的对角线.ZtO=90.ZAOG=NBOF.BFlAE,：.7BAE+ZABF=W.：/BAE=ZRAC-ZCAE：.ZOBF=ZABF-ZAliD=W-NBAE-A8D=90-NBAC+NCAE-ZAHD-ZCAE.在ZUOG和/)厂中.Zcae=ZOBFOA=OBZaog=Zbof：4OGBOF,J.(Xi=OF.二ZsOFG是等腹H角一：用形，：CE=2BE.ffC=10.根据勾股定理得，ZlE=VZABE-W.ZR4+ZA=
19、90,.yBFE.ZFfi=904.ZF+ZE=90-.：.ZABFZAER.9：/AhR=/ARE.AbFAEB.HF=I.=3,AG=1.GF=AF-BF=2.,.W=2.故答案为E12.如图,在正方形ABCQ中.、是DC的中点,M是AD上异于D的点，且/NMB=NMBC,求IanZABM.峪如图：延长MN交BC的延长线于T,设M8的中点为。,连TP.WlOT1BM.VZA+ZZr-9()c.ZO7B+Ztf7=90./八8M=ZOTB.SAMMT0B.AM=0BMBBTAZtf2=2WIWW令。N=,CT=MD=k.则：AM=2-化W=4+(2-k)21HT=2+A.代入中得：4+(2J
20、2-)(.2+k),解方程得：M=O(舍去)，J=.,.f=2-4.3313.如图,将矩形ABC7）沿时角线用）折登,使点C落在点E处.次:与4。交于点E1）求证：aabfwaedf:若八8=6,BC=S,求八尸的长,1）证明：在矩形A8C/）中.AB-CD.ZA=ZC=tK）小折腔得:DE=CD.NC=NE=90.AB=DE.Z=ZE=90：NAFB=NEFD.ABFEDF（A4S）2）解：YAABFgAEDF.IBF=DF,-4分设AQ=x.则8=OF=8-X.在RlZSA中,由勾股定理rBF1=AB1+AF1.t（8-x）2=x2+62K=工.!Jaf=2-4414.如图.二次函数.v=
21、-2r+2的图象与X轴交于点A、B,与）轴交于点C36求直线4C的解析式：2连接8C判阍NCA8和NCSA的数量关系,并说明理由：设点。为直线AC上方地物线上一点（与A、C不重合）,连HD.AD,且8。交Ae于点EABES1的面积记作Sh八。E的面积记作52,求目的最小值.令y=o,得-r-yx+2=03x1=-4.V2-,3.A(-4.O.B(4，0).C(0.2).2设宜线AC的解析式为y=fcv+2,则O=-4*+2.2IC的解析-t+2:2)ZCAB=2ZCBA.理由如下：作点8关于轴的对称点犷，连接0r.：.ZCB=Z.CBO.VA.B(,O).C(0.2).,(0).W=,CB=Q
22、BC2=f.：.AH=CB,.NCA8-NAC8C8O-ZCAB+ZACB,=2ZCB.ZC4ff=2ZCA:.M.过点B作HSlx轴交AC干点N.DMBN.：.Admembne,.DEDM丽=W.siBEBNS2DE-DIr设点。的横佚标为小*f(+2)2VHtjt0),y之11、(2j.DM=-r-a+2-(+2=Wa2熹,BN=斗3623341133.sT_Ts24三24a+2)2+4,当。=-2时，-(。+2)?+4取得最大位，最大值为4,s33此时.甘行以小ft设小优力士等.241615.下面图片是八年级教科书中的一道SS如图，四边形A8C7）是正方形，点E是边BC的中点，4KF=9
23、0,且EF交正方形外角的平分税CF于点片求证AF=EE（提示：取A8的中点G,连接卬.）D请你思考题中“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件：AG=:2）如图1.若点是8。边上任意一点（不与8、。理合）,其他条件不变.求证：AE=Eh3）在的条件卜，连接八C过点E作P_1.八C,垂足为R1解：.,点E为BC的中点，IBE=CE,；点G为八8的中点.BG=G,：.AG=CE,故答案为：AG=CE;2）证明：KlAG=EC,连接EG,.四边形八坎:。足正方形,1.AB=BG/8=90”.-JAG=CE.：.HGBE.,.8G是等腰包角-M,；.NBGE=NBEG=45*.ZGE=ZfCF=135
24、t.AElEF.ZAEB+ZFEC=tW,VZR4t+ZAfc=90,.ZFEC=ZHAE.：.&GAE二ACEF(SA).,.AE=EFi3解：氏=时,四边形PE(方是邛彳：四山形,如图,h知，Agaezacef,：.CF=EG,设BC=X,则HE=kx,GE=2tt,EC=(1-*X,：EPlAC.,PEC是等腰R角：角形.工NPEC=45,1.NPEC+NECF=I80.：.PE/ICF.：.PE=上(I-A)X.2当PE=(T时.四边形PECF足平行四边形.，华(Ir)x2kx-解得*=-.16.已知抛物城y=2r+与X粕交于八.8两点，与)轴交于C点，拊物线的顶点为。点，点A的坐标为
25、(-I,0).1求。点的坐标：如图I,连接Ae8。井显长交于点,求NE的度数：(3如图2,已知点P(%0).点0在X轴下方的拊物线上,内线P。交城段AC于点M,当NP,VM解：（1）ft!X=-I.y=Q代入y=F-2+s2）如图1.连接（?”、CB.过点/）作。=H+期(-4k+b=lb=-2l=-*三-解得：K2b=-2设0(m)Jl0XVQ(m.j)在y=x22x3上,=n2-2/m-3=l2=nr-2r32解得:”，=2或，”=-.l-3域-417.已知。是ZSASC的外接圆，A8为。的Il径，点”为AC的中点，连接ON并延长交。于点E，连接BE8E交AC于点/）. 1）如图1.求证：
26、ZCDE+ZHAC=135,：2如图2,过点。作“GIBE,/X；交A8于点匕交0。于点G,连接。G.OD.若XJ=8O,求证：OG/ACi如图3,在（2的条件下，连接4G,若DN=耳,求AG的长.图1图2图3（I证明：如图1.过点OftOP1.8C交Oo于点凡连接八P交8E于。,*-*.BPPC.,.ZBAP=ZCP.点N为AC的中点,AECE.ZABE=ZCBE,.Y8是。的直径，二C=9().ZAC*ZSC=90-,Z0B+ZfiBA=90,=45.=/AQB=NEQP=135”.A0。中.N0P=NCAP+乙U)Q=I35.ZCDE-4-ZfiAC=135：22）证明：在（；和）80中
27、.DG=BDOD=OD.OG=OBIADGO坦4DBO(SSS).；.NRBD=NDGO,：DG1.BE,NGDB=W,二ADG+BK=9),VZBUC+ZCBE=.：.ZADG=ZCBE=/八8。=NDGO,：.OG/AD：3)W：如图3,过点G作GKlAC于K,延长GO交BC于点H.Ill2)知：OG/AC.：.GH/lAC.：.NO”B=NC=90；OHlBC.IBH=CH,VZK=ZC=ZOHC=W.：.四边形GHCK是矩形.：.CH=CiK.设GK=f，!JBC=2y.ON=GK=y,由2知：ZADG=ZDBC.在AGKO和AOCB中，rZADG=ZDBCZK=ZC.DG=BD:AG
28、Kg4DCB(AAS).工GK=DC=AYOEBC,E=DBC,tanZDC=tanEr25噎嗡啮Tr.F1V.45ri3AAjV=CZV=由勾股定理得：ACt1=ON1AN1.工严岖)2=f+(411:2,55解得：V=一耳&舍，=华EG=底而=唔/(y隼-y邛)2=/18.已知拗物战y=f-2a+C过点八(-I,0)和C(0,3，与X轴交于另一点8,顶点为ZX 1)求柚物线的解析式,并写出。点的坐标：如图1.E为线段8C上方的她物线上一点,EH1.bC垂足为凡EM1.r轴.垂足为M,交8C于点G.当BG=C尸时，求；的面积：(3如图2,AC与8。的廷长我交于点儿在X轴上方的微物线上是否存在
29、点P,使NOP8=AH8?若存在，求出点P的坐标；若不存在，谓说明理由.,设BC的解析式为.=MU#0),招点C(0.3).8=户从设点E的坐标为(m.-+2m+3).将点E坐标代入y=x+b中，得&=-w%tt+3,.fy=-+3.y=x-wr+m+3,立褥2.Iy=X-m+m+3m2-ma21一11211y2-22.rZ11lF-t1111t*6、,T,2).把X=代入y=-j+3.得y=-+3.:G(?-m+3).:DG-=CF.BG2=CN即(11r3)2+(3-m)2=(吟三)2+(专51.)2.解得，=2或，”=3.：点E是8C上方搬物戕上的点，m=-3,(金去).二点E(2.3)
30、,F(l.2).G(2,I),EF=V12+12=2FG=12+12=2如图2,过点A作AN1.HBfN,/点D(1.4).B(3.0),:yB=2r+6.:点A(-1.0).点C(0.3).W=3a+3，_3_X=?_24,yT,联立得y=3x+3y=-2x+6hPTyAjj2+b把IU：速11y02xVy=-2x+611XTAN2=(-y-l)2()2=(-)2(f)2HN2=(f)221.AN=HN.ZH=45.设点P5,-+211+3).过点。作PR1.x轴干点R,Kx轴匕作点S使得RS=PR.ZSP=45且点5的坐标为-r+3n+3,0).若NOPB=NAB=4S在ZiOPS和40P
31、8中.ZPOS=NPOB.ZOSP=ZOPH.5-5.F).如图，正方形A8C。的边长是4,点E是AQ边上一个动点，连接BE,将AABE沿直城8E翻折汨到FBE. 1如图1,若点F落在对角线8DE则戏段DE与AE的数时关系是Df=2AE； 2）若点落在线段C。的垂H平分线上,在图2中用直尺和圆规作出AfbE不写作法，保用作图病迹）.连接DF,则NEDF=75：如图3,连接CRDF,ZCfD=Wi,求AE的长.解:（I）oe=5ae,理由如F：在正方形A8C/）中,Z.W=45,.ZA=9（）t,曲折度的性就UJ得：AE=EF,ZEFB=ZA-W,：.NEFD=90.EFD为等腰直用三用形,lDF=FE.由勾段定理可行;近EF=DE,即DC=2.4f;BFOSSS).1.N8FO=NBCO=90.：./EFB+/BFO=Myl,二点F.。共线.设AE=EF=X.则DE=A-X.在Rt(?Og中,ODz+DE2=OE2.22+(4-x)2=x+3(。为常数，0)与X轴正半轴分别交于&R(A在B的右边).与y轴的正半轴交千点C.连接8C,tanN8)=.直接写出施物纹的解析式：2)如图(2),设抛物线的顶点为0。是第一象限她物线上的点
